2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十五）

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十五）

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十五）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，内角，，所对的边分别为，，，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，的面积为，求的值．‎ ‎【解析】解：（1）由得，……3分 又，所以，得，所以．……分 ‎（2）由的面积为及得，即，……8分 又，从而由余弦定理得，所以，……10分 所以．……12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【解析】（1）证明：设为的中点，连接，．‎ 因为为的中位线，所以，且．‎ 又，，所以，故四边形为平行四边形，所以．‎ 又平面，平面，所以平面．……4分 ‎（2）解：设为的中点，因为，，所以为等边三角形，故；因为，所以；‎ 又平面，所以，，两两垂直；……6分 以为坐标原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，则，，，，；‎ 设为平面的一个法向量，则，即，‎ 令，则，……9分 又，所以，‎ 即直线PB与平面BDE所成角的正弦值为．……12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的监测数据中随机抽取18天的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如下图所示（十位为茎，个位为叶）．‎ ‎（1）在这18个数据中随机抽取3个数据，求其中恰有2个数据为空气质量达到一级的概率；‎ ‎（2）在这18个数据中随机抽取3个数据，用表示其中不超标数据的个数，求的分布列及数学期望；‎ ‎（3）以这18天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中约有多少天的空气质量为二级．‎ ‎【解析】解：（1）概率；……3分 ‎（2）由题意，服从超几何分布：其中，，，‎ 的可能取值为0、1、2、3．由，得，‎ ‎，，；……6分 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 得期望或用公式．……9分 ‎（3）由题意，一年中空气质量为二级的概率，，‎ 所以一年（按天计算）中约有天的空气质量为二级．……12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：经过点，且两个焦点，的坐标依次为和．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，求当为何值时，直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．‎ ‎【解析】解：（1）由椭圆定义得，‎ 即，又，所以，得椭圆的标准方程为．……4分 ‎（2）设直线的方程为，，，‎ 直线的方程与椭圆方程联立，消去得，‎ 当判别式时，得，，……6分 设，因为点，在直线上，得，‎ 整理得，‎ 即，化简得；……8分 原点到直线的距离，，‎ 由已知有是定值，所以有，解得，……10分 即当时，直线与以原点为圆心的定圆相切，‎ 此时，定圆的标准方程为．……12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若函数在区间内单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立．‎ ‎【解析】（1）解：的定义域为，，……1分 若满足题意，只要在恒成立即可，‎ 即恒成立，又，所以．……4分 ‎（2）证明：，则的定义域为，，若有两个极值点，，‎ 则方程的判别式，，，‎ 得，，，，……7分 所以，‎ 设，其中，由得，…9分 又，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，即的最大值为，‎ 从而恒成立．……12分