2019九年级数学下册 第1章 解直角三角形复习题 （新版）浙教版

2019九年级数学下册 第1章 解直角三角形复习题 （新版）浙教版

第1章　解直角三角形 类型之一　锐角三角函数的概念 图1－X－1‎ ‎1．如图1－X－1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是(　　)‎ A. 　　B. C. 　　D. ‎2．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图1－X－2那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是(　　)‎ 图1－X－2‎ A. B. C. D. ‎3．如图1－X－3，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是(　　)‎ A. B. C. D. 图1－X－3‎ ‎　　图1－X－4‎ ‎4．如图1－X－4，点P在等边三角形ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连结AP′，则sin∠PAP′的值为________．‎ 10‎ 类型之二　特殊角的三角函数值的计算 ‎5．若α的余角是30°，则cosα的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是(　　)‎ A. B. C. D. ‎7．计算：‎ ‎(1)＋2－1－4cos30°＋；‎ ‎(2)＋2sin60°＋()－1－；‎ ‎(3)2cos45°－＋＋()－1(n是自然数)．‎ 类型之三　解直角三角形及其应用 10‎ ‎8．2017·南宁如图1－X－5，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P之间的距离为(　　)‎ A．60 n mile B．60 n mile C．30 n mile D．30 n mile 图1－X－5‎ ‎　　图1－X－6‎ ‎9．如图1－X－6，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为‎2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上的交点C在尺上的读数约为________cm.(结果精确到‎0.1 cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)‎ 图1－X－7‎ ‎10．如图1－X－7，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，P是OA上的一动点，N(3，0)是OB上的一定点，M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM＋PN最小，则点P的坐标为________．‎ ‎11．2016·舟山太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图1－X－8所示，BC＝‎10米，∠ABC＝∠ACB＝36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC＝90°，求改建后屋顶面边沿增加部分AD的长．(结果精确到‎0.1米)(参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)‎ 10‎ 图1－X－8‎ ‎12．2017·岳阳某太阳能热水器的横截面示意图如图1－X－9所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝‎80 cm，AC＝‎165 cm.‎ ‎(1)求支架CD的长；‎ ‎(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)‎ 图1－X－9‎ ‎13．2017·株洲如图1－X－10，从一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝2 ，无人机的飞行高度AH＝‎500 ‎米，桥的长度为‎1255米．‎ ‎(1)求点H到桥的左端点P的距离；‎ ‎(2)若从无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度．‎ 10‎ 图1－X－10‎ ‎14．2016·杭州如图1－X－11，已知四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连结AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.‎ ‎(1)求sin∠EAC的值；‎ ‎(2)求线段AH的长．‎ 图1－X－11‎ 10‎ 详解详析 ‎1．D ‎2．C　[解析] 根据题意，BE＝AE.‎ 设CE＝x，则BE＝AE＝8－x，‎ 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得 BE2＝BC2＋CE2，即(8－x)2＝62＋x2，‎ 解得x＝，∴tan∠CBE＝＝＝.‎ 故选C.‎ ‎3．D　[解析] 过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.‎ ‎∵∠BAC＝120°，AB＝4，AC＝2, ‎ ‎∴∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，‎ ‎∴2AD＝AC＝2，‎ ‎∴AD＝1，CD＝，‎ ‎∴BD＝5，∴BC＝2 ，‎ ‎∴sinB＝＝.‎ ‎4.　[解析] 连结PP′，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，‎ ‎∴CP＝CP′＝6，‎ 10‎ ‎∠PCP′＝60°，‎ ‎∴△CPP′为等边三角形，‎ ‎∴PP′＝PC＝6.‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴CB＝CA，∠ACB＝60°，‎ ‎∴∠PCB＝∠P′CA，‎ ‎∴△PCB≌△P′CA(SAS)，‎ ‎∴PB＝P′A＝10.‎ ‎∵62＋82＝102，∴PP′2＋AP2＝P′A2，‎ ‎∴△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，‎ ‎∴sin∠PAP′＝＝＝.‎ ‎5．A　[解析] α＝90°－30°＝60°，cosα＝cos60°＝.故选A.‎ ‎6．B　[解析] ∵sin60°＝ ，cos60°＝ ，‎ ‎∴点M的坐标为.‎ ‎∵点P(m，n)关于x轴对称的点为P′(m，－n)，‎ ‎∴点M关于x轴的对称点的坐标是.故选B.‎ ‎7．解：(1)原式＝2 ＋－4×＋ ‎＝2 ＋－2 ＋ ‎＝1.‎ ‎(2)原式＝2－＋2×＋2－1＝3.‎ ‎(3)原式＝2×－1＋＋2＝＋.‎ 10‎ ‎8．B　[解析] 如图，作PE⊥AB于点E.‎ 在Rt△PAE中，∵∠PAE＝45°，PA＝60 n mile，∴PE＝AE＝×60＝30 (n mile)．‎ 在Rt△PBE中，∵∠B＝30°，‎ ‎∴PB＝2PE＝60 n mile.‎ ‎9．2.7‎ ‎10．(，)　[解析] 作点N关于OA的对称点N′，连结MN′交OA于点P，则点P为所求．显然ON＝ON′，∠NON′＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∴△ONN′为等边三角形，MN′⊥ON.∵OM＝，∴PM＝OM·tan30°＝×＝，∴点P的坐标为.‎ ‎11．解：∵∠BDC＝90°，BC＝‎10米，sinB＝，‎ ‎∴CD＝BC·sinB≈10×0.59＝5.9(米)．‎ ‎∵在Rt△BCD中，∠BCD＝90°－∠B＝90°－36°＝54°，‎ ‎∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝54°－36°＝18°，‎ ‎∴在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，‎ ‎∴AD＝CD·tan∠ACD≈5.9×0.32＝1.888≈1.9(米)，‎ 则改建后屋顶面边沿增加部分AD的长约为1.9米．‎ ‎12．解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝‎80 cm，∴cos30°＝＝，解得CD＝‎ 10‎ ‎40 (cm)．故支架CD的长为‎40 cm.‎ ‎(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝‎165 cm，∴tan30°＝＝，解得OC＝55 (cm)，‎ ‎∴OA＝2OC＝110 cm，OB＝OD＝OC－CD＝55 －40 ＝15 (cm)，‎ ‎∴AB＝OA－OB＝110 －15 ＝95 (cm)．‎ 故真空热水管AB的长为95 cm.‎ ‎13．解：(1)在Rt△AHP中，‎ ‎∵∠APH＝α，AH＝500 米，‎ ‎∴tan∠APH＝＝tanα，‎ ‎∴＝2 ，‎ 解得HP＝250(米)．‎ 故点H到桥的左端点P的距离为250米．‎ ‎(2)过点Q作QM⊥AB交其延长线于点M，‎ 则可得AM＝HQ＝HP＋PQ＝250＋1255＝1505(米)，QM＝AH＝500 米．‎ ‎∵在Rt△QMB中，∠QMB＝90°，∠QBM＝30°，QM＝500 米，‎ ‎∴BM＝1500米，‎ ‎∴AB＝AM－BM＝1505－1500＝5(米)．‎ 故这架无人机的长度为5米．‎ ‎14．解：(1)由题意知EC＝2，AE＝.‎ 过点E作EM⊥AC于点M，‎ 所以∠EMC＝90°，易知∠ACD＝45°，‎ 所以△EMC是等腰直角三角形，‎ 所以EM＝，所以sin∠EAC＝＝.‎ 10‎ ‎(2)在△GDC与△EDA中，‎ 因为 所以△GDC≌△EDA，所以∠GCD＝∠EAD.‎ 又因为∠HEC＝∠DEA，‎ 所以∠EHC＝∠EDA＝90°，所以AH⊥GC.‎ 由△GDC≌△EDA，得GC＝EA＝.‎ 因为S△AGC＝AG·DC＝GC·AH，‎ 所以×4×3＝××AH，‎ 所以AH＝ .‎ 10‎