2019-2020学年福建省长汀、连城一中等六校高一上学期期中联考数学试题(解析版)

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2019-2020学年福建省长汀、连城一中等六校高一上学期期中联考数学试题(解析版)

‎2019-2020学年福建省长汀、连城一中等六校高一上学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1.已知集合,则与集合的关系是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】验证是否满足条件.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,∴,即.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的概念,考查元素与集合的关系,属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域是( )‎ A. B. C.或 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由和可得.‎ ‎【详解】‎ 由题意,解得,∴定义域为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数定义域.函数定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合,我们所学函数有意义一般指:‎ ‎(1)分母不为0;(2)偶次根式下被开方数非负;(3)0次幂底数不为0;(4)对数的真数大于0;(5)形如和的式子中且;(6)正切函数 中.(7)实际应用中自变量具有的实际意义的限制.‎ ‎3.下列函数中是偶函数但不是奇函数的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的奇偶性的定义判断.‎ ‎【详解】‎ A.,,但不恒成立,是奇函数不是偶函数;‎ B.,和都不恒成立,既不是奇函数也不是偶函数;‎ C.,,但,是偶函数,不是奇函数;‎ D.,,也满足,既是奇函数也是偶函数.C正确.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性,根据奇偶性的定义判断即可.‎ ‎4.已知,则下列关系式正确的是( )‎ A. B. C.. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】与中间值0或1比较.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,,,∴,即.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数与对数函数的性质,比较对数与幂的大小,在不同底的幂或对数比较大小时可把它们与中间值比较,如与0,1,2等比较,最后确定结论.‎ ‎5.函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的,那么根据f(-1)=,f(0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知,函数的零点的区间为(-1,0),选B。‎ ‎【考点】本试题主要考查了函数零点的问题的运用。‎ 点评:解决该试题的关键是利用零点存在性定理,根据区间端点值的乘积小于零,得到函数的零点的区间。‎ ‎6.已知全集,集合,集合,则等于( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先确定集合的元素,再按集合的运算法则求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意,,‎ ‎∴或,‎ ‎∴或.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算,解题时需选确定集合的元素,然后才能根据集合运算法则求解.‎ ‎7.函数(且)的大致图象可能是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】按指数函数的性质分类讨论.‎ ‎【详解】‎ C、D中的应满足,但此时,C、D均不满足,C、D均错,A、B中的满足,此时,B不满足,只有A符合.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由函数解析式选择函数图象,考查指数函数的图象与性质.解题时可由函数图象的一部分或一个性质确定参数的取值范围,再考虑函数的另外的性质是否也能满足,不能就排除.本题由A、B中的单调性确定,由C、D中的单调性确定,然后再分析,如用特殊值.‎ ‎8.如果函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先考虑是否满足题意,在时确定,然后由对称轴得出不等关系.‎ ‎【详解】‎ 时,符合题意,‎ 时,,解得.‎ 综上,.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性,易错点在于忘记讨论这种情况,直接利用二次函数知识求解.‎ ‎9.已知函数(且)的图象恒过定点,则函数的单调递增区间是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求得的图象所过定点的坐标,再由对数型复合函数的单调性确定单调区间.‎ ‎【详解】‎ 由得,,∴定点为,即,‎ ‎∴,‎ 由得或,‎ 在上递减,在上递增,又,‎ ‎∴的增区间是.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的图象与性质,考查对数型复合函数的单调性,对数型函数一定要先求函数的定义域,在定义域内确定单调区间.‎ ‎10.某市居民生活用电电价实行全市同价,并按三档累进递增.第一档:月用电量为0–200千瓦时(以下简称度),每度0.5元;第二档:月用电量超过200度但不超过400度时,超出的部分每度0.6元;第三档:月用电量超过400度时,超出的部分每度0.8元;若某户居民9月份的用电量是420度,则该用户9月份应缴电费是( )‎ A.210元 B.232元 C.236元 D.276元 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意分档计算电费再相加即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意可得某户居民9月份的用电量是420度时,该用户9月份应缴电费为:‎ 元.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数模型,读懂题意,分段计算电费是解题关键,属于基础题.‎ ‎11.已知是定义在上的奇函数,且当时,,则当时,的解析式是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由奇函数定义可求得,然后设时,则,求得后可得.‎ ‎【详解】‎ 是奇函数,∴,,即时,‎ 当时,,,‎ ‎∵是奇函数,∴.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性,已知奇偶性求函数解析式,只有根据定义,即要求,先求,若函数是奇函数,只要存在,必有.‎ ‎12.已知函数,若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】关于的方程有三个不同的实根转化为直线与函数的图象有三个交点,作出图象易得结论.‎ ‎【详解】‎ 由得,‎ ‎∵方程有三个不同的实根,∴直线与函数的图象有三个不同的交点,作出直线与函数的图象,如图,它们有三个交点时,,‎ ‎∴或.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点与方程根分布,由方程根的个数确定参数范围.这类问题解法是把方程的根的个数转化为直线与函数图象交点个数,然后作出直线和函数图象,由数形结合思想得出参数满足的条件.‎ 二、填空题 ‎13.已知函数,则的值为__________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】时,选用计算,,选用计算。‎ ‎【详解】‎ ‎。‎ 故答案为:9。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数。计算分段函数值时,必须根据自变量的不同取值范围选用不同的表达式计算。‎ ‎14.已知定义在上的偶函数在区间上是减函数,若,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由偶函数的定义把原不等式变为,再由函数的单调性求解。‎ ‎【详解】‎ ‎∵是偶函数,∴可化为,‎ 又是上的减函数,∴,解得。‎ 故答案为:。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性,利用奇偶性把不等式化为,其中在函数的同一单调区间内,由单调性去掉函数符号,同时注意函数的定义域,由此可求解。‎ ‎15.若函数的值域为,则为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分段函数分段求出值域,然后再求并集。‎ ‎【详解】‎ 时,,,∴,‎ 时,,,‎ 综上函数的值域为,即。‎ 故答案为:。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求分段函数值域,分段函数值域应该对每一段分别求出值域,然后求并集。‎ ‎16.已知函数为偶函数,且,若不相等的两正数满足,则不等式的解集为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由是偶函数确定的奇偶性,由已知条件确定的单调性,然后由单调性可解不等式.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎∵是偶函数,‎ ‎∴,‎ ‎∴,是奇函数,‎ 又在上,对任意两不相等的正数满足,‎ 即当时,,在递减,‎ 由是奇函数,得,在上也递减,或不存在,‎ 或,即或,解得或.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性.由奇偶性确定函数在关于原点对称区间上的单调性,由单调性可解函数不等式.‎ 三、解答题 ‎17.求值与化简:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1);(2)3.‎ ‎【解析】(1)由幂的运算法则和根式的运算法则计算;‎ ‎(2)由对数运算法则和换底公式计算.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)原式=. ‎ ‎(2)原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂的运算法则和根式的运算,考查对数的运算法则和换底公式.属于中档题.‎ ‎18.设集合.‎ ‎(1)全集,求;‎ ‎(2)若,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)求出集合,再按集合运算法则计算;‎ ‎(2)说明,由集合的包含关系列出的不等关系可求解,注意讨论为空集的情形。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ ‎. ‎ ‎.‎ ‎(2).‎ 当时,. ‎ 当时,依题意得,解得,‎ 综上所述, 的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算,考查集合的包含关系,属于基础题。‎ ‎19.已知函数为奇函数,且.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)判断在区间上的单调性,并用定义证明你的结论;‎ ‎(3)求不等式的解集.‎ ‎【答案】(1);(2)在上单调递减,证明见解析;(3) .‎ ‎【解析】(1)由奇函数可求得,再由求得,最后检验一下是奇函数;‎ ‎(2)由单调性定义证明;‎ ‎(3)由奇函数性质不等式变为,再由单调性去掉符号,然后可解得结论。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,为R上奇函数,则,得,再由,得.经检验,当时是奇函数.‎ ‎(2) 由(1)得,在上单调递减,‎ 证明如下:‎ 任取且,则 即 在上单调递减.‎ ‎(3)为奇函数,,则原不等式化为 ‎,而由(2)得在时单调递减,且 ‎,即 ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性和单调性,掌握奇偶性和单调性的定义是解题基础。‎ ‎20.某机械制造厂生产一种新型产品,生产的固定成本为20000元,每生产一件产品需增加投入成本100元.根据初步测算,当月产量是x件时,总收益(单位:元)为 ,利润=总收益-总成本.‎ ‎(1)试求利润y(单位:元)与x(单位:件)的函数关系式;‎ ‎(2)当月产量为多少件时利润最大?最大利润是多少?‎ ‎【答案】(1);(2)当时,.‎ ‎【解析】(1)月产量是x件时总成本是,用总收益减去总成本即得利润函数;‎ ‎(2)先求出时利润的最大值(由二次函数知识求解),再在时,由函数单调性质确定的范围,从而可得利润最大值。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)依题意,‎ 当时.‎ 当时.‎ ‎.‎ ‎(2)当时,∴当时, ‎ 当时, ‎ ‎∴当时.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型的实际应用,解题关键是根据提供的模型求出函数解析式,然后利用函数知识求得最大值。‎ ‎21.设a为非负实数,函数.‎ ‎(1)当时,画出函数的草图,并写出函数的单调递增区间;‎ ‎(2)若函数有且只有一个零点,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)草图见解析,的增区间为;(2).‎ ‎【解析】(1)可按和分类去掉绝对值符号后作图,由图象得出单调区间;‎ ‎(2)按和分类去掉绝对值符号后依照(1),得函数单调性,先讨论特殊情形满足题意,在时,因此函数在上有唯一零点,这样在上应无零点,此时最大值应小于0。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数的草图.‎ 由图可知函数的增区间为.‎ ‎(2)因为,而则,‎ 若时有唯一零点。符合题意. ‎ 若时在上单调递增,,‎ 在上有唯一零点.而在上单调递增,在上单调递减.‎ 由题意,要使在R上有唯一零点,则在上没有零点,‎ 故在上的最大值 综合上述,a的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性,函数的零点,解题时可按绝对值定义去绝对值符号后作出得出单调性,由图象得零点的情形。‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)求在区间的值域;‎ ‎(2)函数,若对于任意,总存在,使得恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)确定函数的单调性,得值域;‎ ‎(2)记,题意等价于,换元,设,由对勾函数得的单调性及最小值,是一次函数,最小值易求,从而可得的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)易知在上单调递增,‎ ‎∴值域为. ‎ ‎(2)设,‎ ‎,易知. ‎ 令,则 在上递减,在上递增.‎ ‎.即,‎ 由题意知,,即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与值域,考查不等式恒成立问题,对含有存在量词和全称量词的不等式成立问题需根据题意进行转化,转化为求函数的最值。到底是求最大值还是求最小值与量词是全称量词还是存在量词有关,也与不等式号方向有关。象本题就是,‎ 若本题(2)改为“若存在,对任意的,使得恒成立”则等价于。若改为“若存在,存在,使得成立”则等价于。‎
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