数学理卷·2018届福建省福建师范大学第二附属中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届福建省福建师范大学第二附属中学高二上学期期末考试（2017-01）

福建师大二附中2016-2017学年高二上学期期末考试 数学（理）‎ 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．“”是“”的 （ ） ‎ A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不必要也不充分条件 ‎2.抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.若直线l的方向向量为b，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　)‎ A．b＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0) B．b＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)‎ C．b＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．b＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)‎ ‎4.已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到另一个焦点的距离等于 （ ）【来源：全,品…中&高*考+网】 ‎ ‎ A. 1 B. 3 C. 6 D. 10‎ ‎5.如图1所示，在平行六面体中，若，， ，则下列向量中与相等的向量是 ( ) ‎ 图1‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎6. 下列命题错误的是 （ ）‎ ‎ ‎ ‎ A．命题“若则”与命题“若，则”互为逆否命题 ‎ B．命题“R,”的否定是“R,”‎ C．且，都有 D．“若”的逆命题为真 ‎7．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)‎ A. B. C．1 D. ‎8．已知向量，若向量与的夹角为钝角，则实数 的取值范围（ ）‎ A. B. C． D. ‎ ‎9. 三棱锥ABCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于(　　)‎ A．－2 B．2 C．－2 D．2 ‎10.已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎11.已知分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，是轴上的一个动点，若，则等于 （ ）‎ ‎ A．6 B．10 C．20 D．25‎ ‎12．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，，则该椭圆的离心率e的范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎13．已知，则实数 。‎ ‎14.已知抛物线y2=4x上的一点P，点P到y轴的距离为3，则点P到焦点F距离为　　．‎ ‎15．已知正方形的顶点为椭圆的焦点，顶点在椭圆上，则此椭圆的离心率为 ‎ ‎16.设，若，则 。‎ 三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本小题满分12分)双曲线C1过点且渐近线方程为，椭圆C2与双曲线C1有相同的焦点，且离心率为 ‎（1）求双曲线C1的标准方程。‎ ‎（2）求椭圆C2的标准方程 ‎18．(本小题满分12分)已知m∈R，设命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：关于的方程有实根．‎ ‎（1）若￢p为真命题，求m的取值范围；‎ ‎（2）若“p∨q”为真，求m的取值范围．‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ 如图，在棱长为2的正方形中，E、F分别为和的中点 （1） 求证：EF∥平面ACD；‎ （2） 求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；‎ （3） 在棱上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B大小为？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由。‎ ‎20． (本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于,两点，‎ ‎（1）求证：“如果直线过点，那么”是真命题；‎ ‎（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。‎ ‎21（本题满分14分）如图，在直角梯形ABCD中，，∥，，将沿折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体D-ABC （1） 求证：BC平面ACD；‎ （2） M为线段AB的中点，求AD与平面CMD所成角的余弦值。‎ ‎22. （本题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，‎ ‎。‎ ⑴求直线的斜率；‎ ⑵求椭圆的方程；‎ ⑶设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围。‎ 福建师大二附中2016-2017学年高二上学期期末考试 数学（理）答案 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．“”是“”的 （ ） C ‎ A.充要条件 B.必要不充分条件 ‎ ‎ C.充分不必要条件 D.既不必要也不充分条件 ‎2.抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案：B ‎3.若直线l的方向向量为b，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　)‎ A．b＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)【来源：全,品…中&高*考+网】B．b＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)‎ C．b＝(0， 2，1)，n＝(－1，0，－1) D．b＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)‎ 解析：若l∥α，则b·n＝0.将各选项代入，知D正确．‎ 答案：D ‎4.已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到另一个焦点的距离等于 （ ）【来源：全,品…中&高*考+网】C ‎ A. 1 B. 3 C. 6 D. 10‎ ‎5.如图1所示，在平行六面体中，若，， ，则下列向量中与相等的向量是 ( ) D ‎ 图1‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎6. 下列命题错误的是 （ ）D ‎ ‎ ‎ A．命题“若则”与命题“若，则”互为逆否命题 ‎ B．命题“R,”的否定是“R,”‎ C．且，都有 D．“若”的逆命题为真 ‎7．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)‎ A. B. C．1 D. 答案：B ‎8．已知向量，若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C． D. ‎ 答案：A ‎9. 三棱锥ABCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于(　　)‎ A．－2 B．2 C．－2 D．2 解析：·＝·(－)＝·－·＝||||cos ‎ ‎90°－2×2×cos 60°＝－2.‎ 答案：A ‎10.已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎　【考点】双曲线的定义；余弦定理．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|•|PF2|的值．‎ 解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|•|PF2|的值．‎ ‎【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，‎ 由余弦定理得 cos∠F1PF2=‎ ‎∴|PF1|•|PF2|=4．‎ 法2； 由焦点三角形面积公式得：‎ ‎∴|PF1|•|PF2|=4；‎ 故选B．‎ ‎11.已知分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，是轴上的一个动点，若，则等于 （ ）C ‎ A．6 B．10 C．20 D．25‎ ‎12．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，，则该椭圆的离心率e的范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12．B ‎【解析】‎ 试题分析：设则.又由于，所以即可得 ‎.所以点P在以OA为直径的圆上.及椭圆与该圆有公共点. 消去y得.由于过点A所以有一个根为，另一个根设为，则由韦达定理可得.又因为.所以解得.故选B.‎ 考点：1.线的垂直问题转化到向量垂直问题.2.曲线的公共点转化为方程组的解得问题.3.区间根的问题.‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎13．已知，则实数 。‎ ‎14.已知抛物线y2=4x上的一点P，点P到y轴的距离为3，则点P到焦点F距离为　　．4‎ ‎15．已知正方形的顶点为椭圆的焦点，顶点在椭圆上，则此椭圆的离心率为 【解析】‎ 试题分析：设正方形的边长为1，则根据题意知，‎ ‎，所以椭圆的离心率为 考点：本小题主要考查椭圆中基本量的运算和椭圆中离心率的求法，考查学生的运算求解能力.‎ 点评：求椭圆的离心率关键是求出，而不必分别求出 ‎16.设，若，则 。16． 。‎ 三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本小题满分12分)双曲线C1过点且渐近线方程为，椭圆C2与双曲线C1有相同的焦点，且离心率为 ‎（1）求双曲线C1的标准方程。‎ ‎（2）求椭圆C2的标准方程 ‎【解析】‎ 试题分析：设所求双曲线方程为，……4分 带入，，……8分 所求双曲线方程为，……10分 考点：本小题主要考查由渐近线方程和双曲线上的点求双曲线方程的方法和双曲线离心率的求法，考查学生的运算求解能力.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 点评：由双曲线方程设所求双曲线方程为是简化此题解题步骤的关键，另外圆锥曲线中离心率是一个比较常考的考点，要准确求解.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎18．(本小题满分12分)已知m∈R，设命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：关于的方程有实根．‎ ‎（1）若￢p为真命题，求m的取值范围；‎ ‎（2）若“p∨q”为真，求m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）p：m﹣1＞5﹣m＞0，解出m范围，由于¬p为真命题，可得p为假命题，即可得出．‎ ‎（2）函数有零点，可得△≥0，由于“p∨q”为真，可得m∈P∪Q．‎ ‎【解答】解：（1）p：m﹣1＞5﹣m＞0，∴3＜m＜5，…‎ ‎∵¬p为真命题，∴p为假命题…‎ ‎∴m≤3或m≥5．…‎ ‎（2）函数有零点，∴△≥0，≥0，…‎ ‎∴m≥4或m≤﹣1．…‎ 设Q={m|m≥4或m≤﹣1}，P={m|3＜m＜5}．‎ ‎∵“p∨q”为真，∴m∈P∪Q，即m＞3或m≤﹣1．…‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ 如图，在棱长为2的正方形中，E、F分别为和的中点 （1） 求证：EF∥平面ACD；‎ （1） 求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；‎ （2） 在棱上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B大小为？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由。‎ ‎20． (本小题满分12分)‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 如图，在直角梯形ABCD中，，∥，，将沿折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体D-ABC （1） 求证：BC平面ACD；‎ （2） M为线段AB的中点，求AD与平面CMD所成角的余弦值。‎ ‎（本题满分12分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，。‎ ⑴求直线的斜率；‎ ⑵求椭圆的方程；‎ ⑶设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围。‎ ‎22．解(I) 由已知有，又由，可得，，‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有 ‎，解得.…………………….4分 ‎(II)由(I)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为…………………….8分 ‎(III)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，‎ 设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.‎ ①当时，有，因此，于是，得 ②当时，有，因此，于是，得综上，直线的斜率的取值范围是…………………….12分 ‎22. （本小题满分14分）已知椭圆+=1（a＞1）的左右焦点为F1，F2，抛物线C：y2=2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），点M在x轴上方，直线F1M与抛物线C相切．‎ ‎（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；‎ ‎（2）设A，B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P，Q．△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．‎ ‎【分析】（1）由c2=a2﹣b2即可得到椭圆的焦点，进而得到p即抛物线的方程，设点M的坐标写出方程，与抛物线的方程联立，消去一个未知数得到关于另一个未知数的一元二次方程，由相切得到判别式△=0即可求出；‎ ‎（2）设A，B．即可表示出kMA，kMB，由△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，可得kMA=﹣kMB．进而可证明kAB为定值．‎ ‎【解答】解：（1）由椭圆方程得半焦距=1．‎ ‎∴椭圆焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．‎ 又抛物线C的焦点为，∴，解得p=2．∴抛物线C的方程：y2=4x．‎ ‎∵点M（x1，y1）在抛物线C上，‎ ‎∴，直线F1M的方程为．‎ 代入抛物线C得，即．‎ ‎∴‎ ‎∵F1M与抛物线C相切，∴△==0，∴x1=1．‎ ‎∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，﹣2）． ‎ ‎（2）直线AB的斜率为定值﹣1．‎ 证明如下：设A，B．‎ 则=，同理，‎ ‎∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴kMA=﹣kMB．‎ 即，‎ 化为y1+y2+4=0得y1+y2=﹣4．‎ ‎∴kAB====﹣1．‎ 所以直线AB的斜率为定值﹣1．‎ ‎【点评】熟练掌握椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与曲线相交相切问题转化为方程联立得到一元二次方程得根与系数的关系及△≥0、△MPQ是以MP、MQ为腰的等腰三角形可得kMA=﹣kMB等设解题的关键．‎