2017-2018学年海南省海口四中高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版含部分解析）
2017-2018学年度海口四中高二年级第二学期期末考试（理科）(数学)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
A. 30 B. 25 C. 20 D. 15
3. 天气预报，在国庆节甲地降雨的概率是0.3，乙地降雨的概率是0.4，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两地至少有一地降雨的概率为（）
A. B. C. D.
4. 在二项式的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 10 C. D. 80
5. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()
A. 2，5 B. 5，5 C. 5，8 D. 8，8
6. 某老师从10位学生中安排6位参加一项研究性学习活动，其中甲、乙两位学生要么都参加，要么都不参加，则不同的安排方法种数为（）
A. 28 B. 70 C. 56 D. 98
7. 已知随机变量X~N（1,9），X在区间（－1,）和（,3）上取值的概率分别为，则（ ）
A. B. C. D. 的大小不确定
8. 如下图，该程序框图运行后输出的结果为（）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
1. 在区间上随机取一个数，使的值介于到之间的概率为（ ）
A. B. C. D.
2. 2018年海南岛欢乐节组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
3. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品任取3件，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率是（）
A. B. C. D.
4. 某篮球运动员投篮命中率为0.8，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分，设命中次数为X，得分为Y，则E（X），D（Y）分别为 ( )
A. ， B. ，80 C. 4，80 D. 4，
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
5. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为______ ．
1. 若5个人站成一排照相，其中甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为_______
2. 已知随机变量X的分布列为
－1
0
1
且，则的值为___________
3. 盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示).
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
4. 已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．
（1）cosA的值；
（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．
5. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5，
（1）求证：AA1⊥平面ABC；
（2）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
1. 在一次高三数学模拟测验中，对本班“选考题”选答情况进行统计结果如下：
选修4-1
选修4-4
选修4-5
男生（人）
10
6
4
女生（人）
2
6
14
（Ⅰ）在统计结果中，如果把“选修4-1”和“选修4-4”称为“几何类”，把“选修4-5”称为“非几何类”，能否有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关？
（Ⅱ）已知本班的两名数学课代表都选答的是“选修4-5”，现从选答“选修4-1”、“选修4-4”和“选修4-5”的同学中，按分层抽样的方法随机抽取7人，记抽取到数学课代表的人数为，求得分布列及数学期望.
附：.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
2. 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
0时，求f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围．
2. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cos θ＋ksin θ)＝－2(k为实数)．
判断曲线与直线l的位置关系，并说明理由；
若曲线和直线l相交于A，B两点，且，求直线l的斜率．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：∵复数===，
∴复数对应的点的坐标是（，）
∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，
故选A．
先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．
本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查统计中分层抽样问题.分层抽样要按照比例抽取即可.
【解答】
解：松树苗4000棵占林场树苗30000棵中的，共抽取150个样本，则抽取的样本中松树苗数量为.
故选C.
3.【答案】D
【解析】
略
4.【答案】C
【解析】
略
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
【解答】
解：由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x＝15，x＝5.又因＝16.8，所以y＝8.
故选C.
6.【答案】D
【解析】
略
7.【答案】B
【解析】
略
8.【答案】D
【解析】
略
9.【答案】A
【解析】
略
10.【答案】A
【解析】
略
11.【答案】B
【解析】
略
12.【答案】C
【解析】
略
13.【答案】480
【解析】
解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1-10×（0.005+0.015）=0.8，
由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600×0.8=480人．
故答案为：480．
根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．
本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力．属于基础题．
14.【答案】72
【解析】
【分析】
本题考查了排列的应用.首先考虑求甲乙两人不相邻的排法.可以联想到用插空法求解，先把除甲乙外的其他三人排好，将甲乙2人插入三人形成的四个空隙中，求出排法相乘即可.
【解析】
解：∵求甲乙2人不相邻的排法，可分2步，
第一步，先把除甲乙2人外的其他3人排好，有种排法；
第二步，将甲乙2人插入前3人形成的4个空隙中，有种；
∴甲乙不相邻的排法共有.
故答案为72.
15.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查了随机变量的分布列，以及随机变量的数学期望的应用.
【解答】
解：∵,
∴,
∴.
故答案为2.
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．
【解答】
解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种，
取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种，
则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为，
所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是，
故答案为.
17.【答案】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，
由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC
⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，
又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，
∴．…（6分）
（2）由，
由于顶点在单位圆上的△ABC中，2R=2，利用正弦定理可得：．
由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA⇒bc=b2+c2-a2=4-3=1．…（10分）
∴．…（12分）
【解析】
（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinA•cosA=sinA，又0＜A＜π，即可求得cosA的值．
（2）由同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由于顶点在单位圆上的△ABC中，利用正弦定理可得，可求a，利用余弦定理可得bc的值，利用三角形面积公式即可得解．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
18.【答案】（1）证明：∵AA1C1C为正方形，
∴AA1⊥AC,
∵平面ABC⊥平面AA1C1C，
且AA1垂直于这两个平面的交线AC，
又AA1C1C是边长为4的正方形，AB=3，BC=5．
∴AC=4，
∵AC2+AB2=BC2，
∴AC⊥AB，
又∵AA1∩AB=A，
∴AA1⊥平面ABC;
（2）解：由（1）知AA1⊥AC，AA1⊥AB,
由题知AB=3，BC=5，AC=4，
∴AB⊥AC,
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，
则B（0，3，0），A1（0，0，4），B1（0，3，4），C1（4，0，4）,
设平面A1BC1的法向量为=（x，y，z），
∵=（0，3，-4），=（4，0，0），
∴,
令z=3，则x=0，y=4，
∴=（0，4，3）,
同理可得，平面B1BC1的一个法向量为=（3，4，0）,
∴cos＜n，m＞==,
∵由题知二面角A1BC1B1为锐角，
∴二面角A1-BC1-B1的余弦值为.
【解析】
本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．
（1）由正方形性质得AA1⊥AC，由面面垂直得AA1垂直于这两个平面的交线AC，由勾股定理得AC⊥AB，由此能证明AA1⊥平面ABC．
（2）以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，求出平面A1BC1的法向量和平面B1BC1的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角A1-BC1-B1的余弦值．
19.【答案】解：（Ⅰ）由题意得2×2列联表：
几何类
非几何类
合计
男生（人）
16
4
20
女生（人）
8
14
22
合计（人）
24
18
42
，
∴根据此统计有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关；
（Ⅱ）∵根据分层抽样得，
在选答“选修4-1”“选修4-4”和“选修4-5”的同学中分别抽取2名，2名，3名，
∴依题意知X的可能取值为0，1，2，
，
，
，
X的分布列为：
X
0
1
2
P（X）
所以.
【解析】
本题考查分层抽样，考查分布列及数学期望，考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个中档题．
（Ⅰ）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值
公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到结论；
（Ⅱ）根据分层抽样得，在选答“选修4-1”“选修4-4”和“选修4-5”的同学中分别抽取2名，2名，3名，依题意知X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求出X的分布列及数学期望．
20.【答案】解：（1）直线AB的方程是，与y2=2px联立，有4x2-5px+p2=0，
∴，
由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，
∴p=4，∴抛物线方程是y2=8x．
（2）由p=4，4x2-5px+p2=0得x2-5x+4=0，
∴x1=1，x2=4，由题意，A在第四象限，B在第一象限．
则，，从而A，B（4，4）．
设，
又[2（2λ-1）]2=8（4λ+1），
解得λ=0，或λ=2．
【解析】
本题主要考查了抛物线的方程与简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．
（1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x2-5px+p2=0，从而，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得；
（2）由p=4，4x2-5px+p2=0求得A，B．再设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．
21.【答案】解：(1)∵函数的定义域为x∈（0，+∞），
∴,
∵当a＞0时，对于 x∈（0，+∞）,ex+ax＞0恒成立,
∴若x＞1，＞0，
若0＜x＜1，＜0,
∴的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；
(2)∵由条件可知 =0，在x∈（）上有三个不同的根,
∴ex+ax=0在x∈（）上有两个不同的根，且a≠-e，
∵令,
当x∈（）时单调递增，x∈（1，2）时单调递减,
∴的最大值为,
而＞0,
∴＜a＜-e.
【解析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值.
(1)对函数求导后，再由当x＞1，＞0和当0＜x＜1，＜0,以确定函数的单调区间;
(2)函数f（x）在（，2）内有三个不同的极值点，结合单调性判断函数最值和0的关系，即可求实数a的取值范围.
22.【答案】【小题1】
解：∵由曲线C1的参数方程
∴消参得其普通方程为：,
∵由ρ(cos θ＋ksin θ)＝-2,
∴可得直线的直角坐标方程为x＋ky＋2＝0,
∵圆心(－1,0)到直线的距离:，
∴直线与圆相交或相切，
∴当k＝0时，d＝1，直线与曲线C1相切；
当k≠0时，d<1，直线与曲线C1相交．
【小题2】
解：∵由曲线C1的参数方程,
∴消参得其普通方程为：,
∵由ρ(cos θ＋ksin θ)＝-2,
∴可得直线的直角坐标方程为x＋ky＋2＝0,
∵曲线C1和直线相交于A，B两点，且|AB|＝，
∴圆心到直线l的距离,
∴解得k＝±1，
∴直线的斜率为±1.
【解析】
本题考查了圆的参数方程，与直线的极坐标方程化为普通方程，结合圆心到直线的距离，得到直线与圆的位置关系，从而得到结果.
本题考查了圆的参数方程，直线的极坐标方程，化为普通方程后，结合直线与圆相交的弦的性质，得到直线的斜率，从而得到结果.
