陕西省西安中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

陕西省西安中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

‎2019-2020学年高三第一学期期末数学（理科）试卷 一、选择题 ‎1.集合,则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 集合=，，．‎ 故答案选C．‎ ‎2.设复数满足（其中为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算得到，进而得到其共轭复数即可.‎ ‎【详解】，，‎ 的共轭复数为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除法运算，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知命题若，则；命题、是直线，为平面，若//,，则//.下列命题为真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两边平方的方法判断命题是真命题，利用线面平行的性质判断命题是假命题，由此选出正确的选项.‎ ‎【详解】对于命题，将两边平方，可得到，故命题为真命题.对于命题，直线，但是有可能是异面直线，故命题为假命题，为真命题.所以为真命题，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查线面平行以及两条直线的位置关系，考查含有简单逻辑词命题真假性的判断，属于基础题.‎ ‎4.已知为数列的前项和，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到，从而为等比数列，利用等比数列前n项和公式可得结果.‎ ‎【详解】时，，‎ 两式相减，整理得，‎ ‎∵，∴，‎ 所以是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴，‎ 故选D ‎【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.‎ ‎5.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是( )‎ A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；‎ B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；‎ C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；‎ D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.‎ ‎【详解】对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.‎ ‎6.己知直线是函数 与的图象的一条对称轴，为了得到函数的图象，可把函数的图象（ ）‎ A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，得，解得，所以函数，再根据三角函数的图象变换，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】依题意，直线是函数与的图象的一条对称轴，‎ 则，即，解得，‎ 因为，所以，所以函数，‎ 将图象向左平行移动个单位长度得，‎ 选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，其中解答中正确李颖三角函数的性质，得出三角函数的解析式，熟记三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎7.函数的图象大致为( )‎ A. B. C. ‎ ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别令，根据的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】由四个选项的图像可知，令，，由此排除C选项.令，，由此排除B选项.由于，排除D选项.故本小题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.‎ ‎8.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数进行指数式、对数式的比较，属于基础题.‎ ‎9.若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点的坐标代入抛物线方程求得的值，由此求得焦点的坐标，由此求得的值，联立直线的方程与抛物线的方程求得点的坐标，由此求得的值，而的夹角为，最后利用数量积的运算求得的值 ‎【详解】依题意易得，，由抛物线的定义得，联立直线AF的方程与抛物线的方程消去y得，得, 则,故 .故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线交点坐标的求法，考查了向量数量积的运算.属于基础题.‎ ‎10.已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两个函数图像相交，交点的坐标相同列方程，化简后求得 的值，再利用正切的二倍角公式求得的值.‎ ‎【详解】依题意得，即.‎ ‎ = .故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两个函数交点的性质，考查同角三角函数的基本关系式，考查正切的二倍角公式，属于基础题.‎ ‎11.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设， ，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，根据余弦定理可得，利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率的公式，求得结果.‎ ‎【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的离心率为，则，．‎ 双曲线的实半轴长为，双曲线的离心率为，，，‎ 设， ，‎ 则，‎ 当点P被看作是椭圆上的点时，有，‎ 当点P被看作是双曲线上的点时，有 ，‎ 两式联立消去得，即，‎ 所以，又，‎ 所以，整理得，‎ 解得或（舍去），所以，‎ 即双曲线的离心率为，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲的有关问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，新定义，椭圆和双曲线的离心率，余弦定理，属于中档题目.‎ ‎12.已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得.‎ ‎【详解】解：，‎ ‎∴，‎ 设，‎ ‎∴，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎∴，‎ 当时，，当，，‎ 函数恒过点，‎ 分别画出与的图象，如图所示，‎ ‎，‎ 若不等式有且只有一个正整数解，则图象在图象的上方只有一个正整数值，‎ ‎∴且，即，且 ‎∴，‎ 故实数m的最大值为，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.已知为互相垂直的单位向量，若，则＝_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的数量积求夹角的余弦值即可.‎ ‎【详解】解：由为互相垂直的单位向量，则，且；‎ 又，则 ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量夹角公式的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎14.已知函数，若，则实数的取值范围是_________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数是增函数且为奇函数，利用单调性和奇偶性将不等式 转化为，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】因函数为增函数，且为奇函数，，，解得.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用单调性和奇偶性解抽象函数不等式，属于基础题.‎ ‎15.数列是等差数列，,公差,且，则实数的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的通项公式，可以把等式变形为关于的等式，可以转化为的形式，利用函数的单调性求出实数的最大值.‎ ‎【详解】,，因为，所以令，因此，当，函数是减函数，故当时，实数有最大值，最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了闭区间上求函数的最大值问题，解题的关键是根据已知函数的单调性，判断所给区间上的单调性.‎ ‎16.已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有_____.‎ ‎①三棱锥的体积的最大值为；‎ ‎②三棱锥的外接球体积不变；‎ ‎③三棱锥的体积最大值时，二面角的大小是60°；‎ ‎④异面直线与所成角的最大值为90°.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用翻折问题的应用和面面垂直的应用和体积公式的应用和异面直线的夹角的应用求出结果.‎ ‎【详解】解：矩形，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，‎ ‎①，当平面平面时，三棱锥的高最大，此时三棱锥的体积，‎ 所以三棱锥的体积的最大值为，故错误；‎ ‎②设的中点为O，则由，知：，‎ 所以O为三棱锥外接球的球心，其半径为，‎ 所以外接球的体积为，三棱锥的外接球体积不变，故正确.‎ ‎③三棱锥的体积最大值时，当平面平面时，二面角的大小是90°，故错误.‎ ‎④当沿对角线进行翻折到使点D与点B的距离为，即时，在中，，所以，又，‎ 翻折后的垂直关系没有变，所以平面，即异面直线与所成角的最大值为90°，故正确.‎ 故答案为：②④.‎ ‎【点睛】考查了平面图形的翻折问题，考查了三棱锥的几何性质，考查了推理判断能力.‎ 三、解答题 ‎17.在中，内角的对边分别为，已知．‎ ‎(1)求角；‎ ‎(2)若，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA的值，可得A的值．‎ ‎（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式求得a的最小值．‎ ‎【详解】解：(1) ∵中，，‎ ‎∴由正弦定理知，，∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎(2) 由 (1)及得，‎ 所以 当且仅当时取等号，所以的最小值为 ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．‎ ‎18.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月收入总额（工资、薪金等）不超过免征额的部分不必纳税，超过免征额的部分为全月应纳税所得额，个人所得税税款按税率表分段累计计算.为了给公民合理减负，稳步提升公民的收入水平，自‎2018年10月1日起，个人所得税免征额和税率进行了调整，调整前后的个人所得税税率表如下：‎ ‎（1）已知小李2018年9月份上交的税费是295元，10月份月工资、薪金等税前收入与9月份相同，请帮小李计算一下税率调整后小李10月份的税后实际收入是多少？‎ ‎（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入，并制成下面的频率分布直方图.‎ ‎（ⅰ）请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数；‎ ‎（ⅱ）同一组中数据以这组数据所在区间中点的值作代表，按调整后税率表，试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元？‎ ‎【答案】（1）调整后小李的实际收入是（元）（2）（ⅰ）该公司员工收入的中位数为6625千元（ⅱ）小李所在的公司员工平均纳税129.2元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算出税前收入，再根据税率求税后实际收入；‎ ‎（2）（i）由柱状图知，中位数落在第二组，这样根据中位数的特点直接求解即可；‎ ‎（ii）根据所给的数据的计算方法直接求出按调整起征点后该公司员工当月所交的平均个税.‎ ‎【详解】解（1）设小李9月份的税前收入为x元，因为295＜345‎ 所以按调整起征点前应缴纳个税为：，‎ 解得 按调整起征点后应缴纳个税为：‎ 调整后小李的实际收入是（元）‎ ‎（2）（ⅰ）由柱状图知，中位数落在第二组，不妨设中位数为x千元，‎ 则有，解得（千元），‎ 估计该公司员工收入的中位数为6625千元；‎ ‎（ⅱ）按调整起征点后该公司员工当月所交的平均个税为（元）‎ 估计小李所在的公司员工平均纳税129.2元.‎ ‎【点睛】本题考查了中位数的求法，考查了数学阅读能力，考查了数学运算能力.‎ ‎19.如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面平面可得面，从而可得；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）依题意，面面，，‎ ‎∵面，面面，‎ ‎∴面.‎ 又面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）解法一：向量法 在中，取中点，∵，‎ ‎∴，∴面，‎ 以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，‎ 设，∵，∴，‎ ‎∴，，，，，‎ ‎∴，，.‎ 设面法向量为，‎ 则，解得.‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 因为，∴.‎ 所以直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎（2）解法二：几何法 过作交于点，则为中点，‎ 过作的平行线，过作的平行线，交点为，连结，‎ 过作交于点，连结，‎ 连结，取中点，连结，，‎ 四边形为矩形，所以面，所以，‎ 又，所以面，‎ 所以为线与面所成的角.‎ 令，则，，，‎ 由同一个三角形面积相等可得，‎ 为直角三角形，由勾股定理可得，‎ 所以，‎ 又因为为锐角，所以，‎ 所以直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一动点，且满足（O为坐标原点）.当时，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由离心率及四边形的面积和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；‎ ‎（2）将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，，可得.进而写出P的坐标，P在椭圆上求出m的范围，进而求出的表达式，由反比例函数的单调性求出它的最小值.‎ ‎【详解】解：（1）依题意得，.以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为，则，解得，.‎ 所以椭圆E的方程为.‎ ‎（2）设A，B两点的坐标分别为，‎ 联立方程得，，‎ ‎，，‎ 因为，即，所以.‎ 所以点，又点P在椭圆C上，所以有，‎ 化简得，‎ 所以，化简，因为，所以，‎ 因为，‎ 又，，所以.‎ 令，则，‎ 当时，取得最小值，最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了求平面向量数量积的最小值问题，考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了数学运算能力.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若函数在区间内有两个极值点，，求实数的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的基础上，求证：.‎ ‎【答案】(1) (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定的范围即可．‎ ‎（2）利用（1）可判，要证只需证，利用极值点偏移证出，构造函数研究单调性即可.‎ ‎【详解】（1）‎ 作题，是在上的两个零点 令 ‎，‎ ‎①若，，在上递增，至多有个零点，不合题意 ‎②若，，在上递减，至多有个零点，不合题意 ‎③若，在递减，递增，‎ 而，，‎ ‎（2）由（1）知 ‎，‎ 要证 只需证 又因为 而在递减从而只需证，又 只需证，‎ 令，‎ 为递增 ‎，即有 ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，极值点偏移问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为 (为参数).以原点为极点，轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.‎ ‎（I）求圆的普通方程及其极坐标方程；‎ ‎（II）设直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为，与直线的交点为Q，求线段PQ的长.‎ ‎【答案】（I）普通方程为：，极坐标方程为：. （II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用消去参数，求得圆的普通方程，将代入，可求得对应的极坐标方程.（II）分别将代入直线和圆的极坐标方程，然后两式相减，可求得的长.‎ ‎【详解】（I）∵圆的参数方程为 (为参数)‎ ‎∴消去参数得普通方程： ‎ 又 ‎ ‎∴ ‎ 化简得圆的极坐标方程为：. ‎ ‎（II）∵射线与圆的交点为 ‎ ∴把代入圆的极坐标方程可得： ‎ ‎ 又射线与直线的交点为Q ‎∴把代入直线极坐标方程可得：‎ ‎∴ ‎ ‎∴线段PQ的长 ‎【点睛】本小题主要考查极坐标、直角坐标和参数方程相互转化，考查利用极坐标的几何意义来解问题的方法，属于基础题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解集.（2）当时，对函数去绝对值后，构造一次函数，一次函数恒大于或等于零，则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）①当时，，‎ 解得，‎ ‎②当时，，‎ 解得，‎ ‎③当时，‎ 解得，‎ 综上知，不等式的解集为.‎ ‎（2）当时，，‎ 设，则，恒成立，‎ 只需， ‎ 即，解得 ‎【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎