南京市玄武区中考数学二模试卷

南京市玄武区中考数学二模试卷

‎2013~2014学年第二学期九年级测试卷（二）‎ 数 学 注意事项：‎ ‎1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．‎ ‎2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．‎ ‎3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．‎ ‎4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．方程2x－4＝8的解是 A．x＝－2‎ B．x＝2‎ C．x＝4‎ D．x＝6‎ ‎2．下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的是 A．∠A＝30°，∠B＝50°‎ C．∠A＝30°，∠B＝90°‎ B．∠A＝30°，∠B＝70°‎ D．∠A＝30°，∠B＝110°‎ ‎3．去年11月11日，天猫和淘宝的日总销售额超过350亿元，350亿用科学记数法表示为 A．3.5×109‎ B．35×109‎ C．3.5×1010‎ D．0.35×1011‎ ‎4．a、b经过运算后得到的结果如下表所示：‎ a ‎0.5‎ ‎0.25‎ b ‎2‎ ‎4‎ 运算结果 ‎4‎ ‎16‎ 下列可以得到上述运算结果的算式是 A．ab－1‎ B．a－1b C．ab D．(ab)2‎ ‎5．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10 cm，圆心角为252°的扇形，则该圆锥的底面半径为 A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．10 cm x y Q O ‎（第6题）‎ ‎6．如图，一个菱形的一组相邻顶点分别在x轴和y轴上，它的两条对角线分别与x轴和y轴平行．一条直线经过这个菱形的对角线交点，这条直线对应的函数关系式为y＝kx＋b（k＜0）．涂有“ ”部分的面积记为S1，涂有“ ”部分的面积记为S2，当S1＝S2时，k所有可能的值有 A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程）‎ ‎7．不等式组的负整数解为 ▲ ．‎ ‎8．如果定义a*b为(－ab)与(－a＋b)中较大的一个，那么(－3)*2＝ ▲ ．‎ ‎9．方程2x2＋4x＋1＝0的解是x1＝ ▲ ；x2＝ ▲ ．‎ ‎10．如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a2、b2（a＞0，b＞0）的正方形．这个矩形的面积为 ▲ （用含a、b的代数式表示）‎ a2‎ b2‎ ‎（第10题）‎ ‎ ‎42°‎ B C D A ‎（第11题）‎ ‎ ‎11．在△ABC中，AB＝AC，CD＝CB，若∠ACD＝42°，则∠BAC＝ ▲ °‎ ‎12．将反比例函数y＝的图象沿直线x＝1翻折后的图象不经过第 ▲ 象限．‎ ‎13．在正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）中，一组自变量x1、x2、…xn的平均数为a，则这组自变量对应的函数值y1、y2、…yn的平均数为 ▲ ．‎ ‎14．如图是一把剪刀的局部示意图，刀片内沿在AB、CD上，EF是刀片外沿．AB、CD相交于点N，EF、CD相交于点M，刀片宽MH＝1.5 cm．小丽在使用这把剪刀时，∠ANC不超过30°．若想一刀剪断4 cm宽的纸带，则刀身AH长至少为 ▲ cm．（结果精确到0.1 cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）‎ A B C D M E H N F ‎（第14题）‎ ‎ ‎A B O1‎ O2‎ ‎（第15题）‎ l ‎15．如图，直线l分别与⊙O1、⊙O2相切与点A、B，AO1＝1，BO2＝2．⊙O1沿着直线l的方向向右平移，当⊙O1与⊙O2相交时，AB长的范围为 ▲ ．‎ ‎16．某地居民年收入所得税征收标准如下：不超过28 000元部分征收a%的税，超过28 000元的部分征收(a＋2)%的税．如果某居民年收入所得税是其年收入的(a＋0.25)%，那么该居民的年收入为 ▲ 元．‎ 三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）解方程组 ‎18．（8分）点A、B在数轴上，它们对应的数分别是和，且A、B关于原点对称．求x的值．‎ ‎19．（7分）如图，在□ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB、CD的延长线交于点E、F．当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是菱形？请给出证明．‎ A B C D F E O ‎（第18题）‎ ‎20．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同．‎ ‎（1）搅匀后，从中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是 ▲ ；‎ ‎（2）搅匀后，从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．‎ ‎①求两次都摸到红球的概率；‎ ‎②经过了n次“摸球—记录—放回”的过程，全部摸到红球的概率是 ▲ ．‎ ‎21．（8分）高老师将九（1）班某次数学测验成绩分成0～25、26～50、51～75、76～100四组，制作了如下统计表：‎ 成绩（分）‎ ‎0～25‎ ‎26～50‎ ‎51～75‎ ‎76～100‎ 频数 ‎5‎ ‎5‎ ‎25‎ c 频率 a b ‎0.5‎ d ‎（1）请写出c、d间满足的一个等式；‎ 频数 分数/分 ‎0‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎75‎ ‎100‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎（2）制作相应的频数分布直方图；‎ ‎（3）九（2）班该次数学测验成绩在76～100组的有25人，若两个班总人数相同，则该次数学测验成绩的中位数较高的班级为 ▲ ．（填写“九（1）”、“九（2）”或“不确定”）‎ ‎22．（7分）‎ ‎（1）如图①，请用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）如图②，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）．‎ ‎①‎ A B C D ‎②‎ ‎（第22题）‎ ‎23．（7分）如图，直线l与x轴垂直，垂足为D，它与从原点出发的三条射线分别交于点A、B、C．射线OA、OB、OC分别表示正常行走的人，站在自动扶梯上不走的人，在自动扶梯上同时正常行走的人所移动的路程s（m）与时间t（min）的函数关系，在这些关系中，正常行走的人的速度相同，自动扶梯的速度也相同．‎ ‎（1）猜想线段AD、BD、CD之间满足的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）已知∠COD＝60°，∠BOD＝45°，正常行走的人的速度是自动扶梯的速度的多少倍？‎ S t O C B A D ‎（第23题）‎ l 人 自动扶梯 人 ＋ 自动扶梯 ‎24．（8分）如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4︰3，但是多数电影图像的长宽比为 ‎2.4︰1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子．‎ A D B C E F G H M N P Q ‎②‎ ‎①‎ ‎（第24题）‎ 长 宽 ‎（1）若图①中电视机屏幕为20寸（即屏幕对角线长度）：‎ ‎①该屏幕的长＝ ▲ 寸，宽＝ ▲ 寸；‎ ‎②已知“屏幕浪费比＝”，求该电视机屏幕的浪费比．‎ ‎（2） 为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了．如图②‎ ‎，这种屏幕（矩形ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4︰3的屏幕（矩形EFGH）与2.4︰1的屏幕（矩形MNPQ）．求这种屏幕的长宽比．（参考数据：≈2.2，结果精确到0.1）‎ ‎25．（9分）如图，在梯形AOBC中，AO∥CB，点A、B分别在y轴和x轴上．P是OB中点，以P为圆心，PB长为半径作半圆，D为该半圆与AC的一个公共点，且OB＝CB＝CD＝4．‎ ‎（1）试说明：AC与半圆相切于点D；‎ ‎（2）求点D的坐标．‎ O C B A D P y ‎（第25题）‎ x ‎26．（10分）若二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y＝a2x2＋b2x＋c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．‎ ‎（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有 ▲ 个；‎ ‎（2）①求二次函数y＝x2＋3x＋2与x轴的交点；‎ ‎②求以上述交点为顶点的二次函数y＝x2＋3x＋2的“伴侣二次函数”．‎ ‎（3）试探究a1与a2满足的数量关系．‎ ‎27．（10分）如图，M、N为直线l上的两个动点（M在N的左侧），点A为直线l 外一点，且到直线l的距离为6，∠MAN＝45°．‎ ‎（1）当AM＝AN时，求MN的长；‎ ‎（2）当AM≠AN时，作AB⊥l，垂足为B．若BM＝2，求MN的长．‎ A l A l M N ‎（第27题）‎ ‎（备用图）‎ ‎2013~2014学年第二学期九年级测试卷（二）‎ 数学试题参考答案及评分标准 说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 答案 D A C B B A 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）‎ ‎7．－3，－2，－1； 8．6 9．； 10．(a＋b)2 ‎ ‎11．32 12．三 13．ka 14．6.6 15．0＜AB＜2 16．32000‎ 三、解答题（本大题共11小题，共88分）‎ ‎17．（本题6分）‎ 解： 由②，得x＝10－y． ③‎ 将③代入①中，得 (10－y)＋2＝5y．‎ 解得 y＝4．‎ ‎ 将y＝4代入③得：x＝6．‎ 所以，方程组的解为： 6分 ‎18．（本题8分）‎ 解：由题意得＋＝0．即＋＝0．‎ 解得x＝．经检验，x＝是原方程的根．所以x＝． 8分 ‎19．（本题7分）‎ 证明：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．‎ ‎ 在□ABCD，AO＝CO，BO＝DO，AB∥CD，∴∠AEO＝∠CFO．‎ 在△EBO与△FDO中 ‎∴△EBO≌△FDO．∴EO＝FO．‎ 又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．‎ ‎∴AC⊥EF时，平行四边形AECF是菱形． 7分 ‎20．（本题8分）‎ 解：（1）． 2分 ‎（2）①搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：（红1，红1）、（红1，红2）、（红1，白）、（红2，红1）、（红2，红2）、（红2，白）、（白，红1）、（白，红2）、（白，白），共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两次都是红球”（记为事件B）的结果只有4种，所以P(B)＝． 6分 ‎ ‎②n． 8分 ‎21．（本题8分）‎ 解：（1）c＝50d． 2分 ‎（2）图略． 6分 ‎ （3）九（2）班． 8分 ‎22．（本题7分）‎ 解：如图所示．‎ E F ‎ ‎A B C D E F ‎7分 ‎23．（本题7分）‎ 解：（1）CD－BD＝AD.在时间相同的情况下,AD＝tv人，BD＝tv自动扶梯，CD＝tv人＋自动扶梯．‎ CD－BD＝tv人＋自动扶梯－tv自动扶梯＝t(v人＋自动扶梯－v自动扶梯)＝tv人＝AD． 3分 ‎（2）在Rt△COD中，tan∠COD＝，∴CD＝OD；‎ 在Rt△BOD中，tan∠BOD＝，∴BD＝OD；‎ ‎∴AD＝CD－BD＝(－1)OD．‎ ＝＝＝＝－1．‎ 即正常行走的人的速度是自动扶梯的速度的(－1)倍． 7分 ‎24．（本题8分）‎ 解：（1）①16 ；12 ． 2分 ‎②设在该屏幕上播放长宽比为2.4︰1的视频时，视频的宽为a寸（长为16寸）．‎ ＝，解得 a＝．所以黑色带子的宽的和＝12－＝．‎ 所以屏幕浪费比＝＝． 5分 ‎（2）由题意： ＝， ＝ ，得：PQ＝BC，FG＝EF．‎ 因为S矩形EFGH＝S矩形MNPQ，所以BC·BC＝ EF·EF．‎ 所以＝，∴ ＝≈1.8．答：这种屏幕的长宽比约为1.8． 8分 ‎25．（本题9分）‎ 解：（1）连接CP、DP．‎ ‎∵AO∥CB，∠AOB＝90°，所以∠CBO＝90°．又∵点B在半圆上，所以BP＝DP．‎ ‎∵CD＝CB，CP＝CP，∴△CDP≌△CBP．∴∠CDP＝∠CBP＝90°．‎ 又∵点D在半圆上，∴AC与半圆相切于点D． 4分 ‎（2）∵OP＝OB，∴点O在半圆上，又∵∠AOB＝90°，∴AO与半圆相切．‎ ‎∴AO＝AD．‎ 作AN⊥CB，垂足为N．设AO＝x，在Rt△ANC中，AN2＋CN2＝AC2．‎ ‎∴42＋(4－x)2＝(4＋x)2，解得x＝1．‎ 作DM⊥OB，垂足为M，与AN交于点H．‎ ‎∵DM∥CB，∴△ADH∽△ACN．∴＝，即＝，∴AH＝．‎ 同理，可得DH＝，则DM＝．所以D（，）． 9分 O C B A D P y x M N H ‎26．（本题10分）‎ 解：（1）无数； 1分 ‎ （2）①令y＝0，即x2＋3x＋2＝0．‎ ‎ 解得：x1＝－1，x2＝－2．‎ ‎ ∴二次函数y＝x2＋3x＋2与x轴的交点坐标为（－2，0），（－1，0）． 3分 ‎ ②∵y＝x2＋3x＋2＝(x＋)2－ ∴顶点坐标为（－，－）．‎ ‎ 设以（－2，0）为顶点且经过（－，－）的抛物线的函数关系式为 y＝a(x＋2)2，‎ ‎ 将x＝－，y＝－代入y＝a(x＋2)2 得 a＝－1．‎ ‎ ∴二次函数y＝x2＋3x＋2的一个“伴侣二次函数”为 y＝－(x＋2)2=－x2－4x－4‎ ‎ 同理可求以（－1，0）为顶点且经过（－，－）的抛物线的函数关系式．‎ 即二次函数y＝x2＋3x＋2的另一个“伴侣二次函数”为 y＝－(x＋1)2=－x2－2x－1 7分 ‎（3）设y＝a1(x＋m)2＋n，其顶点为（－m，n）；‎ y＝a2(x＋h)2＋k，其顶点为（－h，k）．‎ 根据“伴侣二次函数”定义可得 ‎∴a1(－h＋m)2＝－a2(－m＋h)2 ．‎ 当－h≠m时，a1＝－a2‎ 当－h＝m时，a1、a2为任意不为零的实数。‎ ‎10分 A l M N H B ‎27．（本题10分）‎ 解：（1）如图，作MH⊥AN，垂足为H．‎ 在Rt△MAH中，∠A＝45°，‎ ‎∴MH＝AM＝AN．∵MN·AB＝AN·MH，‎ ‎∴6MN＝AN·AN，即AN2＝6MN．‎ 在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2 ，36＋2＝ AN2 即36＋2＝6MN ‎∴MN 1＝12＋12（舍去），MN 2＝12－12． 4分 ‎（2）如图①所示，当点B在点M右侧时．易证△MNH∽△ANB．‎ ‎∴＝，∴MN·AB＝AN·MH，即6MN＝AN·MH．‎ 又∵MB＝2，AB＝6，∴AM＝＝2 A l M N ‎①‎ H B ‎∴MH＝AM＝2，‎ ‎∴6MN＝2AN，‎ ‎∴6(2＋BN)＝2AN．‎ ‎∴BN＝AN－2．‎ 又∵在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2．‎ 即 36＋2＝ AN2．解得：AN＝3，‎ ‎∴BN＝AN－2＝3．∴MN＝2＋3＝5．‎ l M N B A ‎②‎ H 如图②所示，当点B在点M左侧时．‎ 易证△MNH∽△ANB，∴＝．‎ ‎∴MN·AB＝AN·MH，即6MN＝AN·MH．‎ ‎∵MB＝2，AB＝6，∴AM＝＝2，‎ ‎∴MH＝AM＝2，∴6MN＝2AN，∴6(BN－2)＝2AN，‎ ‎∴BN＝AN＋2．‎ 又∵在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2，即 36＋2＝AN2．‎ 解得AN＝6．∴BN＝AN＋2＝12，∴MN＝12－2＝10．‎ 综上：若BM＝2，MN＝10或5． 10分 注：本题也可作∠BAC＝45°，利用全等、相似，进而求解．图形提示如下：图①对应第（1）问，图②、③对应第（2）问．‎ A l M N D B C ‎①‎