中考数学专题复习练习：过三点的圆

中考数学专题复习练习：过三点的圆

例 如图，表示一块破碎的圆形木盖，确定它的圆心．‎ 分析：根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”的原理可作出圆心．‎ 作法：(1)在弧上任取三点A、B、C；‎ ‎ (2)连接AC、BC；‎ ‎(3)分别作AC、BC的中垂线MN、PQ，相交于点0，点0即为所求圆心．‎ 说明：此题是最基础的题目，主要培养学生的作图能力，学生必须落实.‎ 例 如图，在△ABC中，BD、CE为△ABC的中线，延长BD到F，使DF=BD.延长CE到G，EG=CE.求证：过A、G、F三点不能作圆．‎ 分析：只要证明点G、A、F三点共线即可．‎ 证明：连接AG、AF、BG、CF.‎ ‎∵AD=DC、BD=DF，‎ ‎∴四边形ABCF是平行四边形．故AF∥BC.‎ ‎ 同理AGBC是平行四边形，故AG∥BC.‎ ‎∴点G、A、F三点在同一直线上．‎ ‎∴过点G、A、F不可能作圆．‎ 说明：此题是小型一个综合题，主要培养学生的思维能力.‎ 例 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别是AD、BC的中点，连结EF．‎ 求证：EF∥AB 分析：对反证法思想的理解和基本步骤的掌握是解决本题的关键.‎ 证明：(用反证法证明)‎ 假设EF与AB不平行，作EG∥AB交BC于G(如图所示)，‎ 则 ‎∵E为AD的中点，∴CG＝BG即G是BC的中点 ‎∵一条线段只有一个中点，∴F不是BC的中点，这与已知条件矛盾 因此假设EF与AB不平行是错误的，∴EF∥AB 说明：此题目的是理解和掌握反证法的基本步骤，是初中应用反证法证明的典例之一.‎ 例 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．‎ 分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论.‎ 已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠A、∠B为锐角.‎ 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：‎ ‎(1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；‎ ‎(1)由∠A=∠B=90°则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°，这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.‎ ‎(2)由90°＜∠B＜180°，90°＜∠C＜180°，则∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立．‎ 故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角.‎ 说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有“是直角(等于90°)”和“是钝角（大于90°)”两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.‎ 典型例题五 例 作圆使其半径为，且经过线段的两端点、.‎ 作法（1）作线段的垂直平分线；‎ ‎（2）以点为圆心为半径画弧，交于；‎ ‎（3）以为圆心，为半径作⊙.‎ ‎⊙即为所求的圆，如图.‎ 说明：要作出一个确定的圆，就必须要明确它的圆心和半径，二都缺一不可.本题中要求的圆的半径已知，故关键要确定它的圆心.通过找圆心的过程可以看出：①当时，符合条件的圆心有两个，要求作的圆有两个；②当时，符合条件的圆心只有一个，要求作的圆有一个；③当时，符合条件的圆心找不到，要求作的圆不存在.‎ 典型例题六 例 如图，在中，、分别在、上，、相交于点，证明和不可能互相平分.‎ 分析：结论带否定词“不”的问题适合于用反证法证明，我们不妨一试.‎ 证明 假定和互相平分，则四边形是平行四边形.‎ ‎，这与已知和相交于相矛盾.‎ 和不可能互相平分.‎ 典型例题七 例 如图，四边形的对角线、相交于点，且，.证明：四边形一定有外接圆.‎ ‎ 分析：如果能证明四边形的三条边的垂直平分线相交于一点就是了，由题设可以证明、有公共的垂直平分线，这样问题就不难解决了.‎ 证明 ‎ 等腰和等腰的顶角相等.‎ 它们的底角也相等.‎ ‎.，过作，则是的垂直平分线，也是的垂直平分线.‎ 设的垂直平分线交于，则点到、、、的距离相等，即四边形有外接圆，其圆心是点.‎ 典型例题八 例 已知：如图，于，于，于，并且、、三点共线，求证：、、、四点共圆.‎ 分析：、、、四点共圆的几何性质是，这一结论的反面是，因此，用反证法，从推出一个矛盾，便肯定了、、、四点共圆.‎ 证明 假设、、、四点不共圆，则：‎ ‎，‎ 故、、、四点共圆.‎ 同理，、、、四点共圆.‎ ‎，‎ 从而，‎ ‎.‎ 故，‎ ‎，，‎ 故四边形的内角和，矛盾.‎ ‎、、、四点共圆.‎ ‎ ‎ 典型例题九 例 作一个圆，使它经过已知点和，并且圆心在已知直线上.‎ 作法 （1）当直线和斜交或重合时，只要作线段的垂直平分线与交于，以为圆心，为半径作圆即为所求的圆.这样的圆只有一个（如图1）.‎ ‎（2）当直线与垂直但不经过线段的中点时，这样的圆不能作出.‎ ‎（3）当直线经过线段的垂直平分线，这样的圆可作无数个（如图2）.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎ ‎ 说明：本题考查圆的确定，解题关键是确定圆心的位置和半径的大小，易错点是忽视线段与的不同位置关系，只画出（1）的情况，造成丢解的错误.‎ 选择题 ‎1．下列命题中正确的为（ ）‎ ‎（A）三点确定一个圆 ‎ ‎（B）圆有切只有一个内接三角形 ‎（C）三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点 ‎ ‎（D）面积相等的三角形的外接圆是等圆 ‎2．钝角三角形的外心在（ ）‎ ‎（A）三角形的内部 （B）三角形的外部 ‎（C）三角形的钝角所对的边上 （D）以上都有可能 ‎3．己知命题：(1)三角形中最少有一个内角不小于60°；(2)三角形的外心到三角形各边的距离都相等. 下面判断中正确的是（ ）‎ ‎（A）命题(1)(2)都正确 （B）命题(1)正确，(2)不正确 ‎（C）命题(1)不正确，(2)正确 （D）命题(1)(2)都不正确 ‎ ‎4．下列条件，可以画出圆的是（）‎ A．已知圆心 B．已知半径 C．已知三个点 D．已知直径 ‎5．三角形的外心是（）‎ A．三条中线的交点 B．三条中垂线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 ‎6．若三角形的外心在三角形内，则三角形的形状是（）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状无法确定 ‎7．在下列三角形中，外心在它一条边上的三角形是（）‎ A．边长分别为、、‎ B．三角形的边长都等于 C．三角形的边长分别为、、‎ D．三角形的边长为、、‎ ‎8．下列说法正确的是（　　）．‎ ‎　A．三点决定一个圆 ‎　B．三角形的中心就是三角形的外心 ‎　C．三角形的外心就是三条中线的交点 ‎　D．斜边的中点就是这个三角形的外心．‎ ‎9．下列说法中，正确的是（　　）．‎ ‎　A．三点决定一个圆 ‎　B．过一点不能作圆 ‎　C．过两点不能作圆 ‎　D．一个圆的圆心决定这个圆的位置，这个圆的半径决定这个圆的大小 ‎10．下列命题：(1)经过三点一定可以作圆；(2)任一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；(3)任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；(4)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．‎ ‎　A．4个　　B．3个　　C．2个　　D．1个 答案：‎ ‎1、C；2、B；3、B. 4. D 5. B 6. A 7. C. 8．D；9．D；10．C；‎ 填空题 ‎1. 如图，内接于⊙，，，则 ‎2. 过一点可作_______个圆，过两点、可作________个圆，且圆心在线段的_______上，过三点、、，当这三点________时能且只能作一个圆，且圆心在______上。‎ ‎3. 中，，，，三角形的外心在_______上，半径长为______‎ ‎4. 用反证法证明“一个三角形中，不能有两个角是直角”的第一步是________‎ ‎5. 等边三角形的边长为，则外接圆的面积为__________‎ ‎6. 用反证法证明a>b时，应先假设 .‎ ‎7. 若一个圆经过梯形ABCD的四个顶点，则这个梯形是 梯形.‎ ‎8．在中，已知两直角边的长分别为和，那么的外接圆的面积是___________．（成都市，1996）‎ 答案:‎ ‎1. 2. 无数个，无数个，垂直平分线，不在同一条直线上。其中任意两条线段的中垂线的交点 3. 斜边中点， 4. 假设三角形中有两个角是直角 5. ‎ ‎6. ； 7. 等腰；8．. ‎ 解答题 ‎1．用反证法证明：‎ ‎（1）三角形中至少有一内角不小于；‎ ‎（2）垂直于同一直线的两条直线平行。‎ ‎2．如图，中，、是的高，求证：、、、四点在同一个圆上。‎ ‎3．如图，⊙和⊙交于、两点，点在⊙上，⊙的直径过点，延长线交⊙于，求证：.‎ ‎4.已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上.‎ ‎5. 如右上图，在△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上，求证CD、BE不可能互相平分.‎ ‎6．已知，，，，用两种方法作它的外接圆．‎ ‎7．已知，，用两种方法作它的外接圆．‎ ‎8．如图，，，三点表示三个工厂，要建一个供水端，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置（要求尺规作图，只要留作图痕迹，不写作法）‎ 答案:‎ ‎1．（1）假设三角形中三个角都大于，那么这三个角的和大于，与三角形内角和定理矛盾；（2）假设这两条线不平行，则它们相交，则有过一点有两条直线与已知直线垂直，这与垂直线的性质公理矛盾 ‎2．提示：取的中点，连结、‎ ‎3．略 ‎4、（略）；5. 提示：应用反证法（略）‎ ‎6．作法1：作任意两边的中垂线；作法2：取的中点 ‎7．作法1：作任意两边的中垂线；作法2：作任意两角的平分线．‎ ‎8．连，，分别作，的中垂线交于，点即为所求的水站位置．‎