数学理卷·2019届山西省康杰中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学理卷·2019届山西省康杰中学高二上学期期中考试（2017-11）

康杰中学2017—2018学年度第一学期期中考试 高二数学（理）试题 ‎ 2017.11‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a＝(　　)‎ A．3　　　　 B．－2 C．－2或3 D．－3或2‎ ‎2.直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　)‎ A．相离　 　 B．相切 C．相交 D．不确定 ‎3. 如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是(　　)‎ ‎4．已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是(　　)‎ A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α C．若l∥m，m⊂α，则l∥α D．若l∥α，m⊂α，则l∥m ‎5. 已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线l：x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)‎ A．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 ‎ C．(x－2)2＋(y－2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－1)2＝1‎ ‎6. 正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为2，则它的表面积为(　　)‎ A．4(3＋4) B．12(＋2)‎ C．12(2＋1) D．3(＋8)‎ ‎7. 过点(0，－1)的直线l与半圆C：x2＋y2－4x＋3＝0(y≥0)有且只有一个交点，则直线l的斜率k的取值范围为(　　)‎ A.　 B.‎ C. D.‎ ‎8. 直线l：ax＋by＝0和圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0在同一坐标系的图形只能是(　　)‎ ‎9. 已知四边形ABCD，ÐBAD=120º，ÐBCD=60º，AB＝AD＝２，则AC的最大值为（　　　）‎ A． B．４　 C．　 　 D．８‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎10. 已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A. B．2 C. D．3 ‎11. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　）‎ A． B． C． D． ‎12. 已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆 C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小 面积是2，则k的值为(　　)‎ A．3 B. C．2 D．2‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．‎ ‎14．已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．‎ ‎15．已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．‎ ‎16. 四棱锥底面是一个棱长为2的菱形，且ÐDAB=60º，各侧面和底面所成角均为60º，则此棱锥内切球体积为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 求与点P(4,3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．‎ ‎(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；‎ ‎(2)求证：C1F∥平面ABE.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知四棱锥PABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝PD＝1，△PAB为等边三角形．‎ ‎(1)证明：PD⊥平面PAB；‎ ‎(2)求二面角PCBA的余弦值．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC＝CP＝2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD.‎ ‎(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎(2)若E是PC的中点，求三棱锥APEB的体积．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．‎ ‎(1)求四边形PACB面积的最小值；‎ ‎ (2)直线上是否存在点P，使得∠APB＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 命题人：李康太 审题人：秦慧明 康杰中学2017—2018学年度第一学期期中考试 高二数学（理）试题答案 ‎ 2017.11‎ 一、 选择题:（5*12=60）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A C B A A B C D B C D D 二、 填空：（5*4=20）‎ 13. ‎ 14. ‎ 15. ‎ 16. ‎ 三、 解答题：‎ ‎17:(本小题满分10分)‎ 解：设所求直线方程为y＝kx或＋＝1(a≠0)．‎ 对于y＝kx,5＝，9k2＋24k＋16＝0，‎ 解之得k＝－.‎ 对于x＋y＝a,5＝，‎ 解之得a＝7＋5或7－5.‎ 故所求直线方程为y＝－x或x＋y－7－5＝0或x＋y－7＋5＝0.‎ ‎18：(本小题满分12分)‎ 证明：(1)由题设知，B1B⊥AB，‎ 又AB⊥BC，B1B∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.‎ 因为AB⊂平面ABE，‎ 所以平面ABE⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)取AB中点G，连接EG，FG.‎ 因为E，F分别是A1C1，BC的中点，‎ 所以FG∥AC，且FG＝AC.‎ 因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，‎ 所以FG∥EC1，且FG＝EC1，‎ 所以四边形FGEC1为平行四边形，‎ 所以C1F∥EG.‎ 又因为EG⊂平面ABE，所以C1F∥平面ABE.‎ ‎19：(本小题满分12分)‎ 解：设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则 解得A′(－4，－3)．‎ 由于反射光线所在直线经过点A′(－4，－3)和B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0.‎ 解方程组得反射点P.‎ 所以入射光线所在直线的方程为 y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0.‎ ‎20：(本小题满分12分)‎ ‎(1)证明：如图，连接BD.‎ 易知在梯形ABCD中，AD＝，而PD＝1，AP＝2，‎ 所以PD2＋AP2＝AD2，‎ 则PD⊥PA，‎ 同理PD⊥PB，‎ 又PA∩PB＝P，故PD⊥平面PAB.‎ ‎(2)解：如图，取AB的中点M，连接PM，DM，作PN⊥DM，垂足为N，再作NH⊥BC，垂足为H，连接PH.‎ 由(1)，得AB⊥平面DPM，则 平面ABCD⊥平面DPM，所以PN⊥平面ABCD，所以PN⊥BC，PN⊥NH.‎ 又NH⊥BC，PN∩NH＝N，所以BC⊥平面NPH，‎ 即∠NHP是二面角PCBA的平面角．‎ ‎∴在Rt△HNP中，PN＝，NH＝1，‎ 则PH＝，cos∠NHP＝＝，‎ 即二面角PCBA的余弦值为.‎ ‎21：(本小题满分12分)‎ ‎(1) 证明：∵PD⊥底面ABCD，‎ ‎∴PD⊥AD.‎ ‎ 又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC，‎ ‎∴ABCD是正方形，‎ ‎∴AD⊥CD，‎ 又PD∩CD＝D，故AD⊥平面PCD, ‎ ‎∵AD⊂平面PAD，‎ ‎∴平面PAD⊥平面PCD.‎ ‎(2)解：∵AD∥BC，又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，‎ ‎∴AD∥平面PBC，‎ ‎∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离．‎ 又∵PD＝DC，E是PC的中点，‎ ‎∴DE⊥PC.‎ 由(1)知有AD⊥平面PCD，∴AD⊥DE.‎ 由题意得AD∥BC，故BC⊥DE.‎ 于是，由BC∩PC＝C，可得DE⊥平面PBC.‎ ‎∴DE＝，PC＝2，‎ 又∵AD⊥平面PCD，‎ ‎∴AD⊥CP，‎ ‎∵AD∥BC，∴CP⊥BC，‎ ‎ ∴S△PEB＝S△PBC＝×＝，‎ ‎∴VAPEB＝VDPEB＝×DE×S△PEB＝.‎ ‎22：(本小题满分12分)‎ 解：(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为.‎ 因为圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，‎ 所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.‎ 因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小．因为|PC|2＝(1－x)2‎ ‎＋2＝2＋9.所以当x＝－时，‎ ‎|PC|＝9.所以|AP|min＝＝2，即四边形PACB面积的最小值为2.‎ ‎(2)假设直线上存在点P满足题意．‎ 因为∠APB＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2.‎ 设P(x，y)，则 整理可得25x2＋40x＋96＝0，‎ 所以Δ＝402－4×25×96<0.‎ 所以这样的点P是不存在的．‎