山东专用2021版高考数学一轮复习考案2第二章函数导数及其应用综合过关规范限时检测含解析
[考案2]第二章 综合过关规范限时检测
(时间：120分钟 满分150分)
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝＋的定义域为( D )
A．[0，＋∞] B．(－∞，2]
C．[0,2] D．[0,2)
[解析] 由可得0≤x<2.所以函数f(x)的定义域为[0,2)．故选D.
2．若f(x)是幂函数，且满足＝3.则f()＝( C )
A．3 B．－3
C． D．－
[解析] 设f(x)＝xα，则＝＝＝2α＝3，所以f()＝()α＝＝.故选C.
3．(2020·河南南阳一中模拟)已知函数
f(x)＝则f[f()]＝( A )
A．－ B．－1
C．－5 D．
[解析] 由题意知f()＝log2，∴f[f()]＝2log2－2＝－.故选A．
4．当0
9.97.又n∈N，所以n≥10.所以若探测不到碳14的含量，至少需要经过10个“半衰期”．故选C、D.
12．(2020·河南郑州第二次质量检测改编)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值可以是( BC )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] f(x)＝＝＝1＋，又2x>0，∴∈(0,2)，∴1＋∈(1,3)，∴当∈(0,1)时，y＝[f(x)]＝1；当∈[1,2)时，y＝[f(x)]＝2.∴函数y＝[f(x)]的值域是{1,2}．故选B、C.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．(2020·四川攀枝花模拟)若幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm在R上为增函数，则logm＋2lg 5＋lg 4＋mlogm＝__4__.
[解析] 由题意得，m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3.又f(x)在R上为增函数，∴f(x)＝x3，m＝3，∴logm＋2lg 5＋lg 4＋mlogm＝log33＋2lg 10＋3log3＝＋2＋＝4.
14．(2020·济宁模拟)若函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减，则实数a的取值范围是 [，1) .
[解析] 由题意得解得≤a<1，即实数a的取值范围是[，1)．故填[，1)．
15．(2020·贵州适应性考试)阅读材料：
求函数y＝ex的导函数．
解：∵y＝ex，∴x＝ln y，∴(x)′＝(ln y)′，
∴1＝·y′，∴y′＝y＝ex.
借助上述思路，曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈(，＋∞)在点(1,1)处的切线方程为__4x－y－3＝0__.
[解析] 根据题中材料将函数y＝(2x－1)x＋1转化为ln y＝ln(2x－1)x＋1＝(x＋1)ln(2x－1)，两边同时求导数，得×y′＝ln(2x－1)＋(x＋1)××2＝ln(2x－1)＋
，∴y′＝[ln(2x－1)＋]·(2x－1)x＋1，∴y′|x＝1＝{[ln(2x－1)＋]·(2x－1)x＋1}|x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
16．(2020·山东泰安期中)已知f(x)是R上的偶函数且f(x)＝若关于x的方程f 2(x)－af(x)＝0有三个不相等的实数根，则a的取值范围是 (0,1]∪[，2] .
[解析] 作出函数f(x)的图象如图所示．
由f 2(x)－af(x)＝0可得f(x)＝0或f(x)＝a.由图象可得f(x)＝0有唯一解．∵关于x的方程f 2(x)－af(x)＝0有三个不相等的实数根，∴方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a的图象有两个交点，结合图象可得00)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x＝2或3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当20)．
(1)若y＝g(x)－m有零点，求实数m的取值范围；
(2)确定实数m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
[解析] (1)解法一：因为g(x)＝x＋≥2＝2e，当且仅当x＝e时等号成立，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，y＝g(x)－m就有零点．所以实数m的取值范围为[2e，＋∞)．
解法二：由g′(x)＝1－＝，可作出y＝g(x)的大致图象(如图1)．
可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.
即实数m的取值范围是[2e，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出y＝g(x)的大致图象(如图2)．
因为f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
如图所示，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．所以实数m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
22．(本小题满分12分)(2020·河北鸡泽一中期中)已知函数f(x)＝lnx＋.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若方程f(x)＝a有两个根x1，x2(x12.
[解析] (1)f′(x)＝－＝，(x>0)
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故f(x)的最小值为f(1)＝1.
(2)若方程f(x)＝a有两个根x1，x2(00.
要证x1＋x2>2，需证(x1＋x2)·>2ln，
即证－>2ln，
设＝t(t>1)，则－>2ln等价于t－>2lnt.
令g(t)＝t－－2lnt，则g′(t)＝1＋－＝(1－)2>0，
所以g(t)在(1，＋∞)上单调递增，g(t)>g(1)＝0，即t－>2lnt，故x1＋x2>2.
