北京师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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北京师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共8小题）‎ 1. 命题p：“∀x∈（-∞，0），3x≥4x”的否定￢p为（　　）‎ A. , B. , C. D. ‎ 2. 在等比数列{an}中，a3=2，a5=8，则a4=（　　）‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. D. ‎ 3. 若a＞b＞c且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 设0＜x＜1，则a=，b=1+x，c=中最大的一个是（　　）‎ A. a B. b C. c D. 不能确定 5. 在等比数列{an}中，a1=3，前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于（　　）‎ A. 2n B. 3n C. D. ‎ 6. 若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（　　）‎ A. 4 B. ‎2 ‎C. D. ‎ 7. 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{An}为等比数列的充要条件是（　　）‎ A. 是等比数列 B. ,,,,或,,,,是等比数列 C. ,,,,和,,,,均是等比数列 D. ,,,,和,,,,均是等比数列,且公比相同 8. 设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数）．公司决定从原有员工中分流x（0＜x＜100）人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%．若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是（　　）‎ A. 15 B. ‎16 ‎C. 17 D. 18‎ 二、填空题（本大题共6小题）‎ 9. 数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+1=an+an+2（n∈N*），则a7= ______ ．‎ 10. 若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为______．‎ 11. 设a，b是两个实数，给出下列条件： ①a+b＞1；②a+b=2；③a+b＞2；④a2+b2＞2；⑤ab＞1． 其中能推出：“a，b中至少有一个大于‎1”‎的条件是______ ．（填序号，只有一个正确选项）‎ 12. 已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．‎ 13. 等比数列{an}中，若前n项的和为Sn=2n-1，则a+a22+…+an2=______．‎ 14. 珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为‎1999-12-20‎标示澳门回归日，中央靠下有23-50标示澳门面积约为23.50 平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1 到100 共100 个整数填满100‎ 个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2 中对角线上数字（从左上到右下）之和为______ ． ‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 1. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．‎ ‎(1)若a3=4，求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． ‎ 2. 已知命题：“∃x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x2-x-m=0成立”是真命题， （1）求实数m的取值集合M； （2）设不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围． ‎ 3. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是元． （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围； （2）要使生产‎1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润． ‎ 4. 已知p：（x+1）（2-x）≥0，q：关于x的不等式x2+2mx-m+6＞0恒成立． （1）当x∈R时q成立，求实数m的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． ‎ 1. 已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足，n∈N*．数列{bn}满足，Tn为数列{bn}的前n项和． （1）求a1、d和Tn； （2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围． ‎ 2. 已知无穷数列{an}（an∈Z）的前n项和为Sn，记S1，S2，…，Sn中奇数的个数为bn． （Ⅰ）若an=n，请写出数列{bn}的前5项； （Ⅱ）求证：“a1为奇数，ai（i=2，3，4，…）为偶数”是“数列{bn}是单调递增数列”的充分不必要条件； （Ⅲ）若ai=bi，i=1，2，3，…，求数列{an}的通项公式． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：命题是全称命题，则￢p：， 故选：C． 根据全称命题的否定是特称命题进行判断． 本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q， 由已知得，所以q=±2，都符合题意， 所以a4=a3•q=±4， 故选：C． 根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的通项公式可得，解可得q的值，代入通项公式计算可得答案． 本题考查等比数列的性质，注意等比数列的通项公式的应用． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：a＞b＞c且a+b+c=0，∴a＞0＞c，b∈R． ∴ab＞ac，ac＜bc，a|b|与c|b|大小关系不确定，a2、b2、c2大小关系不确定． 则上述不等式中正确的是A． 故选：A． a＞b＞c且a+b+c=0，可得a＞0＞c，b∈R．利用不等式的基本性质即可判断出结论． 本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵0＜x＜1， ∴1+x＞2=＞． ∴只需比较1+x与的大小． ∵1+x-==-＜0， ∴1+x＜． 故选：C． 先由基本不等式确定a，b的大小，再对b，c作差比较即可． 本题主要考查比较几个数的大小问题．比较大小一般通过基本不等式、作差、运用函数的单调性等来完成． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：因数列{an}为等比，则an=3qn-1， 因数列{an+1}也是等比数列， 则（an+1+1）2=（an+1）（an+2+1） ∴an+12+2an+1=anan+2+an+an+2 ∴an+an+2=2an+1 ∴an（1+q2-2q）=0 ∴q=1 即an=3‎ ‎， 所以sn=3n， 故选：B． 根据数列{an}为等比可设出an的通项公式，因数列{an+1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出sn． 本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a=b-d，c=b+d，由题设得， ， 解方程组得，或， ∵d≠0， ∴b=2，d=6， ∴a=b-d=-4， 故选：D． 因为a，b，c成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为b-d，b，b+d，再根据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解． 此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式求解，注意三个成等差数列的数的设法：x-d，x，x+d． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：依题意可知Ai=ai•ai+1， ∴Ai+1=ai+1•ai+2， 若{An}为等比数列则==q（q为常数），则a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比均为q； 反之要想{An}为等比数列则=需为常数，即需要a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等； 故{An}为等比数列的充要条件是a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同． 故选D 根据题意可表示Ai，先看必要性，{An}为等比数列推断出为常数，可推断出a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要为常数，即a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等，答案可得． 本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由题意，公司原有100人每年创造的产值为100t（万元）， 分流后剩余（100-x）人每年创造的产值为（100-x）（1+1.2x%）t， 则由，解得：0＜x＜． ∵x∈N， ∴x的最大值为16． 故选：B． 分流后从事产品A生产的人数为100-x，根据要保证分流后，该公司产品A的年产值不减少，可列不等式组求解． 本题考查数学建模思想方法，关键是考查学生理解题意的能力，是中档题． 9.【答案】1 ‎ ‎【解析】解：由an+1=an+an+2，得an+2=an+1-an， 所以a3=a2-a1=1，a4=a3-a2=1-2=-1，a5=a4-a3=-1-1=-2，a6=a5-a4=-2-（-1）=-1，a7=a6=a5=-1-（-2）=1． 故答案为：1． 根据递推公式an+1=an+an+2，得an+2=an+1-an， 把a1=1，a2=2带入可依次求出前7项，从而得到答案． 本题考查数列的递推公式，数列的递推公式是给出数列的一种方法． 10.【答案】4 ‎ ‎【解析】解：若实数x，y满足xy=1， 则x2+4y2≥2x•2y=4xy=4， 当且仅当x=2y=±时，上式取得最小值4． 故答案为：4． 运用不等式a2+b2≥2ab（当且仅当a=b取得等号），计算可得所求最小值． 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题． 11.【答案】③ ‎ ‎【解析】解：关于①，a+b＞1，可取，，不能推出：“a，b中至少有一个大于‎1”‎； 关于②，a+b=2，可取a=1，b=1，不能推出：“a，b中至少有一个大于‎1”‎； 关于④，a2+b2＞2，可取a=-2，b=-2，不能推出：“a，b中至少有一个大于‎1”‎； 关于⑤，ab＞1，可取a=-2，b=-2，不能推出：“a，b中至少有一个大于‎1”‎． 关于③，若a+b＞2，则a，b中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的． 证明如下：假设a≤1且b≤1， 则a+b≤2． 与已知条件“a+b＞‎2”‎矛盾， 故假设不成立． 即有a，b中至少有一个大于1，故③正确． 故选③． 本题可以利用反证法，“假设a，b两数均小于或等于1，可得结论a+b小于等于2．”，由些推理可得到正确结论． 本题考查的是不等式的基本性质和反证法，注意在判断其它命题错误时，可以举反例．本题计算量不大，但有一定的思维量，属于中档题． 12.【答案】64 ‎ ‎【解析】解：∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列， ∴=a1•（a1+4d），又a1=1， ∴d2-2d=0，公差d≠0， ∴d=2． ∴其前8项和S8=‎8a1+×d=8+56=64． 故答案为：64． 依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案． 本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵a1=S1=1，a2=S2-S1=3-1=2，∴公比q=2． 又∵数列{}也是等比数列，首项为=1，公比为q2=4， ∴== ‎ 故答案为： 由已知可得等比数列{an}的首项和公比，进而可得数列{}也是等比数列，且首项为=1，公比为q2=4，代入等比数列的求和公式可得答案． 本题考查等比数列的前n项和公式，得出数列为等比数列是解决问题的关键，属基础题． 14.【答案】505 ‎ ‎【解析】解：由题意得： 82+75+53+54+19+20+98+4+31+69=505， 故答案为：505． 将图中对角线上数字从左上到右下相加即可． 本题考查了简单的合情推理问题，考查n阶幻方，是一道基础题． 15.【答案】解：（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d， 若S9=-a5，则S9==‎9a5=-a5，变形可得a5=0，即a1+4d=0， 若a3=4，则d==-2， 则an=a3+（n-3）d=-2n+10； （2）若Sn≥an，则na1+d≥a1+（n-1）d， 当n=1时，不等式成立， 当n≥2时，有≥d-a1，变形可得（n-2）d≥‎-2a1， 又由S9=-a5，即S9==‎9a5=-a5， 则有a5=0，即a1+4d=0， ​则有（n-2）≥‎-2a1， 又由a1＞0，则有n≤10， 则有2≤n≤10， 综合可得：1≤n≤10．n∈N． ‎ ‎【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于中档题． （1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，由S9=-a5，即可得S9==‎9a5=-a5，变形可得a5=0，结合a3=4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案； （2）若Sn≥an，则na1+d≥a1+（n-1）d，分n=1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案． 16.【答案】解：（1）由x2-x-m=0可得m=x2-x= ∵-1＜x＜1 ∴ M={m|} （2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N ①当a＞2-a即a＞1时，N={x|2-a＜x＜a}，则即 ②当a＜2-a即a＜1时，N={x|a＜x＜2-a}，则即 ③当a=2-a即a=1时，N=φ，此时不满足条件 综上可得 ‎ ‎【解析】（1）利用参数分离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值范围，从而可求集合M； （2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N分类讨论①当a＞2-a即a＞1时，N={x|2-a＜x＜a}，②当a＜2-a即a＜1时，N={x|a＜x＜2-a}，③当a=2-a即a=1时，N=φ 三种情况进行求解 本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用． 17.【答案】解：（1）由题意可得：200（5x+1-）≥3000， 即5x-≥14，解得x≥3，又1≤x≤10， ∴3≤x≤10． （2）设生产‎1200千克产品的利润为y， 则y=100（5x+1-）•=120000（-++5）=120000[-3（-）2+]， ∴当=即x=6时，y取得最大值610000． 故甲厂以‎6千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元． ‎ ‎【解析】（1）根据题意列不等式求出x的范围即可； （2）设总利润为y，得出y关于x的函数解析式，配方得出最大值即可． 本题考查了函数解析式，函数最值的计算，属于中档题． 18.【答案】解：（1）∵‎4m2‎+‎4m-24＜0， ∴m2+m-6＜0，∴-3＜m＜2， ∴实数m的取值范围为：（-3，2）． （2）p：-1≤x≤2， 设A={x|-1≤x≤2}，B={x|x2+2mx-m+6＞0}， ∵p是q的充分不必要条件，∴A⊊B ①由（1）知，-3＜m＜2时，B=R，满足题意； ②m=-3时，B={x|x2-6x+9＞0}={x|x≠3}，满足题意； ③m=2时，B={x|x2+4x+4＞0}={x|x≠-2}，满足题意； ④m＜-3，或m＞2时，设f（x）=x2+2mx-m+6， f（x）对称轴为x=-m，由A⊊B得 或， ∴或， ∴或， ∴或 综上可知： ‎ ‎【解析】（1）由△＜0得含m的不等式，解之得m的取值范围； （2）把p是q的充分不必要条件转化为由A⊊B，在各种情况下找出充要条件不等式组，进而求出实数m的取值范围． 本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.【答案】解：（1）∵，a1≠0，∴a1=1．…．（1分） ∵，∴（1+d）2=3+3d， ∴d=-1，2， 当d=-1时，a2=0不满足条件，舍去． 因此d=2．…．（4分） ∴an=2n-1，∴，∴Tn=．…．（6分） （2）当n为偶数时，，∴， ∵，当n=2时等号成立，∴最小值为， 因此．                      …．（9分） 当n为奇数时，， ∵在n≥1时单调递增，∴n=1时的最小值为，∴．           …．（12分） 综上，．               …．（14分） ‎ ‎【解析】（1）利用，n取1或2，可求数列的首项与公差，从人体可得数列的通项，进而可求数列的和； （2）分类讨论，分离参数，求出对应函数的最值，即可求得结论． 本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，解题的关键是分类讨论，分离参数，属于中档题． 20.【答案】解：（I）an=n，Sn=． ∴S1=1，S2=3，S3=6，S4=10，S5=15． ∴b1=1，b2=2，b3=2，b4=2，b5=3． 证明：（II）（充分性） ∵a1是奇数，ai（i=2，3，4…）为偶数， ∴对于任意i∈N*，Si都是奇数， ∴bn=n， ∴数列{bn}是单调递增数列． （不必要性） 当数列{an}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，Si（i=2，3，4…）均为奇数， ∴bn=n-1，数列{bn}是单调递增数列， ∴“a1为奇数，ai（i=2，3，4，…）为偶数”是“数列{bn}是单调递增数列”的不必要条件． 综上，：“a1为奇数，ai（i=2，3，4，…）为偶数”是“数列{bn}是单调递增数列”的充分不必要条件． （Ⅲ）（1）当ak为奇数时，若Sk为偶数， 若ak+1是奇数，则Sk+1为奇数，∴bk+1=bk+1=ak+1为偶数，与ak+1=bk+1矛盾； 若ak+1为偶数，则Sk+1为偶数，∴bk+1=bk=ak为奇数，与ak+1=bk+1矛盾． ∴当ak为奇数时，Sk不能为偶数； （2）当ak为偶数，若Sk为奇数， 若ak+1为奇数，则Sk+1为偶数，∴bk+1=bk=ak为偶数，与ak+1=bk+1矛盾， 若ak+1为偶数，则Sk+1为奇数，∴bk+1=bk+1=ak+1为奇数，与ak+1=bk+1矛盾， ∴当ak为偶数时，Sk不能是奇数． 综上，ak与Sk同奇偶， ∵a1=b1=S1为偶数，且0≤b1≤1，∴b1=a1=0， ∵a2=b2≤b1+1=1，且b2≥0，∴b2=a2=0， 以此类推，得到an=0． ‎ ‎【解析】（I）推导出an=n，Sn=．由此能写出数列{bn}的前5项． （II）先证充分性，推导出bn=n，从而数列{bn}是单调递增数列；再证不必要性，当数列{an}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，Si（i=2，3，4…）均为奇数，bn=n-1，数列{bn}是单调递增数列，由此能证明：“a1为奇数，ai（i=2，3，4，…）为偶数”是“数列{bn}是单调递增数列”的充分不必要条件． （Ⅲ）当ak为奇数时，推导出Sk不能为偶数；当ak为偶数，推导出Sk不能是奇数，从而ak与Sk同奇偶，由此得到an=0． 本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查推理能力与计算能力，属于中档题． ‎