江西省新余市第四中学2020届高三下学期第一次联考数学（文）试卷

江西省新余市第四中学2020届高三下学期第一次联考数学（文）试卷

江西省新余市第四中学2020届高三第一次联考数学（文）试卷 考试时间：120分钟； ‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。共150分。‎ 考生注意：‎ ‎1.答题前，考生将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目“与考生本人准考证号、姓名是否一致。‎ ‎2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照。第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。‎ ‎3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并回收。‎ 第I卷(选择题)‎ 一.选择题：共12小题，满分60分，每小题5分。‎ ‎1.设＝i，则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.命题“在△ABC中，若sinA＝，则A＝30°”的否命题是 A.在△ABC中，若sinA＝，则A≠30° B.在△ABC中，若sinA≠，则A＝30°‎ C.在△ABC中，若sinA≠，则A≠30° D.在△ABC中，若A≠30°，则sinA≠‎ ‎3.设a＝logπ3，b＝20.3，c＝log2，则 A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c ‎4.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人：男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生有二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是 A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关.‎ B.是否倾向选择生育二胎与性别有关 C.倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同 D.倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 ‎5.在梯形ABCD中，已知AB//CD，AB＝2DC，点P在线段BC上，且BP＝2PC，则 A. B.‎ C. D.‎ ‎6.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”。在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法。比如，若已知黄钟、大吕、太族、夹钟四个音律值成等比数列，则有，，。据此，可得正项等比数列{an}中，ak＝‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是 A.若m⊥n，n//α，则m⊥α B.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n C.若m//n，n//β，则m//β D.若mα，nα，m//β，n//β，则α//β ‎8.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0<φ<π)的图象关于点M(，0)成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N(，－3)，则对于下列判断：‎ ‎①直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；‎ ‎②点(－，0)是函数f(x)的一个对称中心；‎ ‎③函数y＝1与y＝f(x)(－≤x≤)的图象的所有交点的横坐标之和为7π。‎ 其中所有正确的判断是 A.①② B.①③ C.②③ D.②‎ ‎9.酉数y＝ln|x|·cos(－2x)的图像可能是 ‎10.已知F为抛物线y2＝x的焦点，过F作两条夹为45°的直线l1，l2，l1交抛物线于A，B两点，l2交抛物线于C，D两点，则的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎11.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若acosC＋ccosA＝2bcosB，且cos2B＋2sinAsinC＝1，则a－2b＋c＝‎ A.0 B. C. D.2‎ ‎12.己知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝1的对称点在kx＋y－1＝0的图象上，则实数k的取值范围是 A.(，2) B.(，) C.(，1) D.(，1)‎ 第II卷(非选择题)‎ 二、填空题：共4小题，满分20分，每小题5分。‎ ‎13.已知集合A＝{x|x≤5}，B＝{x|3x<9}，则A∪B＝ 。‎ ‎14.已知：tanα＝－2，则cos2α－sin2α＝ 。‎ ‎15.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，C上存在一点满足∠F1PF2＝，且P到坐标原点的距离等于双曲线C的虚轴长，则双曲线C的渐近线方程为 。‎ ‎16.正三棱锥P－ABC，Q为BC中点，PA＝，AB＝2。过Q的平面截三棱锥P－ABC的外接球所得截面的面积范围为 。‎ 三。解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17.(12分)已知等差数列{an}满足a7＝8＋a3，且a3－1是a1＋1，a5－2的等比中项。‎ ‎(I)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(II)设bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn<成立的最大正整数n的值。‎ ‎18.随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人。他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表。‎ ‎(I)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，井判断是否有99%的把握认为使用“微信支付”的态度与人的年龄有关；‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 ‎(II)若从年龄在[55，65)的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成使用微信交流的概率。‎ 参考数据：‎ ‎，其中n＝a＋b＋c＋d。‎ ‎19.图1是由矩形ABCD和等腰直角三角形EAD组成的一个平面图形，其中EA＝ED＝AB＝2，∠AED＝90°。将三角形EAD沿AD折起，使得CD⊥AE，H为BC的中点，连接EB，EC，EH，DH，如图2。‎ ‎(I)求证：平面EHD⊥平面EAB；‎ ‎(II)求三棱锥E－ACD与三棱锥E－AHD公共部分的体积。‎ ‎20.(12分)已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，A为椭圆上一动点(异于左右顶点)，△AF1F2面积的最大值为。‎ ‎(I)求椭圆C的方程；‎ ‎(II)若直线l：y＝x＋m与椭圆C相交于点A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎21.(12分)设h(x)＝lnx。‎ ‎(I)若g(x)＝x(x－a)h(x)＋x，且x＝1为函数g(x)的一个极值点，求函数g(x)的单调递增区间；‎ ‎(II)若f(x)＝mh(x)－x－－，且函数f(x)的图象恒在x轴下力，其中e是自然对数的底数，求实数m的取值范围。‎ 选考题共10分。请考生在22、23题中任选一题作合。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.(10分)选修44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，点A(ρ0，)在C上，直线l经过点B(2ρ0，)且与直线OA垂直。‎ ‎(I)求直线l的极坐标方程：。‎ ‎(II)已知点P在曲线C上运动(异于O点)，射线OP交直线l于点Q，求线段PQ的中点轨迹的极坐标方程。‎ ‎23.(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x|，a∈R。‎ ‎(I)若不等式f(x)≥a2对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(II)设实数m为(I)中a的最大值，若实数x，y，z满足4x＋2y＋z＝2m，求(x＋y)2＋y2＋z2的最小值。‎ 参考答案与试题解析 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C D C C C B C D B A D 二、 填空题 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 三、 解答题 ‎17、【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ ‎，即，…………………………………………………………… 2分 ‎，，…………………………………………………………………… 3分 是，的等比中项，‎ ‎，即，‎ 解得.…………………………………………………………………………………5分 数列的通项公式为.……………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得.……………………………… 7分 ‎，…………………………………………………………10分 由，得.…………………………………………………………… 11分 使得成立的最大正整数的值为.………………………………………… 12分 ‎18、【解析】(I) 2×2列联表如下：‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 ‎10‎ ‎27‎ ‎37‎ 不赞成 ‎10‎ ‎3‎ ‎13‎ 合计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ K2＝≈9.98＞6.635.……………………………………………5分 所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．…………………6分 ‎ ‎（列联表填对得两分） ‎ ‎(II) 设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人为a，b，‎ 则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种结果，其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb、Ca、Cb，共9种结果，………………………………………………………………………10分 所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P＝． ………………12分 ‎（未列举只得2分）‎ ‎19、【解析】（Ⅰ）在图2中，四边形是矩形， ,‎ 又,………………………………………………………………1分 又,‎ 平面.…………………………………………………………………………2分 平面,‎ ‎,…………………………………………………………………………………3分 又,平面.…………………………………… 4分 又平面 平面平面.……………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（I）可知，平面，‎ 平面，‎ 平面平面.……………………7分 ‎，点到平面的距离为.……………………………………………………………………………………………8分 如图，设交于点，连接，则三棱锥与三棱锥公共部分即三棱锥.…………………………………………………………………………………9分 为的中点，‎ ‎，………………………………………10分 ‎.…………………………………………12分 ‎20、【解析】（I）面积的最大值为，则：…………………………2分 又，，解得：，…………………………………4分 椭圆的方程为：…………………………………………………………5分 ‎（II）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形 设，，线段的中点为 由，消去可得：‎ ‎，解得：‎ ‎，……………………………………………………6分 ‎， ……………………7分 依题意有，‎ 由可得：，可得：……………………8分 由可得：‎ ‎，‎ 代入上式化简可得：………………………10分 则：，解得：…………………………11分 当时，点满足题意；当时，点满足题意 故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形.……12分 ‎21、【解析】（I），，‎ 由题意，所以，…………………………………………………2分 所以，‎ 令，得或，…………………………………………………………3分 当时，，当时，，当时，，‎ 所以函数的单调递增区间是和；……………………………………5分 ‎（II）依题意，，‎ 即在上恒成立，‎ 令，‎ 则.……………………………………………………6分 对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为，‎ 则两个零点一正一负，设其中一个零点为，‎ 则，即，‎ 且在上单调递减，在上单调递增，‎ 故，即，……………………………………8分 令，‎ 则，‎ 当时，，当时，，‎ 则在上单调递增，在上单调递减，‎ 又，故，……………………………………………………10分 显然函数在上是关于的单调递增函数，则，‎ 故实数的取值范围为.……………………………………………………12分 选做题 ‎22、【解析】（I）由题知，，‎ 故点的直角坐标为，由知直线的倾斜角为，‎ 故直线的直角坐标方程为，………………………………………………………3分 所以其极坐标方程为即；……………………5分 ‎（II）由题知可设，，其中，‎ 则中点的极坐标为，由在曲线上得，由在直线上得，故中点的极坐标为，‎ 所以中点轨迹的极坐标方程为.……………10分 ‎23、【解析】（I）因为对恒成立，则，‎ 由绝对值三角不等式可得，‎ 即，解得.‎ 故实数的取值范围是；……………………………………………………………5分 ‎（II）由题意，故，………………………………………………6分 由柯西不等式知，‎ ‎，‎ 所以，当且仅当时等号成立 从而，最小值为，当且仅当，，时等号成立.………………10分