【数学】2019届高考一轮复习北师大版理4-4简单的三角恒等变换学案

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理4-4简单的三角恒等变换学案

第4讲　简单的三角恒等变换 ‎　　　　　三角函数式的化简 ‎ [典例引领]‎ ‎ 化简：(1)(0<θ<π)；‎ ‎(2)·.‎ ‎【解】　(1)原式＝‎ ‎＝ ‎＝.‎ 因为0<θ<π，所以0<<，所以cos >0.‎ 所以原式＝－cos θ.‎ ‎(2)原式＝· ‎＝· ‎＝·＝.‎ 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎[通关练习]‎ ‎1．(2018·长沙模拟)化简：＝________．‎ 解析：＝＝‎ ＝4sin α.‎ 答案：4sin α ‎2．化简：.‎ 解：原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝cos 2x.‎ ‎　　　　　　三角函数式的求值(高频考点)‎ 三角函数式的求值在高考中主要以选择题形式出现，有时以解答题某一步出现，试题难度较小．高考对三角函数求值的考查有以下三个命题角度：‎ ‎(1)给角求值；‎ ‎(2)给值求值；‎ ‎(3)给值求角．‎ ‎[典例引领]‎ 角度一　给角求值 ‎ 的值是________．‎ ‎【解析】　＝‎ ＝＝＝2.‎ ‎【答案】　2‎ 角度二　给值求值 ‎ 已知α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2 α＝0，求的值．‎ ‎【解】　因为α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，‎ 所以2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，‎ 所以cos α＝，sin α＝，‎ 所以 ‎＝＝.‎ 角度三　给值求角 ‎ 已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B.或－ C．－或 D．－ ‎【解析】　由题意得tan α＋tan β＝－3<0，tan αtan β＝4>0，所以tan(α＋β)＝＝，且tan α<0，tan β<0，又由α，β∈得α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β ‎＝－.‎ ‎【答案】　D 三角函数求值的3种情况 ‎ [通关练习]‎ ‎1．计算：＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选D.原式＝－·＝－tan＝－×＝－.‎ ‎2．已知sin α＝且α为第二象限角，则tan＝(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选D.由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，所以tan 2α＝－，所以tan＝＝＝－.‎ ‎3．(2018·南充模拟)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则β＝________．‎ 解析：因为α∈，β∈，且cos α＝，cos＝－，‎ 所以sin α＝＝，‎ sin(α＋β)＝＝，‎ 则sin β＝sin[(α＋β)－α]‎ ‎＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ‎＝×－×＝，因为β∈，所以β＝.‎ 答案： ‎　　　　　　三角恒等变换的简单应用 ‎ [典例引领]‎ ‎ 如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.‎ ‎(1)求S关于θ的函数关系式；‎ ‎(2)求S的最大值及相应的θ角．‎ ‎【解】　(1)分别过P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．‎ 由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.‎ 在Rt△OEQ中，‎ OE＝QE＝PD，‎ MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－sin θ，‎ S＝MN·PD＝·sin θ ‎＝sin θcos θ－sin2θ，θ∈.‎ ‎(2)S＝sin 2θ－(1－cos 2θ)‎ ‎＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－，‎ 因为θ∈，‎ 所以2θ＋∈，sin∈.‎ 当θ＝时，Smax＝(m2)．‎ 利用三角恒等变换解决实际问题的思路 ‎(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题．‎ ‎(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题．‎ ‎[提醒]　注意恰当选择自变量，并利用解直角三角形等知识表示有关线段．‎ ‎ 如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？‎ 解：连接OB，设∠AOB＝θ，‎ 则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.‎ 因为A，D关于原点对称，‎ 所以AD＝2OA＝40cos θ.‎ 设矩形ABCD的面积为S，则 S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ ‎＝400sin 2θ.因为θ∈，‎ 所以当sin 2θ＝1，‎ 即θ＝时，Smax＝400(m2)．‎ 此时AO＝DO＝10(m)．‎ 故当A、D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.‎ ‎ 三角恒等变换三大原则 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“正用、逆用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．‎ ‎ 易错防范 在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数．‎ ‎(1)已知正切函数值，选正切函数；‎ ‎(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)‎ A.　 B．－ C. D．－ 解析：选C.cos2＝＝＝＝，故选C.‎ ‎2．已知f(x)＝2tan x－，则f的值为(　　)‎ A．4 B. C．4 D．8‎ 解析：选D.因为f(x)＝2＝2×＝2×＝，‎ 所以f＝＝8.‎ ‎3．(2018·湖北新联考模拟)＝(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 解析：选A.＝＝＝＝.故选A.‎ ‎4．已知α，β均为锐角，(1＋tanα)(1＋tan β)＝2，则α＋β为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β，‎ 所以tan(α＋β)＝＝＝1.‎ 因为0<α，β<，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝.‎ ‎5．sin220°＋cos280°＋sin 20°cos 80°的值为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 解析：选A.sin220°＋cos280°＋sin 20°·cos 80°‎ ‎＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 160°)＋sin 20°cos(60°＋20°)‎ ‎＝1－cos 40°＋(cos 120°·cos 40°－sin 120°·sin 40°)＋sin 20°(cos 60°cos 20°－sin 60°sin 20°)‎ ‎＝1－cos 40°－cos 40°－sin 40°＋sin 40°－sin220°‎ ‎＝1－cos 40°－(1－cos 40°)＝.‎ ‎6.－＝________．‎ 解析：原式＝ ‎＝＝tan 30°＝.‎ 答案： ‎7．已知cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝________．‎ 解析：法一：因为cos 2θ＝，‎ 所以2cos2θ－1＝，1－2sin2θ＝，‎ 因为cos2θ＝，sin2θ＝，‎ 所以sin4θ＋cos4θ＝.‎ 法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－sin22θ ‎＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.‎ 答案： ‎8．已知＝，tan(α－β)＝，则tan β＝________．‎ 解析：因为＝，所以＝，＝1，所以tan α＝1，又因为tan(α－β)＝，‎ 所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝.‎ 答案： ‎9．化简：.‎ 解： ‎＝＝ ‎＝＝＝ ‎＝＝tan α.‎ ‎10．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．‎ 解：由cos β＝，β∈，‎ 得sin β＝，tan β＝2.‎ 所以tan(α＋β)＝ ‎＝＝1.‎ 因为α∈，β∈，‎ 所以<α＋β<，‎ 所以α＋β＝.‎ ‎1．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)‎ A. B. C.或 D.或 解析：选A.因为sin 2α＝，α∈，所以cos 2α＝－且α∈，又因为sin(β－α)＝，β∈，　‎ 所以cos(β－α)＝－，因此cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝－×－×＝，又α＋β∈，所以α＋β＝，故选A.‎ ‎2．(2018·山西省晋中名校高三联合测试)对于集合{a1，a2，…，an}和常数a0，定义：ω＝‎ 为集合{a1，a2，…，an}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为(　　)‎ A. B. C. D．与a0有关的一个值 解析：选A.集合相对a0的“正弦方差”‎ ω＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎3．(2018·云南省第一次统一检测)计算 ＝________(用数字作答)．‎ 解析：＝＝＝＝.‎ 答案： ‎4．(2018·济南模拟)设α∈，β∈，且5sin α＋5cos α＝8，sin β＋cos β＝2，则cos(α＋β)的值为________．　‎ 解析：由5sin α＋5cos α＝8，得sin＝，‎ 因为α∈，α＋∈，‎ 所以cos＝.‎ 又β∈，β＋∈，‎ 由sin β＋cos β＝2，得 sin＝.‎ 所以cos＝－.‎ 所以cos(α＋β)＝sin ‎＝sin ‎＝sincos＋cossin ‎＝－.‎ 答案：－ ‎5．已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．‎ 解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，‎ 所以A＝2.‎ ‎(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sin α＝－，‎ 得sin α＝，又α∈，‎ 所以cos α＝.‎ 由f＝2cos(β－＋)‎ ‎＝2cos β＝，‎ 得cos β＝，又β∈，‎ 所以sin β＝，‎ 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ‎＝×－×＝－.‎ ‎6．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2 m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB＝，‎ 记该设施平面图的面积为S(x)m2，∠AOB＝x rad，其中

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