数学文卷·2018届云南省昆明一中高三上学期第一次摸底测试数学（文）试题（解析版）

数学文卷·2018届云南省昆明一中高三上学期第一次摸底测试数学（文）试题（解析版）

昆明第一中学 2018 届高中新课标高三第一次摸底测试 文科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ,选 A. 2. 若对于变量 的取值为 3，4，5，6，7 时，变量 对应的值依次分别为 4.0，2.5，-0.5，-1， -2；若对于变量 的取值为 1，2，3，4 时，变量 对应的值依次分别为 2，3，4，6，则变量 和 ，变量 和 的相关关系是（ ） A. 变量 和 是正相关，变量 和 是正相关 B. 变量 和 是正相关，变量 和 是负相关 C. 变量 和 是负相关，变量 和 是负相关 D. 变量 和 是负相关，变量 和 是正相关 【答案】D 【解析】变量 增加，变量 减少，所以变量 和 是负相关；变量 增加，变量 增加，所以 变量 和 是正相关，因此选 D. 3. 已知复数 为纯虚数（其中是虚数单位），则 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ,即 ，选 B. 4. 如图，正方形 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部 分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色 部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】概率为几何概型，测度为面积，设正方形边长为 2，则概率为： ，选 C. 5. 已知双曲线 的中心为原点，点 是双曲线 的一个焦点，点 到渐近线的距离为 1， 则 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为点 到渐近线的距离为 1，所以 b=1，因为 c= ,所以 a=1，因此 的方程为 ，选 A. 6. 用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 正方形 D. 正六边形 【答案】B 【解析】如图可得等边三角形，正方形，正六边形，而如果是三角形，则为锐角三角形，因 此选 B. 7. 若 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -1 【答案】B 【解析】可行域如图，则直线过点 A（1，0）时取最小值 1，选 B. 8. 执行如图所示的程序框图，若输出 的值为 9，则判断框中可填入（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算 ， 选 A. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关 概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止 条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 9. 若函数 ，则函数 的零点个数是（ ） A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 【答案】D 【解析】如图：函数 与函数 有 2 个交点，所以选 D. 10. 已知函数 （ ），且 ，当 取最小值时， 以下命题中假命题是（ ） A. 函数 的图象关于直线 对称 B. 是函数 的一个零点 C. 函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到 D. 函数 在 上是增函数 【答案】C 【解析】 ， 由 得 ，即 ，由 知 的最小值是 2，当 取得 最小值时， .由 可得出：函数 的图象关于直线 对 称，A 为真； 由 可得出： 是函数 的一个零点，B 为真； 将函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象，所 以 C 为假； 由复合函数单调性可得 在 上是增函数，所以 D 为真，选 C. 【点睛】函数 的性质 (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴 (4)由 求增区间; 由 求减区间 11. 在 中， ， ， 边上的高为 2，则 的内切圆半径 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由 又由余弦定理 由 选 B. 点睛：1．选用正弦定理或余弦定理的原则 在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓 住能够利用某个定理的信息． 2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用． (2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断 是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用． 12. 设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 （ ）上任意一点， 是线段 上的点，且 ，则直线 的斜率的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式 中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条 件)的条件才能应用，否则会出现错误. 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知向量 ，向量 ， 与 共线，则 __________． 【答案】 . 【解析】因为 ，所以 ，所以 . 14. 函数 在 处的切线方程为__________． 【答案】 . 【解析】因为 ，所以切线的斜率 ，所以切线方程为 . 15. 已知 ， ，则 __________． 【答案】7 【解析】由 得 ，所以 ， 所以 所以 , . 16. 四面体 中， ， ， ，则四面 体 外接球的表面积为__________． 【答案】 ． 【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体 的四个面为全等的三角形，所以可在 其每个面补上一个以 , ， 为三边的三角形作为底面，分别以 x,y,z 为侧棱长且两 两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为 x,y,z 的长方体，并且 设球半径为 ，则有 所以球的表面积为 ． 点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几 何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何 体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉 及台体中“还台为锥”． (2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求 解较难入手时，常用该法． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. 在等差数列 中，公差 ，前 5 项和 ，且 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）求 （ ）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）由条件列出关于首项与公差的方程组，解出公差与首项，再代人等 差数列通项公式即可（2）先求 得 ，再根据等比数列求和公式求值 试题解析：解：（1）：据题意有 ， 解得 ， 所以数列 的通项公式为 ； （Ⅱ）由（1）得： ， 所以 …… …… . 另解：设 ，则 ， 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以数列 的前 项和 . 18. 如图，在直三棱柱 中， ， ，点 分别为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求三棱锥 的体积.. 【答案】（1）见解析（2） 试题解析：解：（Ⅰ）证明：连接 ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，所以 为 △ 的一条中位线， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． （Ⅱ）设点 ， 分别为 ， 的中点， ，则 ， ， ，由 ，得 ，解得 ，又 平面 ， ， ． 所以三棱锥 的体积为 . 19. 某市为了解本市 2 万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，现从 某校随机抽取了 50 名学生，将所得成绩整理后，发现其成绩全部介于 之间，将其 成绩按如下分成六组，得到频数分布表 成绩 人数 4 10 16 10 6 4 （1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图； （2）估算该校 50 名学生成绩的平均值 和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表）； （3）以该校 50 名学生成绩的频率作为概率，试估计该市分数在 的人数. 【答案】（1）见解析（2）平均值 68.2 中位数 66.875（3）4000 【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图纵坐标等于频率除以组距，再描线画图（2） 根据平均值等于组中值乘以对应概率的和，中位数对应概率为 0.5 分别计算平均值 和中位 数（3）根据频数等于总数乘以对应概率得分数在 的人数. 试题解析：解：（Ⅰ） （Ⅱ） ； 由已知可设中位数为 ，则 ； 所以 ，所求中位数为 . （Ⅲ）该市分数在 的人数 ，故所求人数为 人. 点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为 1; 频 率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面 积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比. 20. 已知中心在原点 ，焦点在 轴上的椭圆 过点 ，离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）直线过椭圆 的左焦点 ，且与椭圆 交于 两点，若 的面积为 ，求直线的方 程. 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得 ，再根据离心率为 得 （2）设 直线点斜式方程，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理以及弦长公式求底边 AB 长，再根 据点到直线距离公式得高，最后根据三角形面积公式列方程，解出直线斜率，注意验证斜率 不存在时是否满足题意 试题解析：解：（Ⅰ）设椭圆 的方程为： ， 由已知： 得： ， ， 所以，椭圆 的方程为： . （Ⅱ）由已知直线过左焦点 ． 当直线与 轴垂直时， ， ，此时 ， 则 ，不满足条件． 当直线与 轴不垂直时，设直线的方程为： 由 得 所以 ， ， 而 ， 由已知 得 ， ， 所以 ，则 ，所以 ， 所以直线的方程为： 或 ． 21. 已知函数 ， ，（其中 ， 为自然对数的底数， ……）. （1）令 ，求 的单调区间； （2）已知 在 处取得极小值，求实数 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）求导函数的导数得 ，再根据是否变号进行分类讨论 单调性：当 时，导函数不变号，为单调递增；当 时，导函数先负后正，对应单 调区间为先减后增（2）由题意得 ，结合（1）根据导函数 单调性分类讨论在 处是否为极小值：当 时， 在 附近先减后增，为极小值；当 时，按 与零大小关系进行二次讨论： ， 单调递增； 在 附近先 减后增，为极小值；当 时， ，无极值； 时， 单调递 减； 在 附近先增后减，为极大值；综上可得实数 的取值范围. 试题解析：解: (Ⅰ) 因为 ， 所以 ， 当 时， ， 的单调递增区间为 ， 当 时，由 ，得 ， 时， ， 时， ， 所以 的减区间为 ，增区间为 综上可得，当 时， 在 上单调递增 当 时， 的增区间为 ，减区间为 . （Ⅱ）由题意得 ， ， （1）当 时， 在 上单调递增， 所以当 时， ， 当 时， ， 所以 在 处取得极小值，符合题意. （2）当 时， ， 由（Ⅰ）知 在 单调递增， 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 处取得极小值，符合题意. （3）当 时，由（Ⅰ）知 在区间 单调递减， 在区间 单 调递增， 所以 在 处取得最小值，即 ， 所以函数 在 上单调递增， 所以 在 处无极值，不符合题意. （4）当 时， ，由（Ⅰ）知 的减区间为 ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 处取得极大值，不符合题意， 综上可知，实数 的取值范围为 . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 极坐标系中， 为极点，半径为 2 的圆 的圆心坐标为 . （1）求圆 的极坐标方程； （2）设直角坐标系的原点与极点 重合， 轴非负关轴与极轴重合，直线的参数方程为 （为参数），由直线上的点向圆 引切线，求切线长的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）先确定圆心直角坐标，再写出圆的标准方程，最后将直角坐标方程 化为极坐标方程（2）先根据加减消元法将直线的参数方程化为普通方程，再根据圆的几何 意义得切线长最小时，直线上的点与圆心连线垂直直线，最后根据点到直线距离公式以及切 线长公式求切线长最小值 试题解析：解：（Ⅰ）设 是圆上任意一点， 如图，连接 ，并延长与圆 交于点 ， 当点 异于 ， 时，连接 、 ， 直角 △ 中， ， 即 ， 当点 与 ， 重合时，也满足上式，所求圆 的极坐标方程为 . （Ⅱ）直线的普通方程为 ，圆心 到直线的距离为 ， ，所以直线与圆 相离， 故切线长的最小值为 . 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）求不等式 的解集； 若不等式 解集非空，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解集， 最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得 的最小值为 ，再解一元二次不等式得实数 的取值范围. 试题解析：解：（Ⅰ）由 可化为： 或 或 解得： 或 或 ，所以，不等式解集为 . （Ⅱ）因为 所以 ，即 的最小值为 ， 要不等式 解集非空，需 ， 从而 ，解得 或 ， 所以 的取值范围为 . 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值 的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与 函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活 应用，这是命题的新动向