二次函数与一元二次方程　　导学案

二次函数与一元二次方程　　导学案

‎22.2　二次函数与一元二次方程(1)‎ ‎1．理解二次函数与一元二次方程的关系．‎ ‎2．会判断抛物线与x轴的交点个数．‎ ‎3．掌握方程与函数间的转化．‎ 重点：理解二次函数与一元二次方程的关系；会判断抛物线与x轴的交点个数．‎ 难点：掌握方程与函数间的转化．‎ 一、自学指导．(10分钟)‎ 自学：自学课本P43～45.自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．‎ 总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．‎ 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的三种情况：有两个不等的实数根，有两个相等实数根，没有实数根．‎ 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)‎ ‎1．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？‎ 方程x2＋x－2＝0的根是：x1＝－2，x2＝1；‎ 方程x2－6x＋9＝0的根是：x1＝x2＝3；‎ 方程x2－x＋1＝0的根是：无实根．‎ ‎2．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？‎ 点拨精讲：此题充分利用二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y＝－x2＋2x＋3中，y为某一确定值m(如4，3，0)时，相应x值是方程－x2＋2x＋3＝m(m＝4，3，0)的根．‎ 　　　,第3题图)‎ ‎3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根是x1＝x2＝1．‎ 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，‎ 4‎ 小组代表展示活动成果．(6分钟)‎ 探究　已知二次函数y＝2x2－(4k＋1)x＋2k2－1的图象与x轴交于两点．求k的取值范围．‎ 解：根据题意知b2－4ac>0，‎ 即[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)>0，‎ 解得k>－.‎ 点拨精讲：根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系．‎ 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(12分钟)‎ ‎1．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－2，0)，(4，0)，抛物线的对称轴是x＝1．‎ 点拨精讲：根据对称性来求．‎ ‎2．画出函数y＝x2－2x＋3的图象，利用图象回答：‎ ‎(1)方程x2－2x＋3＝0的解是什么？‎ ‎(2)x取什么值时，函数值大于0?‎ ‎(3)x取什么值时，函数值小于0?‎ 点拨精讲：x2－2x＋3＝0的解，即求二次函数y＝x2－2x＋3中函数值y＝0时自变量x的值．‎ ‎3．用函数的图象求下列方程的解．‎ ‎(1)x2－3x＋1＝0；　　(2)x2－6x－9＝0；‎ ‎(3)x2＋x－2＝0; (4)2－x－x2＝0.‎ 点拨精讲：(3分钟)：本节课所学知识：1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．‎ ‎2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．‎ ‎3．有下列对应关系：‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况 b2－4ac的值 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2－4ac>0‎ 只有一个公共点 有两个相等的实数根 b2－4ac＝0‎ 无公共点 无实数根 b2－4ac<0‎ 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)‎ 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)‎ ‎22.2　二次函数与一元二次方程(2)‎ ‎1．会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解．‎ ‎2．熟练掌握函数与方程的综合应用．‎ ‎3．能利用函数知识解决一些简单的实际问题．‎ 4‎ 重点：根据函数图象观察方程的解和不等式的解集．‎ 难点：观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况．‎ 一、自学指导．(10分钟)‎ 自学：自学课本P46.理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．‎ 总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标实质上是抛物线与直线y＝0组成的方程组的解；抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点坐标实质上是的解；抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线的交点坐标实质上是的解．‎ 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)‎ ‎1．若二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为(　D　)‎ A．k＜4　　　　　　B．k≤4‎ C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3‎ ‎2．已知二次函数y＝x2－2ax＋(b＋c)2，其中a，b，c是△ABC的边长，则此二次函数图象与x轴的交点情况是(　A　)‎ A．无交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．交点个数无法确定 ‎3．若二次函数y＝x2＋mx＋m－3的图象与x轴交于A，B两点，则A，B两点的距离的最小值是(　C　)‎ A．2 B．0‎ C．2 D．无法确定 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)‎ 探究1　将抛物线y＝x2＋2x－4向右平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转180°.(1)求变换后新抛物线对应的函数解析式；(2)若这个新抛物线的顶点坐标恰为x的整式方程x2－(4m＋n)x＋3m2－2n＝0的两根，求m，n的值．‎ 解：(1)y＝x2＋2x－4＝(x＋1)2－5，‎ 由题意可得平移旋转后的抛物线解析式为y＝－(x－1)2－2＝－x2＋2x－3；‎ ‎(2)该抛物线顶点坐标为(1，－2)，设方程两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝4m＋n＝－1，x1·x2＝3m2－2n＝－2，即 解得或 点拨精讲：熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的转化，以及运用一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法．‎ 4‎ 探究2　如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x＞3或x＜－1．‎ 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)‎ ‎1．若二次函数y＝ax2－x＋c的图象在x轴的下方，则a，c满足关系为(　A　)‎ A．a＜0且4ac＞1　　　　　B．a＜0且4ac＜1‎ C．a＜0且4ac≥1 D．a＜0且4ac≤1‎ ‎2．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图，关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝－1．‎ 点拨精讲：可根据抛物线的对称性求解．‎ ‎3．二次函数y＝x2－8x＋15的图象与x轴交于A，B两点，点C在该函数的图象上运动，若S△ABC＝2，求点C的坐标．‎ 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)‎ 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)‎ 4‎