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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教B版6-1不等关系与不等式学案
第一节 不等关系与不等式
不等式的概念和性质
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
知识点一 实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)a
N
C．M＝N D．不确定
解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.
答案：B
知识点二 不等式性质
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔bb，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
c的符号
⇒acb＋d
⇒
同向同正
可乘性
⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn
(n∈N，n≥1)
同正
可开方性
a>b>0⇒>
(n∈N，n≥2)
易误提醒
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，bb⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
[自测练习]
2．设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B.<
C．a2>b2 D．a3>b3
解析：当c<0时，ac>bc不成立，故A不正确，当a＝1，b＝－3时，B、C均不正确，故选D.
答案：D
3．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A.> B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D.>
解析：由a>b>0⇒0<<⇒a＋>b＋，故选C.
答案：C
4．已知a<0，－10，∴ab>ab2>a.
答案：ab>ab2>a
考点一 利用不等式(组)表示不等关系|
1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x应满足的不等关系．
解：由题意知
2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．
解：设甲、乙两种产品的产量分别为x件，y件，由题意可知，
利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点：
关键点：准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言．
注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．
考点二 不等式性质及应用|
1．(2018·大庆质检)若a B.>
C．|a|>|b| D．a2>b2
解析：由a不成立，选A.
答案：A
2．(2018·武汉调研)若实数a，b∈(0,1)，且满足(1－a)b>，则a，b的大小关系是( )
A．ab D．a≥b
解析：∵a，b∈(0,1)，∴1－a>0，又(1－a)b>，
∴<2，<，即b－a>0，故选A.
答案：A
3．设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋>b＋”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：法一：因为a＋－＝，所以若a>b>1，显然a＋－＝>0，则充分性成立；当a＝，b＝时，显然不等式a＋>b＋成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立，故选A.
法二：令函数f(x)＝x＋，则f′(x)＝1－＝，可知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a>b>1”是“a＋>b＋”的充分不必要条件，选A.
答案：A
运用不等式性质求解问题的两个注意点
1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．
2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．
考点三 比较大小|
(1)若实数a≠1，比较a＋2与的大小；
(2)比较aabb与abba(a>0且a≠1，b>0且b≠1)的大小．
[解] (1)a＋2－＝，
∵a2＋a＋1＝2＋>0，∴－(a2＋a＋1)<0，
∴当1－a>0，即a<1时，<0，则有a＋2<.
当1－a<0即a>1时，>0，则有a＋2>.综上知，当a<1时，a＋2<，
当a>1时，a＋2>.
(2)＝aa－bbb－a＝a－b，
当a>b>0时，>1，a－b>0，
则a－b>1，∴aabb>abba；
当b>a>0时，0<<1，a－b<0，
则a－b>1，∴aabb>abba；
当a＝b>0时，a－b＝1，∴aabb＝abba，
综上知aabb≥abba(当且仅当a＝b时取等号)．
比较两个数(式)大小的两种方法
(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．
(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．
已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
解析：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，
∴c≥b.将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.
∵1＋a2－a＝2＋>0，∴1＋a2>a，
∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a.
答案：A
10.不等式变形中不等价致误
【典例】 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
[解析] 法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.
法二：由得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
法三：由
确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点A时，
取得最小值4×－2×＝5，
当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，
取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.
[答案] [5,10]
[易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(－2)＝4a－2b的范围，导致变量范围扩大．
[防范措施] (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．
[跟踪练习] 若α，β满足试求α＋3β的取值范围．
解：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
则解得
∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，
两式相加，得1≤α＋3β≤7.
∴α＋3β的取值范围为[1,7]．
A组 考点能力演练
1．已知<<0，则下列结论错误的是( )
A．a22
C．ab>b2 D．lg a20，∴a－b>0，
∴ab－b2＝(a－b)b<0，∴abπb，即a>b，由函数y＝ln x，y＝sin x，y＝，y＝x3的单调性知C正确．
答案：C
3．(2018·资阳一诊)已知a，b∈R，下列命题正确的是( )
A．若a>b，则|a|>|b| B．若a>b，则<
C．若|a|>b，则a2>b2 D．若a>|b|，则a2>b2
解析：当a＝1，b＝－2时，A不正确；当a＝1，b＝－2时，B不正确；当a＝1，b＝－2时，C不正确；对于D，a>|b|≥0，则a2>b2，故选D.
答案：D
4．已知ab>0，则“b<”是“a<”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由b<，ab>0得ab20，所以a<，同理由a<可得b<，故选C.
答案：C
5．(2018·贵阳期末)下列命题中，正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若<，则ab，c>d，则a－c>b－d
解析：A项，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；B项，当c<0时，ac>bc⇒a0，∴ay，a>b，则在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④>这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．
解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立．又ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立．又＝＝－1，＝＝－1，∴＝，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．
答案：②
8．如果00，∴＋＋>＋＋，即当变量a的值增加1会使S的值增加最大．
答案：a
9．若a>b>0，c.
证明：∵c－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
∴0<<.
又∵e<0，∴>.
10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．
解：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.
所以y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx＝x.
当n＝5时，y1＝y2；
当n>5时，y1y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．
B组 高考题型专练
1．(2018·高考天津卷)设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“ab>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；②acloga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
解析：∵a>b>1，∴<.又c<0，
∴>，故①正确．
当c<0时，y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，
又a>b>1，∴acb>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.
∵a>b>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，
即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确．
答案：D
3．(2018·高考山东卷)已知实数x，y满足ax
B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．sin x>sin y
D．x3>y3
解析：根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．
答案：D
4．(2018·高考四川卷)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
解析：依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入验证得A，B，C均错，只有D正确．
答案：D
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