2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略 专题限时集训18 第1部分 专题5 第17讲 圆锥曲线的性质

2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略 专题限时集训18 第1部分 专题5 第17讲 圆锥曲线的性质

专题限时集训(十八)　‎ 圆锥曲线的定义、方程与性质 ‎(建议用时：4 5分钟)‎ ‎1．设抛物线C1的方程为y＝x2，它的焦点F关于原点的对称点为E.若曲线C2上的点到E，F的距离之差的绝对值等于6，则曲线C2的标准方程为________．‎ ‎【解析】　方程y＝x2可化为x2＝20y，它的焦点为F(0,5)，所以点E的坐标为(0，－5)，根据题意，知曲线C2是焦点在y轴上的双曲线，设方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2a＝6，a＝3，又c＝5，b2＝c2－a2＝16，‎ 所以曲线C2的标准方程为－＝1.‎ ‎【答案】　－＝1‎ ‎2．(2016·常州期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点P(1，－2)，则该双曲线的离心率为________．‎ ‎【导学号：19592052】‎ 　[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.‎ 由点P(1，－2)在其直线上，得＝2.‎ ‎∴离心率e＝＝＝.]‎ ‎3．(2016·苏北四市摸底)已知双曲线x2－＝1(m>0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，则m＝________.‎ 　[双曲线x2－＝1(m>0)的渐近线方程为y＝±mx(m>0)．由题意可知m＝‎ eq f(r(3),3).]‎ ‎4．(2016·南京盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1,3)，则其焦点到准线的距离为________．‎ 　[由题意，可设曲线C的方程为y2＝2px(p>0)．‎ 由于点P(1,3)满足y2＝2px，即9＝2p，∴p＝.‎ 故焦点到准线的距离为.]‎ ‎5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为________．‎ ＋＝1　[由e＝得＝①.又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，‎ ‎∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.]‎ ‎6．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则AB＝________.‎ ‎12　[∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F，‎ ‎∴AB的方程为y－0＝tan 30°，即y＝x－.‎ 联立得x2－x＋＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.‎ 由于AB＝xA＋xB＋p，∴AB＝＋＝12.]‎ ‎7．(2016·南通三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．‎ y＝±x　[抛物线y2＝－12x的焦点为(－3,0)，‎ 故双曲线－y2＝1满足a2＋1＝9，∴a2＝8.‎ ‎∴a＝±2.‎ ‎∴双曲线的渐近线方程y＝±＝±x.]‎ ‎8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1的直线与椭圆相交于A，B两点，若·＝0，且||＝||，则椭圆的圆心率为________．‎ －　[在Rt△ABF2中，设AF2＝m，‎ 则BF2＝m，‎ 所以4a＝(2＋)m，‎ 又在Rt△AF1F2中，AF1＝2a－m＝m，‎ F1F2＝2c，‎ 所以(2c)2＝2＋m2＝m2，‎ 即2c＝m，所以e＝＝ ‎＝＝－.]‎ ‎9．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是________．‎ ‎【导学号：19592053】‎ 图17－2‎ 　[把x＝－c代入椭圆方程，得y＝±，∴PF＝.‎ ‎∵OP∥AB，PF∥OB，∴△PFO∽△BOA，‎ ‎∴＝，即＝，得b＝c，e＝.]‎ ‎10．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若BC＝2BF，且AF＝3，则抛物线的方程是________．‎ y2＝3x　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AM，BN垂直准线于点M，N(图略)，则BN＝BF，又BC＝2BF，得BC＝2BN，所以∠NCB＝30°，有AC＝2AM＝6，‎ 设BF＝x，则2x＋x＋3＝6⇒x＝1，又x1＋＝3，x2＋＝1，且x1x2＝，‎ 所以＝，解得p＝，从而抛物线方程为y2＝3x.]‎ ‎11．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________．‎ ‎(2，＋∞)　[∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知MF＝y0＋2.以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.‎ 由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故42.]‎ ‎12．如图17－3，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的射影分别是M，N，若AM＝2BN，则k＝________.‎ 图17－3‎ 　[设直线l与曲线C的准线的交点为E，因为AM＝2BN，所以BE＝BA，即B为AE的中点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得2x2＝x1－1，由得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，所以x2·x1＝1，即·x1＝1，得x1＝2，y1＝2，x2＝，y2＝，k＝.]‎ ‎13．(2013·辽宁高考)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．‎ ‎44　[由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.‎ ‎∴PQ＝4b＝16>2a.‎ 又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的一支上，‎ 且PQ所在直线过双曲线的右焦点，‎ 由双曲线定义知 ‎∴PF＋QF＝28.‎ ‎∴△PQF的周长是PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.]‎ ‎14．椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．‎ －1　[已知F1(－c,0)，F2(c,0)，‎ 直线y＝(x＋c)过点F1，且斜率为，‎ ‎∴倾斜角∠MF1F2＝60°.‎ ‎∵∠MF2F1＝∠MF1F2＝30°，‎ ‎∴∠F1MF2＝90°，∴MF1＝c，MF2＝c.‎ 由椭圆定义知MF1＋MF2＝c＋c＝2a，‎ ‎∴离心率e＝＝＝－1.]‎ ‎15．(2016·宿迁模拟)已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点的坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值为________．‎ 　[由||＝1，A(3,0)，知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，‎ ‎∵·＝0且P在椭圆上运动，∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连结PA(如图)，则||＝＝，‎ ‎∵||min＝a－c＝5－3＝2，‎ ‎∴||min＝.]‎ ‎16．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是________．‎ ∪　[当点P位于椭圆的两个短轴端点时，△F1F2P为等腰三角形，此时有2个．‎ 若点不在短轴的端点时，要使△F1F2P为等腰三角形，则有PF1＝F1F2＝2c或PF2＝F1F2＝2c.此时PF2＝2a－2c.所以有PF1＋F1F2>PF2，即2c＋2c>2a－2c，所以3c>a，即>，又当点P不在短轴上，所以PF1≠BF1，即2c≠a，所以≠. 所以椭圆的离心率满足

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