2020届二轮复习用二分法求方程的近似解课时作业（全国通用）
2020届二轮复习 用二分法求方程的近似解 课时作业（全国通用）
1.下列是关于函数y=f(x),x∈[a,b]的说法:
①若x0∈[a,b],且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;
②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;
③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点;
④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值.
那么以上说法中正确的个数为( A )
(A)0 (B)1 (C)3 (D)4
解析:①因为x0∈[a,b],且f(x0)=0,
所以x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),所以①错误;
②因为函数f(x)不一定连续,所以②错误;③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,所以③错误;④用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,所以④错误.故选A.
2.用二分法找函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为( B )
(A)(0,1) (B)(0,2)
(C)(2,3) (D)(2,4)
解析:因为f(0)=20+0-7=-6<0,
f(4)=24+12-7>0,
f(2)=22+6-7>0,所以f(0)·f(2)<0,
所以零点在区间(0,2).故选B.
3.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( C )
(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点
(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点
(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
解析:根据零点存在性定理,
由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,
所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,
在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图所示.
.
故选C.
4.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,f(2)>0,则方程的根应落在区间( B )
(A)(1,1.25) (B)(1.25,1.5)
(C)(1.5,2) (D)不能确定
解析:因为f(1.5)>0,f(1.25)<0,
所以在区间(1.25,1.5)内函数f(x)=3x+3x-8存在一个零点,由此可得方程3x+3x-8=0的根落在区间(1.25,1.5)内.故选B.
5.下列函数能用二分法求零点的是( C )
(A)f(x)=x2 (B)f(x)=
(C)f(x)=ln(x+2)2 (D)f(x)=
解析:对于A,f(x)=x2≥0恒成立,故不能用二分法求零点;
对于B,f(x)=≥0恒成立,故不能用二分法求零点;
对于C,f(x)=ln (x+2)2,f(0)=ln 4>0,f(-1)=0,f(-1.5)
0恒成立,故不能用二分法求零点.故选C.
6.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
m
-4
-6
-6
-4
n
6
不求a,b,c的值,可以判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根所在的区间是( A )
(A)(-3,-1)和(2,4)
(B)(-3,-1)和(-1,1)
(C)(-1,1)和(1,2)
(D)(-∞,-3)和(4,+∞)
解析:f(-3)·f(-1)<0,f(2)·f(4)<0.故选A.
7.对于函数f(x)=x-2-ln x,我们知道f(3)=1-ln 3<0,f(4)=2-ln 4>0,用二分法求函数f(x)在区间(3,4)内的零点的近似值,我们先求出函数值f(3.5),若已知ln
3.5=1.25,则接下来我们要求的函数
值是 .
解析:函数f(x)=x-2-ln x在区间(3,4)上连续且单调递增,
f(3)=1-ln 3<0,f(4)=2-ln 4>0,f(3)·f(4)<0,
故用二分法求函数f(x)=x-2-ln x的零点时,初始的区间大致可选在(3,4)上.
又f(3.5)=3.5-2-ln 3.5≈0.25>0,
所以f(3)·f(3.5)<0,零点区间大致可选在(3,3.5)上,则接下来我们要求的函数值是区间(3,3.5)中点的函数值f(3.25).
答案:f(3.25)
8.用二分法求方程x2-5=0在区间(2,3)内的近似解,经过 次二分后精确度能达到0.01.
解析:因为初始区间的长度为1,精确度要求是0.01,
所以≤0.01,化为2n≥100,解得n≥7.
答案:7
能力提升
9.(2018·天津市新华中学高一期中)用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点的近似值x0=与真实零点的误差最大不超过( B )
(A) (B) (C)ε (D)2ε
解析:真实零点离近似值x0最远即靠近a或b,而b-=-a=<,因此误差最大不超过,故选B.
10.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称 次就可以发现这枚假币.
解析:将26枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,放在天平上,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚;若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上,若天平平衡,则剩下的那一枚即是假币;若不平衡,则质量小的那一枚即是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.
答案:4
11.函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是 (填写下列正确函数的序号).
①f(x)=;②f(x)=(x-1)2;③f(x)=ex-1;
④f(x)=4x-1.
解析:因为g(x)=4x+2x-2在R上连续且单调递增,且g()=-<0,
G()=2+1-2=1>0,
所以设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,
则0,f(2)=- <0,
所以f(0)·f(2)=- <0,
函数f(x)= x3-x2+1是连续函数,由函数的零点存在性定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)解:取x1= (0+2)=1,
得f(1)= >0,
由此可得f(1)·f(2)=- <0,
下一个有解区间为(1,2).
再x2= (1+2)=,
得f()=-<0,
由f(1)·f()=-<0,
则下一个有解区间为(1,).
综上所述,所求实数解x0在较小区间(1,)内.
探究创新
13.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:
x
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
…
y=2x
0.329 9
0.378 9
0.435 3
0.5
0.574 3
0.659 8
0.757 9
0.870 6
1
…
y=x2
2.56
1.96
1.44
1
0.64
0.36
0.16
0.04
0
…
若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值),则a的值为 .
解析:令f(x)=2x-x2,
由表中的数据可得f(-1)<0,
f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,
所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,
所以a=-1或a=-0.8.
答案:-1或-0.8
[教师备用] 已知函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,求方程f(x)=0的正根(精确度0.01).
解:由于函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递增,
因此f(x)=0的正根最多有一个.
因为f(0)=-1<0,f(1)= >0,
所以方程的正根在(0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:
区间
中点值
中点函数近似值
(0,1)
0.5
0.732
(0,0.5)
0.25
-0.084
(0.25,0.5)
0.375
0.328
(0.25,0.375)
0.312 5
0.124
(0.25,0.312 5)
0.281 25
0.021
(0.25,0.281 25)
0.265 625
-0.032
(0.265 625,0.281 25)
0.273 437 5
-0.005 43
(0.273 437 5,0.281 25)
因为|0.273 437 5-0.281 25|=0.007 812 5<0.01,
所以方程的根的近似值为0.273 437 5,
即f(x)=0的正根约为0.273 437 5.
