高中数学选修2-1公开课课件3_1_2空间向量的数乘运算

高中数学选修2-1公开课课件3_1_2空间向量的数乘运算

3.1.2 空间向量的数乘运算 ——— 共线向量与共面向量 平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 定义 表示法 相等向量 减法 : 三角形法则 加法 : 三角形法则或 平行四边形法则 空间向量 具有大小和方向的量 数乘 :ka,k 为正数 , 负数 , 零 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 加法交换律 数乘分配律 加法结合律 类比思想 数形结合思想 数乘 :ka,k 为正数 , 负数 , 零 回 顾 回 顾 a O B b 结论 ：空间任意两个向量都可 平移 到同一个平面内，成为同一平面内的向量 . b a 一、空间向量数乘运算 1. 实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个 向量 . 当 时， 当 时， 与向量 方向相同； 与向量 方向相同； 是零向量 . 当 时， （ 1 ） 方向： （ 2 ）大小： 的长度是 的长度的 倍 . 2. 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 问题 ： 平面向量中， 的充要条件是：存在唯一 的实数 ，使 能否推广到空间向量中呢？ 零向量与任意向量共线 . 二、 共线向量 : 如果表示空间向量的有向线段所在直线互相 平行 或 重合 , 则这些向量叫做 共线向量 ( 或 平行向量 ), 记作 作用： 由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 共线向量定理 : 对空间任意两个向量 ， 。 存在实数 λ , 使 如图， l 为经过已知点 A 且平行已知非零向量 的直线， a 对空间任意一点 O, 所以 即 若在 l 上取 则有 ①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定 . 由此可判断空间任意三点共线 。 . a l A B P O 若点 P 是直线 l 上任意一点，则 由 知存在唯一的 t , 满足 ① ② 因为 所以 特别的，当 t = 时， 则有 a A B P O 进一步 ， t 1-t P 点为 A,B 的中点 练习 1. 对于空间任意一点 O ，下列命题正确的是： A. 若　　　　　　，则 P 、 A 、 B 共线 B. 若　　　　　　，则 P 是 AB 的中点 C. 若　　　　　　，则 P 、 A 、 B 不共线 D. 若　　　　　　，则 P 、 A 、 B 共线 A 、 B 、 P 三点共线 A O A B P 三、共面向量 : 1. 共面向量 : 平行 于同一平面的向量 , 叫做 共面向量 . 注意： 空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量 既可能共面，也可能不共面 d b a c 如果空间向量 与两不共线向量 ， 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 那么什么情况下三个向量共面呢？ 反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位 置关系？ C 2. 共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线 ， 则向量 与向量 ， 共面的充要 条件是 存在实数对 x , y 使 推论 : 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有 序实数对 x, y, 使 C 对空间任一点 O, 有 填空： 1- x - y x y C ③ 式称为空间平面 ABC 的向量表示式，空间中任意平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定 . ③ 作用： 由此可判断空间任意四点共面 P 与 A,B,C 共面 例 1. 　已知 A 、 B 、 C 三点不共线，对于平面 ABC 外的任一点 O ，确定在下列各条件下，点 P 是否与 A 、 B 、 C 一定共面？ 例 2. 　如图，已知平行四边形 ABCD ，过平 面 AC 外一点 O 作射线 OA 、 OB 、 OC 、 OD ，在四条射线上分别取点 E 、 F 、 G 、 H ，并且使 求证： 　　⑴四点 E 、 F 、 G 、 H 共面； 　　⑵平面 EG// 平面 AC. 　 O B A H G F E C D 共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平行或重合 平行于同一平面的向量 , 叫做共面向量 . 定理 推论 运用 判断三点共线，或两直线平行 判断四点共线，或直线平行于平面 小结 共面