2020版高中数学 第一章 导数及其应用滚动训练二 新人教A版选修2-2

2020版高中数学 第一章 导数及其应用滚动训练二 新人教A版选修2-2

第一章 导数及其应用 滚动训练二(§1.3～§1.4)‎ 一、选择题 ‎1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)‎ A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 考点　函数极值的应用 题点　函数极值在函数图象上的应用 答案　C 解析　f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由题图易知有两个极大值点，两个极小值点．‎ ‎2．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B．a＝1‎ C．(－∞，1] D．(0,1)‎ 考点　利用导数求函数的单调区间 题点　已知函数单调性求参数(或其范围)‎ 答案　A 解析　∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，‎ ‎∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.‎ ‎3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．f(b)>f(c)>f(d)‎ B．f(b)>f(a)>f(e)‎ C．f(c)>f(b)>f(a)‎ D．f(c)>f(e)>f(d)‎ 8‎ 考点　利用导数研究函数的单调性 题点　比较函数值的大小 答案　C 解析　依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，‎ 因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，‎ 由于af(b)>f(a)．‎ ‎4．函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值时的x值为(　　)‎ A．0 B. C. D. 考点　利用导数求函数的最值 题点　利用导数求不含参数函数的最值 答案　B 解析　由f′(x)＝1－2sin x＝0，得sin x＝，‎ 又x∈，所以x＝，‎ 当x∈时，f′(x)>0；‎ 当x∈时，f′(x)<0，‎ 故当x＝时取得最大值．‎ ‎5．已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2处有极值，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A．(－∞，0) B．(0,2)‎ C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)‎ 考点　利用导数求函数的单调区间 题点　利用导数求含参数函数的单调区间 答案　B 解析　∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx，‎ ‎∴即 令f′(x)＝3x2－6x<0，则00，则函数的导数f′(x)＝1－＝，‎ 由f′(x)>0得x>或x<－，此时函数单调递增，‎ 由f′(x)<0得－0，‎ ‎∴φ(x)在(0,1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6，‎ ‎∴a≥－6.‎ 当x∈[－2,0)时，a≤，‎ ‎∴a≤min.‎ 仍设φ(x)＝，φ′(x)＝－.‎ 当x∈[－2，－1)时，φ′(x)<0，‎ 当x∈(－1,0)时，φ′(x)>0.‎ ‎∴当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值．‎ 而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.‎ 综上知－6≤a≤－2.‎ 二、填空题 ‎9．若函数f(x)＝x3＋x2＋m在区间[－2,1]上的最大值为，则m＝________.‎ 考点　导数在最值问题中的应用 题点　已知最值求参数 答案　2‎ 解析　f′(x)＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．‎ 8‎ 由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1.‎ 又f(0)＝m，f(－1)＝m＋，‎ f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，‎ ‎∴当x∈[－2,1]时，最大值为f(1)＝m＋，‎ ‎∴m＋＝，∴m＝2.‎ ‎10.已知函数f(x)的导函数f′(x)是二次函数，如图是f′(x)的大致图象，若f(x)的极大值与极小值的和等于，则f(0)的值为________．‎ 考点　利用导数研究函数的极值 题点　已知极值求参数 答案　 解析　∵其导函数的函数值应在(－∞，－2)上为正数，在(－2,2)上为负数，在(2，＋∞)上为正数，‎ 由导函数图象可知，函数在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴函数在x＝－2时取得极大值，在x＝2时取得极小值，且这两个极值点关于点(0，f(0))对称，‎ 由f(x)的极大值与极小值之和为，得f(－2)＋f(2)＝‎2f(0)，‎ ‎∴＝‎2f(0)，则f(0)的值为.‎ ‎11．已知函数f(x)＝xex＋c有两个零点，则c的取值范围是________．‎ 考点　函数极值的综合应用 题点　函数零点与方程的根 答案　 解析　∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x 8‎ ‎)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由题意得c－e－1<0，得c0，得1≤x<4，由y′<0，得40)．‎ ‎(1)求f(x)的最小值h(t)；‎ ‎(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．‎ 考点　利用导数求函数中参数的取值范围 题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，‎ ‎∴当x＝－t时，f(x)有最小值f(－t)＝h(t)＝－t3＋t－1.‎ ‎(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，‎ 由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(舍去)．‎ 当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：‎ t ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ g′(t)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ g(t)‎ ‎↗‎ ‎1－m ‎↘‎ 8‎ ‎∴当t∈(0,2)时，g(t)max＝g(1)＝1－m.‎ ‎∵h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，‎ ‎∴g(t)max＝1－m<0，∴m>1.‎ 故实数m的取值范围是(1，＋∞)．‎ 四、探究与拓展 ‎14．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 考点　利用导数求函数中参数的取值范围 题点　利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案　[e，＋∞)‎ 解析　f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.‎ 令g(x)＝2x2－2x2ln x，‎ 则g′(x)＝2x(1－2ln x)．‎ 由g′(x)＝0得x＝或0(舍去)，‎ 当00；‎ 当x>时，g′(x)<0，‎ ‎∴当x＝时，g(x)取最大值g()＝e，∴a≥e.‎ ‎15．已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝1时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；‎ ‎(2)讨论函数f(x)的极值；‎ ‎(3)求证：ln(n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N*)．‎ 考点　利用导数研究函数的单调性 题点　构造法的应用 ‎(1)解　当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋，‎ 所以f′(x)＝＋＝，‎ 所以f′(0)＝2，‎ 又f(0)＝0，‎ 所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.‎ 8‎ ‎(2)解　f′(x)＝＋ ‎＝(x>－1)．‎ 令x＋1＋a＝0，得x＝－a－1.‎ 若－a－1≤－1，即a≥0，‎ 则f′(x)>0恒成立，此时f(x)无极值．‎ 若－a－1>－1，即a<0，‎ 当－1－a－1时，f′(x)>0，‎ 此时f(x)在x＝－a－1处取得极小值，‎ 极小值为ln(－a)＋a＋1.‎ ‎(3)证明　当a＝－1时，由(2)知，f(x)min＝f(0)＝0，‎ 所以ln(x＋1)－≥0，即ln(x＋1)≥.‎ 令x＝(n∈N*)，‎ 则ln≥＝，‎ 所以ln≥.‎ 又因为－＝>0，‎ 所以>，‎ 所以ln>，‎ 所以ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋＋…＋，‎ 即ln(n＋1)>＋＋＋…＋.‎ 8‎