2018中考数学规律探索专题复习试题含解析

2018中考数学规律探索专题复习试题含解析

规律探索 一、选择题 ‎1. 如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（　　）‎ A．25 B．‎33 ‎C．34 D．50‎ ‎【考点】规律型：图形的变化类．‎ ‎【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．‎ ‎【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；‎ 第二次操作后，三角形共有4+3=7个；‎ 第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；‎ ‎…‎ ‎∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；‎ 当3n+1=100时，解得：n=33，‎ 故选：B．‎ ‎2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（　　）‎ A．第504个正方形的左下角 B．第504个正方形的右下角 C．第505个正方形的左上角 D．第505个正方形的右下角 ‎【考点】规律型：点的坐标．‎ ‎【分析】根据图形中对应的数字和各个数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵2016÷4=504，‎ 又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在右下角，然后按逆时针由小变大，‎ ‎∴第504个正方形中最大的数是2015，‎ ‎∴数2016在第505个正方形的右下角，‎ 故选D．‎ ‎3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（　　）‎ A．2n+1 B．n2﹣‎1 C．n2+2n D．5n﹣2‎ ‎【考点】规律型：图形的变化类．‎ ‎【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．‎ ‎【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；‎ 第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；‎ 第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；‎ ‎…‎ ‎∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．‎ 二、填空题 ‎1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为　4n﹣3　．‎ ‎【考点】规律型：图形的变化类．‎ ‎【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；‎ 第②是5个三角形，5=4×2﹣3；‎ 第③是9个三角形，9=4×3﹣3；‎ ‎∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；‎ 故答案为：4n﹣3．‎ ‎【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．‎ ‎2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .‎ ‎【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．‎ ‎【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．‎ ‎【解答】解：∵点A1坐标为（－3，0），知O A1=3，‎ 把x=－3代入直线y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4. ‎ 根据勾股定理，OB1===5，‎ ‎∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；‎ 把x=－5代入直线y=－x中，得y=  ，即A2B2=. ‎ 根据勾股定理，OB2====，‎ ‎∴A3坐标为（－，0），O A3=；‎ 把x=－代入直线y=－x中，得y=  ，即A3B3=. ‎ 根据勾股定理，OB3====，‎ ‎∴A4坐标为（－，0），O A4=；‎ ‎……‎ 同理可得An坐标为（－，0），O An=；‎ ‎∴A2016坐标为（－，0）‎ 故答案为：（− ，0）‎ ‎【点评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。‎ ‎3.设一列数中相邻的三个数依次为m、n、p，且满足p=m2﹣n，若这列数为﹣1，3，﹣2，a，﹣7，b…，则b=　128　．‎ ‎【考点】规律型：数字的变化类．‎ ‎【分析】根据题意求出a，再代入关系式即可得出b的值．‎ ‎【解答】解：根据题意得：a=32﹣（﹣2）=11，‎ 则b=112﹣（﹣7）=128．‎ 故答案为：128．‎ ‎4.如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为　370　．‎ ‎【考点】规律型：数字的变化类．‎ ‎【分析】首先观察规律，求得n与m的值，再由右下角数字第n个的规律：2n（2n﹣1）﹣n，求得答案．‎ ‎【解答】解：∵左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，‎ ‎∴2n=20，m=2n﹣1，‎ 解得：n=10，m=19，‎ ‎∵右下角数字：第一个：1=1×2﹣1，‎ 第二个：10=3×4﹣2，‎ 第三个：27=5×6﹣3，‎ ‎∴第n个：2n（2n﹣1）﹣n，‎ ‎∴x=19×20﹣10=370．‎ 故答案为：370．‎ ‎【点评】此题考查了数字规律性问题．注意首先求得n与m的值是关键．‎ ‎5.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：‎ 请依据上述规律，写出（x﹣）2016展开式中含x2014项的系数是　﹣4032　．‎ ‎【考点】整式的混合运算．‎ ‎【分析】首先确定x2014是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（x﹣）2016展开式中含x2014项的系数，‎ 根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即﹣2016×2=﹣4032．‎ 故答案为﹣4032．‎ ‎6.下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需　50　根火柴棒．‎ ‎【考点】规律型：图形的变化类．‎ ‎【分析】根据图案①、②、③中火柴棒的数量可知，第1个图形中火柴棒有8根，每多一个多边形就多7根火柴棒，由此可知第n个图案需火柴棒8+7（n﹣1）=7n+1根，令n=7可得答案．‎ ‎【解答】解：∵图案①需火柴棒：8根；‎ 图案②需火柴棒：8+7=15根；‎ 图案③需火柴棒：8+7+7=22根；‎ ‎…‎ ‎∴图案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根；‎ 当n=7时，7n+1=7×7+1=50，‎ ‎∴图案⑦需50根火柴棒；‎ 故答案为：50．‎ ‎【点评】此题主要考查了图形的变化类，解决此类题目的关键在于图形在变化过程中准确抓住不变的部分和变化的部分，变化部分是以何种规律变化．‎ ‎7．（2016·山东枣庄）一列数，，，…满足条件：，（n≥2，且n为整数），则 =　 　．‎ ‎【答案】-1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意可知，，，，，.......,由此可得这组数据3个一循环，2016÷3=672，所以 是第672个循环中的第3个数，即=-1.‎ 考点：规律探究题.‎ ‎8．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有（4n+1）个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．‎ 考点：找规律 分析：由图可知，涂有阴影的正方形有5+4（n-1）=4n+1个 解答：（4n+1）‎ ‎9.（2016山东省聊城市，3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B‎1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B‎2C2，再以正方形OB1B‎2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B‎3C3，以此类推…、则正方形OB2015B‎2016C2016的顶点B2016的坐标是　（21008，0）　．‎ ‎【考点】正方形的性质；规律型：点的坐标．‎ ‎【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2016的坐标．‎ ‎【解答】解：∵正方形OA1B‎1C1边长为1，‎ ‎∴OB1=，‎ ‎∵正方形OB1B‎2C2是正方形OA1B‎1C1的对角线OB1为边，‎ ‎∴OB2=2，‎ ‎∴B2点坐标为（0，2），‎ 同理可知OB3=2，‎ ‎∴B3点坐标为（﹣2，2），‎ 同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），‎ B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），‎ B7（8，﹣8），B8（16，0）‎ B9（16，16），B10（0，32），‎ 由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，‎ ‎∵2016÷8=252‎ ‎∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，‎ ‎∴B2016的坐标为（21008，0）．‎ 故答案为：（21008，0）．‎ ‎【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍．‎ ‎　‎ ‎10．（2016.山东省泰安市，3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为　2n+1﹣2　． ‎ ‎ ‎ ‎【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题． ‎ ‎【解答】解：由题意得OA=OA1=2， ‎ ‎∴OB1=OA1=2， ‎ B1B2=B‎1A2=4，B‎2A3=B2B3=8， ‎ ‎∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…， ‎ ‎2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，… ‎ ‎∴Bn的横坐标为2n+1﹣2． ‎ 故答案为 2n+1﹣2． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎11．（2016.山东省威海市，3分）如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A‎1A2O=30°，过点A2作A‎2A3⊥A‎1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A‎3A4⊥A‎2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A‎4A5⊥A‎3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A‎5A6⊥A‎4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为　﹣（）2015　．‎ ‎【考点】坐标与图形性质．‎ ‎【分析】先求出A1、A2、A3、A4、A5坐标，探究规律，利用规律解决问题．‎ ‎【解答】解：∵A1（1，0），A2[0，（）1]，A3[﹣（）2，0]．A4[0，﹣（）3]，A5[（）4，0]…，‎ ‎∴序号除以4整除的话在y轴的负半轴上，余数是1在x轴的正半轴上，余数是2在y轴的正半轴上，余数是3在x轴的负半轴上，‎ ‎∵2016÷4=504，‎ ‎∴A2016在y轴的负半轴上，纵坐标为﹣（）2015．‎ 故答案为﹣（）2015．‎ 三、解答题 ‎1．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：‎ ‎（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：‎ ‎1+3+5+…+（2n﹣1）+（　2n+1　）+（2n﹣1）+…+5+3+1=　2n2+2n+1　．‎ ‎【考点】规律型：图形的变化类．‎ ‎【分析】（1）根据1+3+5+7=16可得出16=42；设第n幅图中球的个数为an，列出部分an的值，根据数据的变化找出变化规律“an﹣1=1+3+5+…+（2n﹣1）=n‎2”‎，依此规律即可解决问题；‎ ‎（2）观察（1）可将（2）图中得黑球分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，再结合（1）的规律即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）1+3+5+7=16=42，‎ 设第n幅图中球的个数为an，‎ 观察，发现规律：a1=1+3=22，a2=1+3+5=32，a3=1+3+5+7=42，…，‎ ‎∴an﹣1=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2．‎ 故答案为：42；n2．‎ ‎（2）观察图形发现：‎ 图中黑球可分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，‎ 即1+3+5+…+（2n﹣1）+[2（n+1）﹣1]+（2n﹣1）+…+5+3+1，‎ ‎=1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1，‎ ‎=an﹣1+（2n+1）+an﹣1，‎ ‎=n2+2n+1+n2，‎ ‎=2n2+2n+1．‎ 故答案为：2n+1；2n2+2n+1．‎