2019届高考数学（理）二轮复习专题透析课件和讲义专题4 立体几何

2019届高考数学（理）二轮复习专题透析课件和讲义专题4 立体几何

‎　专题4　立体几何 ‎　　一、空间几何体 ‎1.画三视图的基本要求是什么?画三视图有哪些注意点?‎ 正(主)视图、俯视图“长对正”,正(主)视图、侧(左)视图“高平齐”,俯视图、侧(左)视图“宽相等”.画三视图时,能看见的线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示,同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同.‎ ‎2.斜二测画法的特点(或规则)是什么?‎ ‎(口诀)坐标两轴各相关,夹角直角增减半;平行关系皆不变,长度只有纵减半.‎ ‎3.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积公式是什么?‎ ‎(1)柱体、锥体、台体、球的侧面积公式:‎ ‎①S柱侧=ch(c为底面周长,h为高);‎ ‎②S锥侧=ch'(c为底面周长,h'为斜高);‎ ‎③S台侧=(c+c')h'(c'、c分别为上、下底面的周长,h'为斜高);‎ ‎④S球=4πR2(R为球的半径).‎ ‎(2)柱体、锥体、台体、球的体积公式:‎ ‎①V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);‎ ‎·14·‎ ‎②V锥体=Sh(S为底面面积,h为高);‎ ‎③V台=(S++S')h(S'、S分别为上、下底面的面积,h为高);‎ ‎④V球=πR3(R为球的半径).‎ ‎　　二、点、直线、平面之间的位置关系 ‎1.公理1、2、3、4的作用分别是什么?‎ 公理1是判断直线在平面内的依据;公理2是确定平面的条件;公理3是判断三点共线的依据;公理4可判断或证明线线平行.‎ ‎2.直线、平面平行的判定定理与性质定理是什么?‎ ‎(1)直线与平面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α.‎ ‎(2)平面与平面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α.‎ ‎(3)直线与平面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.‎ ‎(4)平面与平面平行的性质定理:β∥α,α∩γ=a,γ∩β=b⇒a∥b.‎ ‎3.直线、平面垂直的判定定理与性质定理是什么?‎ ‎(1)直线与平面垂直的判定定理:l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α.‎ ‎(2)平面与平面垂直的判定定理:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.‎ ‎(3)直线与平面垂直的性质定理:m⊥α,n⊥α⇒m∥n.‎ ‎(4)平面与平面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎·14·‎ ‎4.求直线与平面所成角的基本思想和方法是什么?‎ 求线面角,一般先定斜足,再作垂线找射影,最后通过解直角三角形求解,即“作(作出线面角)—证(证所作角为所求角)—求(在直角三角形中求解线面角)”.‎ ‎5.求二面角的基本思想和方法是什么?‎ 作出二面角的平面角,主要有三种作法:定义法,垂面法,垂线法.‎ ‎6.求空间中的点面距离的基本思想和方法是什么?‎ 求点面距离主要有以下几种方法:(1)先求作该点到平面的垂线段,再找垂线段所在的三角形,最后解直角三角形求出垂线段的长度.(2)当该点的垂线段不容易找时,可以将该点转化为其他点到相应平面的距离,如当直线与平面平行时,该直线上任一点到平面的距离相等.(3)先求出该几何体的体积和底面积,也就可以求出高,即点到平面的距离.‎ ‎　　三、空间直角坐标系与空间向量 ‎1.空间向量的基本定理是什么?‎ 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.‎ ‎2.空间直角坐标系的定义是什么?点的坐标如何表示?‎ 利用交于一点的三条互相垂直的直线在空间中建立的坐标系,即空间直角坐标系;设M(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标.‎ ‎3.空间两点间的距离公式是什么?‎ 设点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 ‎·14·‎ ‎|P1P2|=.‎ ‎4.直线的方向向量的定义是什么?如何求平面的法向量?‎ ‎(1)l是空间的一条直线,A,B是直线l上的任意两点,则称为直线l的方向向量,与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.‎ ‎(2)设a,b是平面α内的两个不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为 ‎　　四、立体几何中的向量方法 ‎1.如何求两条异面直线所成角的余弦值?‎ 设两条异面直线的方向向量分别为a,b,向量a,b的夹角为θ,则cos φ=|cos θ|=(其中φ为异面直线所成的角).‎ ‎2.如何求直线与平面所成角的正弦值?‎ 设直线的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线与平面α所成角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则sin φ=|cos θ|=.‎ ‎3.如何求二面角的余弦值?‎ 设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角θ的余弦值满足|cos θ|=.‎ ‎4.如何求空间一点到平面的距离?‎ 设空间一点为C,平面内一点为A,平面α的法向量为n,则点C到平面 ‎·14·‎ 的距离d=.‎ 立体几何是高中数学的重要组成部分,是高考考查考生空间感、图形感、语言转换能力、几何直观想象能力、逻辑推理能力的主要载体.近几年全国高考分值一般在22分~27分,题型有选择题、填空题和解答题.高考命题既重基础、注意“知识的重新组合”,又采用“小题目综合化,大题分步设问”的命题思路,不断实现探究与创新.‎ 一、选择题和填空题的命题特点 ‎(一)通过三视图及其应用考查学生空间想象能力及其他数学素养.由几何体的三视图得到几何体的直观图,考查表面积、体积、最短路径等,难度中等居多.‎ ‎1.(2018·全国Ⅰ卷·理T7改编)某圆柱的高为3,底面周长为10,圆柱的三视图如右图.圆柱表面上的点M在正(主)视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧(左)视图上的对应点为图形下底边的中点B,则在此圆柱的侧面上,从点M到N的路径中,最短路径的长度为(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎·14·‎ A. B.2‎ C.5 D.‎ 解析▶　由题意得圆柱的直观图以及侧面展开图如图:‎ ‎　　‎ 则在此圆柱的侧面上,从点M到N的路径中,最短路径的长度为=.故选D.‎ 答案▶　D ‎2.(2016·全国Ⅲ卷·理T9改编)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(　　).‎ A.60+6 B.72+12‎ C.108 D.54‎ 解析▶　由已知中的三视图可得该几何体是一个以正(主)视图为底面的直四棱柱,‎ 其底面面积为(4×6)×2=48,侧面的面积为(4×3+3×)×2=24+12,‎ 故棱柱的表面积为72+12.故选B.‎ 答案▶　B ‎·14·‎ ‎(二)通过点、线、面的位置关系,考查对相关定义及定理的理解、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、线面角、线线角等.‎ ‎3.(2018·全国Ⅱ卷·理T9改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,F为棱AA1的中点,则异面直线AE与BF所成角的正切值为(　　).‎ A.2 B. C. D.3‎ 解析▶　如图,连接D1E,AD1,因为D1E∥BF,所以异面直线AE与BF所成的角为相交直线D1E与AE所成的角.不妨设正方体的边长为2,则D1E=,AE=3,AD1=2,‎ 所以由余弦定理得cos∠D1EA=.‎ 由平方关系得sin∠D1EA=,所以异面直线AE与BF所成角的正切值为2.故选A.‎ 答案▶　A ‎4.(2017·全国Ⅱ卷·理T10改编)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=BB1,B1C与BC1相交于点E,则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为(　　).‎ A. B. C. D.‎ ‎·14·‎ 解析▶　如图所示,将直三棱柱补成正方体,并以D为坐标原点,,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),E,A(1,0,0),C1(0,1,1),=(-1,1,1),=,所以cos<,>=.‎ 故异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为.‎ 答案▶　D ‎(三)与球有关的组合体问题,考查学生的综合应用能力,难度较大.‎ ‎5.(2018·全国Ⅲ卷·理T10改编)设A,B,C,D是同一个半径为R的球的球面上四点,△ABC为等腰三角形,底边为6,腰长为2,三棱锥D-ABC体积的最大值为6,则半径R是(　　).‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ 解析▶　由△ABC为等腰三角形,底边为6,腰长为2,可得S△ABC=3,高h=.因为S△ABC=,所以等腰三角形ABC的外接圆半径为2.‎ ‎·14·‎ 设球心为O,三角形ABC的外心为O',因为三棱锥D-ABC体积的最大值为6,所以三棱锥D-ABC的高的最大值为6,显然D为O'O的延长线与球的交点,如图,所以(6-R)2+(2)2=R2,解得R=4,故选B.‎ 答案▶　B ‎6.(2017·全国Ⅲ卷·理T8改编)已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,若一个长方体的上、下底面内接于该圆柱的上、下底面上,则该长方体的体积最大值为(　　).‎ A.12 B.6 C.3 D.24‎ 解析▶　绘制圆柱和球的组合体的轴截面如图所示,由题意可得,AC=2,AB=1,‎ 结合勾股定理,可得BC=.‎ 设长方体的长和宽分别为a,b,因为矩形内接于圆,所以a2+b2=(2)2=12.又V=2ab,由基本不等式得a2+b2=12≥2ab,当且仅当a=b=时,等号成立,所以长方体的体积最大值为12,故选A.‎ 答案▶　A 二、解答题的命题特点 以多面体或旋转体为载体,第(1)问主要是证明线线、线面以及面面的平 ‎·14·‎ 行与垂直等位置关系,第(2)问主要是计算空间角的余弦值或正弦值,通常通过构建空间直角坐标系,利用向量法进行计算,同时要注意翻折问题、探索性问题和存在性问题的研究和模型构建.‎ ‎1.(2018·全国Ⅱ卷·理T20改编)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.M为棱BC上任意一点.‎ ‎(1)证明:平面POM⊥平面ABC.‎ ‎(2)当点C到平面POM的距离为时,求CM的长.‎ ‎(3)若PC与平面PAM所成角的正弦值为,求二面角M-PA-C的余弦值.‎ 解析▶　(1)∵AB=BC=2,AC=4,‎ ‎∴AB2+BC2=AC2,即△ABC是直角三角形.‎ 又O为AC的中点,如图,连接OB,∴OB⊥AC,OB=2.‎ ‎∵PA=PC=PB=4,∴OP⊥AC,OP=2.‎ ‎∴PO2+BO2=PB2,OP⊥BO,∴PO⊥平面ABC.‎ ‎∵PO⊂平面POM,‎ ‎∴平面POM⊥平面ABC.‎ ‎(2)由(1)得PO⊥OM,由面面垂直的性质定理知,过点C作△OMC ‎·14·‎ 的高即为点C到平面POM的距离h.‎ 设CM=x(0|=,解得a=,‎ ‎·14·‎ 则n=.‎ 取平面PAC的法向量为=(2,0,0),因为二面角M-PA-C为锐角,所以二面角M-PA-C的余弦值为|cos<,n>|=.‎ ‎2.(2018·全国Ⅲ卷·理T19改编)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是圆弧上异于C,D的点,BD与AC相交于O点.‎ ‎(1)证明:DM⊥BM.‎ ‎(2)设线段DC的中点为N,是否在线段AM上存在点P,使得平面PON∥平面BCM?说明理由.‎ ‎(3)若AB=2AD=2,则当三棱锥O-MCB体积最大时,求平面MAB与平面MCD所成二面角的余弦值.‎ 解析▶　(1)矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,‎ ‎∵平面CDM与半圆弧所在平面为同一个平面,∴平面ABCD⊥平面CDM.‎ ‎∵M是半圆弧上异于C,D的点,BC⊥DC,平面ABCD∩平面CDM=CD,‎ ‎∴BC⊥平面CDM,∴BC⊥DM.‎ ‎∵DC为直径,∴CM⊥DM.‎ ‎∵BC∩CM=C,∴DM⊥平面BMC,∴DM⊥BM.‎ ‎(2)存在,当点P是AM的中点时,满足题意.‎ 理由:若平面PON∥平面BCM,∵平面ACM∩平面CBM=CM,平面ACM ‎·14·‎ ‎∩平面PON=PO,‎ 由面面平行的性质定理知CM∥PO.‎ 又O为AC的中点,∴P为AM的中点.‎ ‎(3)以D点为坐标原点,,的方向为x,y轴的正方向,平面MCD中垂直DC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由等体积法知当三棱锥O-MCB体积最大时,M为的中点.‎ 则D(0,0,0),C(0,2,0),M(0,1,1),A(1,0,0),B(1,2,0),=(1,0,0),=(-1,1,1),=(0,2,0).‎ ‎　　设平面MAB的法向量为n=(x,y,z),‎ 由得可取n=(1,0,1),取为平面MCD的法向量.‎ 所以cos<,n>=,因为平面MAB与平面MCD所成二面角是锐角,所以平面MAB与平面MCD所成二面角的余弦值是.‎ ‎　　解答立体几何题目的方法:(1)求角的问题时,注意紧扣定义,将空间角(异面直线所成的角、线面角)转化为平面上两相交直线所成的角来处理.求角先找角,再在三角形中去解决,异面直线所成的角、线面角应取锐角.‎ ‎·14·‎ ‎(2)在求距离时,可放在三角形中去计算,若是垂线难作出,可用等积法求解.(3)在求体积时,要从多方位、多角度看问题,要注意“公式法”“换底法”“割补法”的应用.“等体积法”可以用来求点到面的距离、多面体内切球的半径等.(4) “向量法”的使用,要注意基向量的选择或坐标系的正确建立等,还要强化计算能力.‎ ‎·14·‎