甘肃省庆阳市宁县第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
甘肃省庆阳市宁县第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题）
1.若集合，，则集合等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
,选C.
2.下列四种说法正确的一个是（ ）.
A. 表示的是含有x的代数式
B. 函数的值域也就是其定义中的数集B
C. 函数是一种特殊的映射
D. 映射是一种特殊的函数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数定义，对题目中的四个结论逐一进行判断即可得到答案．
【详解】A：f（x）表示的对应法则，可以是图象或表格，不一定是含有x的代数式，故错；
B：集合{y|y=f（x），x∈A}叫做值域，函数的值域并不是其定义中的数集B，应是B的子集，即B错误；
C：由于集合中的任一一个元素在B中均有且只有一个元素与其对应，函数是一种特殊的映射；C 正确；
D：映射中元素不一定是数集，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是函数的定义，解答本题的关键是紧抓函数的表示法、函数与映射的关系，属于基础题．
3.设，则（ ）
A. B. 0 C. D. -1
【答案】A
【解析】
试题分析：，，．即．故选A．
考点：分段函数．
4.下列结论中，正确的是( )
A. 函数y＝kx(k为常数，且k＜0)在R上是增函数 B. 函数y＝x2在R上是增函数
C. 函数y＝在定义域内是减函数 D. y＝在(－∞，0)上是减函数
【答案】D
【解析】
A不正确，当k＞0时，函数y＝kx在R上是增函数．B不正确，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．C不正确，如－1＜1，但f(－1)＜f(1)．D正确．故选D
5.函数f（x）=ax-3+4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点坐标为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令x-3=0，求得x =3，且y=5，可得f（x）的图象恒过定点的坐标．
【详解】令x-3=0，求得 x=3，且y=5，故f（x）=ax-3+4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点坐标为（3，5）
故选：A．
【点睛】本题主要考查指数函数的定点问题，属于基础题．
6.已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=-eax．若f（ln2）=8，则a=（ ）.
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的性质，进行转化，建立方程进行求解即可．
【详解】∵f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=eax．
若f（ln2）=8，∴f（ln2）=f（ln2）=8，
则e-aln2=8，得ln8=aln2，即3ln2=aln2，得a=3，得a=3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇函数的性质，建立方程关系是解决本题的关键．
7.若a>b，则
A. ln(a−b)>0 B. 3a<3b
C. a3−b3>0 D. │a│>│b│
【答案】C
【解析】
【分析】
本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
8.实数a，b，c是图象连续不断的函数y=f（x）定义域中的三个数，且满足a＜b＜c，f（a）f（b）＜0，f（c）f（b）＜0，则y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为（ ）.
A. 2 B. 奇数 C. 偶数 D. 至少2
【答案】D
【解析】
【分析】
由零点的存在性定理：f（a）f（b）＜0，则y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，同理在（b，c）上至少有一个零点，结果可得．
【详解】由根的存在性定理，f（a）f（b）＜0，f（c）f（b）＜0，
则y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，
在（b，c）上至少有一个零点，而f（b）≠0，
所以y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为至少2个．
故选：D．
【点睛】本题考查零点的存在性定理，正确理解零点的存在性定理的条件和结论是解决本题的关键．
9.函数的图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题中函数知，当x＝0时，y＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案．
【详解】观察四个图的不同发现，A、C、D图中的图象过原点，
而当x＝0时，y＝0，故排除B；又由定义域可知x<1,排除D．
又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除A．
故选：C．
【点睛】本题考查对数函数的图象的识别，经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除，属于基础题.
10.三个数0.32，20.3，的大小关系为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log0.32＜0，
∴20.3＞0.32＞log0.32．
故选：A．
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
11.loga，则a的取值范围是（ ）
A. （0，）（1，+） B. （，+）
C. （） D. （0，）（，+）
【答案】A
【解析】
loga ，选A.
点睛：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0
1两种情况讨论．
12.若方程有两个解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：方程ax﹣x﹣a=0变形为：方程ax=x+a，由题意得，函数y=ax与函数y="a+x" 有两个不同的交点，结合图象得出结果．
解：方程ax﹣x﹣a=0变形为：方程ax=x+a，
由题意得，方程ax﹣x﹣a=0有两个不同的实数解，
即函数y=ax与函数y="a+x" 有两个不同的交点，
y=ax的图象过定点（0，1），直线y="x+a" 的图象过定点（0，a），如图所示：
故直线y="x+a" 在y轴上的截距大于1时，函数y=ax与函数y="a+x" 有两个不同的交点
故选A
考点：函数的零点．
二、填空题（本大题共4小题）
13.若函数，则________.
【答案】0
【解析】
【分析】
令x=1代入即可求出结果.
【详解】令，则.
【点睛】本题主要考查求函数的值，属于基础题型.
14.已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（3）=______；
【答案】
【解析】
【分析】
幂函数的定义，求出指数a的值，进而求出自变量为3的函数值．
【详解】设幂函数为f（x）=xa，因为过（，），
所以f（）=，∴=（）a2=（）aa=，∴f（3）=3=．
故答案为：
【点睛】本题考查幂函数的定义，属于简单题．
15.已知图象连续不断的函数在区间（a，b）（）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确到0.000 1）的近似值，那么将区间（a，b）等分的次数至多是 。
【答案】10
【解析】
【详解】所以将区间（a，b）等分的次数至多是10
【点睛】请在此输入点睛！
16.设0≤x≤2，则函数的最大值是______，最小值是______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
注意到4x=（2x）2，故可令2x=t（1≤t≤4）转化为二次函数的最大最小值问题．
【详解】令2x=t（1≤t≤4），则原式转化为：
y=t2-3t+5=（t-3）2+，1≤t≤4，
所以当t=3时，函数有最小值，当t=1时，函数有最大值
故答案为：；
【点睛】本题考查指数函数和二次函数的最值问题，考查换元法解题．
三、解答题（本大题共6小题）
17.用另一种方法表示下列集合：
（1）{（x，y）|2x+3y=12，x，y∈N}；
（2）{0，1，4，9，16，25，36，49}；
（3）{平面直角坐标系中第二象限内的点}．
【答案】（1）{（3，2），（6，0）} （2）{x|x=n2，n∈N，0≤n≤7} （3）{（x，y）|x＜0，y＞0}．
【解析】
【分析】
（1）直接利用集合的列举法，写出结果即可．
（2）直接利用集合的描述法，写出结果即可
（3）根据第二象限的坐标范围，写出结果即可
【详解】（1）{（x，y）|2x+3y=12，x，y∈N}={（3，2），（6，0）}；
（2）{0，1，4，9，16，25，36，49}={x|x=n2，n∈N，0≤n≤7}；
（3）{平面直角坐标系中第二象限内的点}={（x，y）|x＜0，y＞0}．
【点睛】本题考查集合的表示方法，基本知识的应用．
18.已知函数．
用分段函数的形式表示函数；
画出该函数的图象；
写出该函数的值域．
【答案】（I）；（II）详]解析；（III）.
【解析】
【分析】
去掉绝对值号，即可求出函数的解析式画出函数的图象即可利用函数的图象，写出函数的值域．
【详解】函数
函数的图象如图：
．
由图象知，函数值域为：．
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的图象的画法，值域的求法，考查计算能力，属于中档题.
19.已知函数（为常数,且）图象过点.
（1）求实数的值;
（2）若函数,试判断函数的奇偶性,并说明理由.
【答案】（1）（2）奇函数
【解析】
试题分析：(1)由于函数图像过点，所以代入y=f(x)，f(0)=1且f(3)=8,求得k与a.(2)由（1）得,所以，按照奇函数的定义证明。
试题解析：（1）由题意得解得
（2）由（1）得
函数g(x)是奇函数。
20.已知f（x）=3-x，g（x）=log3（x+8）．
（1）求f（1），g（1），f[g（1）]，g[f（1）]的值；
（2）求f[g（x）]，g[f（x）]的表达式并说明定义域；
（3）说明f[g（x）]，g[f（x）]单调性（不需要证明）．
【答案】（1）f（1）=，g（1）=2，f[g（1）]=，． （2）f[g（x）]=，定义域：{x|x＞-8}；，定义域：R；（3）f[g（x）]在（-8，+∞）上是减函数，g[f（x）]在R是减函数．
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件直接求解函数值即可．
（2）求出函数的解析式，然后求解函数的定义域．
（3）通过函数的解析式，直接判断函数的单调性即可．
【详解】（1）f（1）=，g（1）=2，f[g（1）]=，g[f（1）]=log325-1．
（2）f（x）=3-x，g（x）=log3（x+8）．
f[g（x）]==，即f[g（x）]=，定义域：{x|x＞-8}．
g[f（x）]=log3（3-x+8），定义域：R；
（3）f[g（x）]在（-8，+∞）上是减函数，g[f（x）]在R是减函数．
【点睛】本题考查指数函数以及对数函数的运算法则的应用，复合函数的单调性的判断，是基本知识的考查．
21.已知函数（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的单调性并予以证明．
【答案】（1）{x|-1＜x＜1} （2）答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，解不等式即可求解；
（2）先设t（x）==-1-，然后根据单调性的定义可判断t（x）的单调性，然后结合复合函数的单调性即可．
【详解】（1）要使函数f（x）=loga（x+1）-loga（1-x）有意义，
则，解得-1＜x＜1，故函数f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）f（x）=loga（-1＜x＜1），设t（x）==-1-，
设-1＜x1＜x2＜1，则t（x1）-t（x2）==，
∵-1＜x1＜x2＜1，∴＜0则t（x1）＜t（x2），
∴t（x）在（-1，1）上是增函数，
①当0＜a＜1时，由复合函数的单调性可知，f（x）在（-1，1）上是减函数；
②当a＞1时，由复合函数的单调性可知，f（x）在（-1，1）上是增函数．
【点睛】本题考查函数的定义域及复合函数的单调性，需要熟练应用常用函数的性质和图象，属于基础题目．
22. 商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：（1）买一个茶壶赠一个茶杯；（２）按总价的９２％付款．
某顾客需购买茶壶４个，茶杯若干个（不少于４个），若购买茶杯数ｘ个，付款ｙ（元），分别建立两种优惠办法中ｙ与ｘ之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠。
【答案】当购买３４只茶杯时，两法付款相同．
当４ｘ＜３４时， ＜优惠办法（１）省钱，
当ｘ３４时， ＜，优惠办法（２）省钱．
【解析】
主要考查一次函数模型的应用。解答此类题目，注意遵循“审清题意，设出变元，列出关系，解决问题，写出结语（答）”等步骤。分别计算，加以比较。
解：由优惠办法（１）可得函数关系为
＝２０４＋５（ｘ－４）＝５ｘ＋６０（ｘ４，且ｘＮ）；
由优惠办法（２）可得＝（５ｘ＋２０４）９２％＝４．６ｘ＋７３．６（ｘ４，且ｘＮ）
－＝０．４ｘ－１３．６（ｘ４，且ｘＮ），令－＝０，得ｘ＝３４．
所以，当购买３４只茶杯时，两法付款相同．
当４ｘ＜３４时， ＜优惠办法（１）省钱，
当ｘ３４时， ＜，优惠办法（２）省钱．
