【数学】河南省新乡市2019-2020学年高一上学期期末考试试题（解析版）

【数学】河南省新乡市2019-2020学年高一上学期期末考试试题（解析版）

河南省新乡市 2019-2020 学年 高一上学期期末考试试题 一、选择题 1.已知集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意 ，∴ ． 故选：A． 2.已知直线 经过 两点，则直线 的倾斜角是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意直线的斜率为 ，∴倾斜角为 ． 故选：A． 3.函数 的零点所在的区间是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ， ， ， ， ， 零点在区间 上．故选：C． 4.已知 ，则△ 的 边上的中线所在的直线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意边 的中点为 ，∴中线 方程为 ， { | 1 5}, { | 2 2}A x x B x x= ∈ − < < = − ≤Z  A B = {0,1,2} {0,1} { | 1 2}x x− < ≤ | 2 5x x〈 − ≤ < 〉 {0,1,2,3,4}A = {0,1,2}A B∩ = l ( 2, 1), (1, 3 1)A B− − − l 30° 60° 120° 150° 3 1 ( 1) 3 1 ( 2) 3k − − −= =− − 30° 3( ) 9f x x= − ( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4 (0) 9f = − (1) 8f = − (2) 1f = − (3) 18f = (2) (3) 0 1a ≠ 2 2( ) 2 logf x x x a= − ( ) xg x a= 1a > ( ) xg x a= ( )f x 2log 0x a= > 0 1a< < ( ) xg x a= ( )f x 2log 0x a= < ( )f x 0x > ( ) 3 2f x x= − ( ) 0f x > 3 3,2 2  −   3 3, ,2 2    −∞ − ∪ +∞       3 3, 0,2 2    −∞ − ∪       3 3,0 ,2 2    − ∪ +∞       0x > ( ) 3 2f x x= − 30 2x< < ( ) 0f x > 3 2x > ( ) 0f x < 又 是奇函数，∴ 时， ， 时， ， 又 ，∴ 的解集为 ． 故选：C． 7.已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 ， ，则下列命题中 为真命题的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】选项 A,C 直线 可能在 平面内，故不正确；选项 B, 若 ， ，则， 或 在平面 内，而 ，故 与 可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项 D：由 ， ，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线 ，故为正确.故选：D 8.已知 ，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，又 ，∴ ． 而 ，∴ ．故选：B． 9.某几何体的三视图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位: )是( ) ( )f x 3 02 x− < < ( ) 0f x < 3 2x < − ( ) 0f x > (0) 0f = ( ) 0f x > 3 3( , ) (0, )2 2 −∞ −  ,l m ,α β l α m β⊥ α β∥ l β∥ α β⊥ l m⊥ l m⊥ l β∥ α β∥ m α⊥ l β α β⊥ m β⊥ m α m α l α l m m β⊥ α β∥ m α⊥ 0,4 1.3 3 1 1, , log 88 2a b c − −   = = =       b a c< < c a b< < a b c< < c b a< < 0.4 1.21 1( ) ( )8 2a − −= = 1.2 1.3− > − 1 1.2 1.31 1 12 ( ) ( ) ( )2 2 2 − − −= < < 3 3log 8 log 9 2< = c a b< < 3cm A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由三视图知，原几何体是一个正方体在旁边挖去一个三棱柱，尺寸见三视图， 其体积为 ． 故选：D． 10.在四面体 中， ， ， ，则四面体 外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵ ， ， 平面 ， ∴ 平面 . 如图，设 是外接球球心， 是 的中心， 则 平面 ， ， ， 则 ， 故四面体外接球的表面积是 . 故选 A. 11.已知 分别为圆 与圆 上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为（ ） 1 2 3 6 3 12 2 1 2 62V = − × × × = PABC PC PA⊥ PC PB⊥ 2 2AP BP AB PC= = = = PABC 19 3 π 19 12 π 17 12 π 17 3 π PC PA⊥ PC PB⊥ ,PA PB ⊂ PAB PA PB P= PC ⊥ PAB O H ABP∆ OH ⊥ PAB 1 1 2 2OH PC= = 3 2 2 32 2 3 3PH = × × = 2 2 2 2 19 12R OP OH PH= = + = 2 194 3S R ππ= = ,P Q 2 26) 3) 4:( (M x y− + − = 2 24) 2) 1:( (N x y+ + − = A x | | | |AP AQ+ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圆 关于 轴对称的圆为圆 则 的最小值为 . 故选 B. 12.已知函数 ， ，则方程 的解的个数是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据 的解析式知， 在区间 ， ， ， ， （ ）上的图象相同，作出函数图象，如图，同时作出 的图象，它是一条直线， 由于 ， ， ，因此它们有 4 个交点． 即方程 有 4 个解． 故选：C． 二、填空题 13.两平行直线 与 之间的距离 __________. 【答案】 【解析】由题意所求距离为 ． 故答案为：3 101 3− 5 5 3− 7 5 3− 5 3 3− 2 24) 2) 1:( (N x y+ + − = x 2 2:( 4) ( 2) 1N x y′ + + + = | | | |AP AQ+ 2 210 5 1 2 5 5 3MN r R′ − − = + − − = − 2 1, 2( ) ( 2), 2 x xf x f x x  − <=  −  1( ) 3 2g x x= − ( ) ( )f x g x= 2 3 4 5 ( )f x ( )f x [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [2 ,2 2)k k + k ∈N ( )g x (6) (6) 0g f= = (0) 3g = (0) 0f = ( ) ( )f x g x= 3 4 5 0x y− + = 3 4 10 0x y− − = d = 3 2 2 5 ( 10) 3 3 ( 4) d − −= = + − 14.已知集合 ，且 ，则 的 值为___________. 【答案】 【解析】∵ ，∴ ， 由 ，若 ，则 ，此时 ，舍去， ∴ ，解得 （ 舍去），此时 ， 由 ，又 ，∴ ， ， ∴ ． 故答案为：3． 15.在长方体 中， ，点 为长方形 对 角线的交点， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成的角为__________. 【答案】 【解析】如图，取 中点 ，连接 ， ∵ 是 中点，∴ ，从而有 ， ∴ 或其补角是异面直线 与 所成的角， 在长方体中，易求得 ， ， ， { } { }2 21 , ,3 , 3 8, 3,0M a a a N a a b= + + = − + − {2}M N = a b＋ 3 {2}M N = 2 ,2M N∈ ∈ 2 M∈ 1 2a+ = 1a = 2 2a a+ = 2 2a a+ = 2a = − 1a = { 1,2,3}M = − 2 N∈ 2 3 8 18a a− + = 3 2b − = 5b = 2 5 3a b+ = − + = 1 1 1 1ABCD A B C D− 13, 1, 2AB AD AA= = = O ABCD E 1CC 1AD OE 60° BC F ,EF OF E 1CC 1/ /EF BC 1//EF AD OEF∠ 1AD OE 1 3 2 2OF AB= = 1 1 3 2 2EF BC= = 1 1 1 12 32 2OE AC= = = ∴ ， ∴ ，∴异面直线 与 所成的角是 ． 故答案为： ． 16.用 表示 三个数中的最大值， 设 ，则不等式 的解集为______. 【答案】 【解析】作出函数 的图象，如图， 由 得 ，由 得 ， ∴ ， ∴ 在 上递减，在 上递增， 或 ， ∴不等式 的解集为 ． 故答案为： ． 2 2 2 3 93 14 4cos 2 232 3 2 EO EF OFOEF EO EF + −+ −∠ = = =⋅ × × 60OEF∠ = ° 1AD OE 60° 60° max{ , , }a b c , ,a b c 2( ) max{ ln , 1, 4 ( 0)f x x x x x x= − − − 〉 > ( ) 1f x < 1,2e     2ln , 1, 4y x y x y x x= − = − = − 21 4x x x− = − 5 21 2x ±= 1 lnx x− = − 1x = ( ) 2 ln ,0 1, 5 211,1 2 5 214 , 2 x x f x x x x x x  − < <  += − ≤ ≤   +− > ( )f x (0,1] [1, )+∞ ( ) 1f x ⇒＝ 1 ex = 2x = ( ) 1f x < 1( ,2)e 1( ,2)e 三、解答题 17.(1)计算 ； (2)已知集合 ， ，且 ，求 的取值范 围. 【解】（1）原式＝ ； （2）由题意 ，∵ ， 若 ，即 ，则 满足题意， 若 ，则 ， ，解得 ， 综上， 的取值范围是 ． 18.已知直线 过点 . (1)求直线 的方程； (2)光线通过点 ，在直线 上反射，反射光线经过点 ，试求入射光线和反射 光线所在直线的方程. 【解】（1）由题意直线 方程为 ，即 ． （2）设 点关于直线 的对称点 的坐标为 ， 则 ，解得 ，即 ， 同理可得 点关于直线 的对称点 的坐标为 ， 直线 方程为 ，即 ，此为入射光线所在直线方程． 0.5 0 3 1 lg23 4 1( 1) ( 4) log 2 109 − − − − + − + +   1| 3 93 xA x = < <   { | 1 2 1B x a x a= − < < + 〉 B A⊆ a 2 0.5 lg51 1 11 (3 ) 4 10 1 3 4 52 2 2 − −− − + + = − − + + = − { | 1 2}A x x= − < < B A⊆ 1 2 1a a− ≥ + 2a ≤ − B = ∅ 2a > − B ≠ ∅ 1 1 2 1 2 a a − ≥ −  + ≤ 10 2a≤ ≤ a 1( , 2] 0, 2  −∞ − ∪    l ( ) ( )0,2 , 2,0 l ( 2,1)A − l (2, 3)B − l 2 2 1x y+ = 2 0x y+ − = A l 1A ( , )x y 1 12 2 1 2 02 2 y x x y − = + − + + − = 1 4 x y =  = 1(1,4)A B l 1B (5,0) 1AB 5 1 2 5 y x −= − − 7 5 0x y+ − = 直线 方程为 ，即 ，此为反射光线所在直线方程． 19.已知 是定义在 上的奇函数，且 . (1)求 的解析式； (2)设 ，求 在 上的最大值与最小值. 【解】（1）∵ 是奇函数， ∴ ，解得 ， ， ，∴ ； （2）由（1） ，对称轴为 ， ∵ ，∴ ， ． 20.如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， 面 ， . (1)证明:平面 ⊥平面 ； (2)求点 到平面 的距离. 【解】（1）证明：在直角梯形 中， 由 ， ，得 ，∴ ，∴ ， 1A B 3 2 4 3 1 2 y x+ −=+ − 7 11 0x y+ − = 1( )f x ax bx = + + { | 0}x x∈ ≠R (1) 5f = ( )f x ( ) [ ( ) 8]g x x f x= ⋅ − ( )g x 1 ,22      ( )f x 1 1( ) ( )f x ax b ax bx x − = − − + = − + + 0b = (1) 1 5f a= + = 4a = 1( ) 4f x x x = + 21( ) (4 8) 4 8 1g x x x x xx = + − = − + 24( 1) 3x= − − 1x = 1[ ,2]2x ∈ min( ) (1) 3g x g= = − max( ) (2) 1g x g= = P ABCD− ABCD 90BAD CDA °∠ = ∠ = PA ⊥ ABCD 1, 2PA AD DC AB= = = = PAC PBC D PBC ABCD 90BAD CDA °∠ = ∠ = 1, 2AD DC AB= = = 2, 2AC BC= = 2 2 2AC BC AB+ = AC BC⊥ 又 面 ，∴ ， ， ∴ 平面 ， 平面 ，∴平面 ⊥平面 ； （2）由（1）得 ， ， ， ， ． 设点 到平面 的距离为 ， 则 ，∴ ， ∴点 到平面 的距离为 ． 21.直线 ： 与坐标轴的交点为 ， ，以线段 为直径的圆 经过点 . （1）求圆 的标准方程； （2）若直线 ： 与圆 交于 ， 两点，求 . 【解】（1）直线 ： 与坐标轴的交点为 ， . 因为以线段 为直径的圆 经过点 ，所以 ， 所以 ，解得 . 所以圆 的圆心为线段 的中点，其坐标为 ，半径 ， 圆 的标准方程为 . （2）因为圆心 到直线 ： 的距离为 ， 所以 . PA ⊥ ABCD PA BC⊥ PA AC A= BC ⊥ PAC BC ⊂ PBC PAC PBC BC PC⊥ 3PC = 1 1 63 22 2 2PBCS PC BC∆ = × = × × = 1 1 11 12 2 2DBCS DC AD∆ = × = × × = 1 1 1 113 3 2 6P BDC DBCV S PA− ∆= × = × × = D PBC h 1 1 6 6 3 3 2 6D PBC PBCV S h h h− ∆= = × = 1 6P DBCV −= = 6 6h = D PBC 6 6 1l ( )2 0y kx k= − ≠ A B AB C ( )3,1D C 2l 3 4 3 0x y+ + = C M N MN 1l ( )2 0y kx k= − ≠ ( )0, 2− 2 ,0k      AB C ( )3,1D AD BD⊥ 3 1 123 3 k × = − − 1 2k = C AB ( )2, 1− 2 21 2 5R = + = C ( ) ( )2 22 1 5x y− + + = C 2l 3 4 3 0x y+ + = 6 4 3 15d − += = 2 22 4MN R d= − = 22.已知函数 ，其中 为自然对数的底数. (1)证明: 在 上单调递增； (2)函数 ，如果总存在 ，对任意 都成 立，求实数 的取值范围. 【解】（1）设 ， 则 ， ∵ ，∴ ， ，∴ ，即 ， ∴ 在 上单调递增； （2）总存在 ，对任意 都成立， 即 ， 的最大值为 ， 是偶函数，在 是增函数， ∴当 时， ， ∴ ，整理得 ， ， ∵ ，∴ ，即 ，∴ ，∴ ． 即 的取值范围是 ． 2 2( ) 3 x xe ef x −+= e ( )f x (0, )+∞ 25( ) 3g x x= − 1 [ , ]( 0)x a a a∈ − > ( ) ( )2 1 2,x f x g x∈R  a 1 20 x x< < 1 1 2 2 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )3 3 x x x xf x f x e e e e− −− = + − + 1 2 1 2 2 1 1[( ) ( )]3 x x x xe e e e = − + − 1 2 1 2 1 2 2( )( 1)x x x x x x e e e e e e − −= 1 20 x x< < 1 2x xe e< 1 2 1x xe e > 1 2( ) ) 0(f x f x− < 1 2( ) ( )f x f x< ( )f x (0, )+∞ 1 [ , ]( 0)x a a a∈ − > ( ) ( )2 1 2,x R f x g x∈  max max( ) ( )f x g x≥ 25( ) 3g x x= − max 5( ) 3g x = 2 2( ) 3 x xe ef x −+= (0, )+∞ [ , ]x a a∈ − max 2 2( ) ( ) 3 a ae ef x f a −+= = 2 2 5 3 3 a ae e−+ ≥ 22 5 2 0a ae e− + ≥ ( 2)(2 1) 0a ae e− − ≥ 0a > 1ae > 2 1 0ae − > 2 0ae − ≥ ln 2a ≥ a [ln 2, )+∞