2018-2019学年宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“∀x＞0，x2＞0”的否定是（ ）‎ A．∀x＞0，x2＜0 B．∀x＞0，x2≤0 C．∃x0＞0，x2＜0 D．∃x0＞0，x2≤0‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题的否定形式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 命题“∀x＞0，x2＞0”的否定是“∃x0＞0，x2≤0”.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定形式，注意全称量词与特称量词的转换，属于基础题.‎ ‎2． 设i是虚数单位，复数，则z的共轭复数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先将复数z进行化简，然后求得共轭复数.‎ ‎【详解】‎ 解：∵，‎ ‎∴的共轭复数为：﹣1﹣i．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 考查了共轭复数的概念和运算，属于基础题.‎ ‎3．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出被积函数的原函数，分别代入积分上限和积分下限作差得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了定积分，解答的关键是求出被积函数的原函数，属于基础题．‎ ‎4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出，然后求得离心率即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，‎ 即 ‎ 所以离心率 ‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题.‎ ‎5．函数的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的定义域为，排除选项A；‎ 当时，，且 ，故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，排除选项C；‎ 当时，函数，排除选项D，选项B正确．选B．‎ 点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；‎ ‎(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．‎ ‎6．数学归纳法证明，过程中由到时，左边增加的代数式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果．‎ ‎【详解】‎ 当时，左边的代数式为，‎ 当时，左边的代数式为，‎ 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为：‎ ‎，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从到项的变化，属于中档题.‎ ‎7．函数在时有极值0，那么的值为　　‎ A．14 B．40 C．48 D．52‎ ‎【答案】B ‎【解析】，若在时有极值0，可得，解得a，b，并且验证即可得出．‎ ‎【详解】‎ 函数，，若在时有极值0，‎ 可得，‎ 则，解得：，或，，‎ 当，时，满足题意函数在时有极值0．‎ 当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8．若|z+3+4i|＝2，则|z|的最大值是（ ）‎ A．3 B．5 C．7 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据模长的几何意义，复数对应的点在圆上，转化为圆上的点与坐标原点的距离的最大值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎|z+3+4i|＝2表示复数对应的点在以为圆心 半径长为2的圆上，为圆上的点与坐标原点距离，‎ 其最大值为.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查复数模的几何意义，数形结合是解题的关键，属于基础题.‎ ‎9．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（　　）‎ A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 ‎【答案】C ‎【解析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合；‎ 若一名学生物理和历史都选，则有种组合；‎ 因此共有种组合.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.‎ ‎10．若点P是函数上任意一点，则点P到直线的最小距离为 ( )‎ A． B． C． D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线x﹣y﹣2=0的距离即为所求．‎ 详解：点P是曲线f（x）=x2﹣lnx上任意一点，‎ 当过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，‎ 点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小．‎ 直线x﹣y﹣2=0的斜率等于1，‎ 由f（x）=x2﹣lnx，得f′（x）=2x﹣=1，解得：x=1，或 x=﹣（舍去），‎ 故曲线f（x）=x2﹣lnx上和直线x﹣y﹣2=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），‎ 点（1，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离等于，‎ 故点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查函数的导数的求法及导数的几何意义，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎11．已知函数，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据微积分基本定理和定积分的几何意义，即可求解定积分的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的积分，以及定积分的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．‎ ‎12．《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）‎ A．288种 B．144种 C．720种 D．360种 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意分步进行分析：①用倍分法分析《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案 ‎【详解】‎ 根据题意分步进行分析：①将《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有 种顺序 ‎《将进酒》排在《望岳》的前面，‎ 这首诗词的排法有种 ‎②，这首诗词排好后，不含最后，有个空位，在个空位中任选个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有种安排方法 则后六场的排法有种 ‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查的是有关限制条件的排列数的问题，第一需要注意先把不相邻的元素找出来，将剩下的排好，这里需要注意定序问题除阶乘，第二需要将不相邻的两个元素进行插空，利用分步计数原理求得结果，注意特殊元素特殊对待。‎ 二、填空题 ‎13．若复数（为虚数单位），________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用复数的乘法运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎=7+i,‎ 则，‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的模的概念和复数的四则运算，属于基础题.‎ ‎14．已知函数的导函数为，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ,则 ，所以 .‎ ‎15．用0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为_____．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】组成四位偶数，对个数进行分类，分为个位数为，和个位数为两类，然后按排列数公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 本题需要分类来解，‎ 当末位是数字0时，可以组成A43＝24个，‎ 当末位不是0时，末位可以是2，4，有两种选法，‎ 首位有3种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，‎ 共有C21C31A32＝36种结果，‎ 根据分类计数原理知共有24+36＝60种结果.‎ 故答案为:60‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含条件的排列问题，合理分类是解题的关键，属于基础题.‎ ‎16．在平面几何中，若正方形的内切圆面积为外接圆面积为则，推广到立体几何中，若正方体的内切球体积为外接球体积为，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果。‎ ‎【详解】‎ 正方形的内切圆半径为 外接圆半径为，半径比，面积比为半径比的平方，类比正方正方体内切球半径为 外接球半径为，径比，所以体积比是半径比的立方=，填。‎ ‎【点睛】‎ 立体几何中一个常见的猜想类比为面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果。‎ 三、解答题 ‎17．求曲线，，所围成图形的面积．‎ ‎【答案】平面图形的面积 ‎【解析】【详解】‎ 分析：先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可；‎ 详解：由曲线，，可得的横坐标为1，由，可得的横坐标为3．‎ ‎∴所求面积为 ‎ 点睛：本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定积分区间与被积函数，属于中档题．‎ ‎18．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N)．‎ ‎(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；‎ ‎(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．‎ ‎【答案】(1) (2)详见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）通过n=1，2，3，4，直接计算a1，a2，a3，a4‎ ‎，并由此猜想通项公式 ‎(n∈N)；（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设证明 试题解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.‎ 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.‎ 当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝. ‎ 由此猜想 (n∈N)．‎ ‎ (2)证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1且k∈N)时，结论成立，即，‎ 那么n＝k＋1(k≥1且k∈N)时，‎ ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak ‎＝2＋ak－ak＋1.∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋＝.‎ ‎∴ak＋1＝，由①②可知，对n∈N，都成立．‎ ‎【考点】数学归纳法；数列递推式；归纳推理 ‎19．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ＝1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．‎ ‎（1）求直线l与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点M（0，1），直线l与曲线C交于不同的两点P，Q，求|MP|+|MQ|的值．‎ ‎【答案】（1）直线l的直角坐标方程为x+y＝1，曲线C的直角坐标方程为y2＝8x（2）‎ ‎【解析】（1）代入极坐标方程，即可求解；‎ ‎（2）把直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线C方程，由直线参数的几何意义，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ＝1，‎ 转换为：x+y＝1，‎ 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ，‎ 转换为：y2＝8x；‎ ‎（2）考虑直线方程x+y＝1，‎ 则其参数方程为（t为参数），‎ 代入曲线方程y2＝8x，‎ 得到：，‎ 则有：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的应用，属于基础题.‎ ‎20．现有5名男生和3名女生站成一排照相，‎ ‎（1）3名女生站在一起，有多少种不同的站法？‎ ‎（2）3名女生次序一定，但不一定相邻，有多少种不同的站法？‎ ‎（3）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻，有多少种不同的站法？‎ ‎（4）3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻，有多少种不同的站法？‎ ‎【答案】（1）4320种（2）6720种（3）2880种（4）8640种 ‎【解析】（1）3名女生站在一起，用捆绑法，即可求解；‎ ‎（2）3名女生次序一定按无序处理，用组合数计算，即可求解；‎ ‎（3）3名女生互不相邻，用插空法，再扣除头尾两个位置，即可求解；‎ ‎（4）对A，B，C三人是否相邻分类讨论，若相邻，先排这这3人然后捆绑与其它元素进行排列；若不相邻，A，B捆绑与C插空排列到5人男生中，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意，分2步分析：‎ ‎①，3名女生看成一个整体，考虑其顺序有A33＝6种情况，‎ ‎②，将这个整体与5名男生全排列，有A66＝720种情况，‎ 则3名女生排在一起的排法有6×720＝4320种；‎ ‎（2）根据题意，将5人排到8个位置，有A85种排法，‎ 由于3名女生次序一定，就一种排法，‎ 则其排法有种排法；‎ ‎（3）根据题意，分2步分析：‎ ‎①，将5名男生全排列，有A55＝120种情况，‎ ‎②，除去两端，有4个空位可选，在其中任选3个，‎ 安排3名女生，有A43＝24种情况，则3名女生不站在排头和排尾，‎ 也互不相邻的排法有120×24＝2880种；‎ ‎（4）根据题意，分2种情况分析：‎ ‎①，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，‎ 三人有A22＝2种排法，将3人看成一个整体，‎ 与5名男生全排列，有A66＝720种情况，‎ 则此时有2×720＝1440种排法；‎ ‎②，A、B、C三人不全相邻，先将5名男生全排列，‎ 有A55＝120种情况，将A、B看成一个整体，‎ 和C一起安排在5名男生形成的6个空位中，‎ 有120×A66×A62＝7200种，则3名女生中，A，B要相邻，‎ A，C不相邻的排法有1440+7200＝8640种排法．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含有限制条件的排列问题，涉及到相邻问题、不相邻、部分相邻部分不相邻、或某个位置限制，属于中档题.‎ ‎21．已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离心率是.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）过定点 ‎【解析】（1）由点M（﹣1，）在椭圆C上，且椭圆C的离心率是，列方程组求出a＝2，b，由此能求出椭圆C的标准方程．‎ ‎（2）设点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx+m，联立，得：（4k2+3）x2+8kmx+（4m2﹣12）＝0，利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件得直线PQ的方程过定点（1，0）；再验证直线PQ的斜率不存在时，同样推导出x0＝1，从而直线PQ过（1，0）．由此能求出直线PQ过定点（1，0）．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由点在椭圆上，且椭圆的离心率是，‎ 可得，‎ 可解得：‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设点的坐标分别为，‎ ‎（ⅰ）当直线斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得：，，‎ ‎（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 联立，消去得：，‎ 由，有，‎ 由韦达定理得：，，‎ 故，可得：，‎ 可得：，‎ 整理为：，‎ 故有，‎ 化简整理得：，解得：或，‎ 当时直线的方程为，即，过定点不合题意，‎ 当时直线的方程为，即，过定点，‎ 综上，由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程是否过定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．‎ ‎22．设函数 ‎（1）当a＝b＝1时，求函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程；‎ ‎（2）当b＝1时，若存在，使f（x1）≤f'（x2）+a成立，求实数a的最小值．‎ ‎【答案】（1）3x+4y﹣e2＝0（2）‎ ‎【解析】（1）求，即可求解；‎ ‎（2）存在，使f（x1）≤f'（x2）+a成立，转化为，通过配方法求出，对分类讨论，确定的单调性或求出的极小值，进而求出的最小值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当a＝b＝1时，f（x），，‎ ‎，f'（e2），‎ 故函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2＝0；‎ ‎（2）当b＝1时，f（x），‎ ‎，‎ 设，‎ 当x∈[e，e2]时，，g（x），‎ 故存在，使成立，‎ 只需x∈[e，e2]，即可，下面求f（x）的最小值，‎ 由于，‎ 当a时，f'（x）≤0，f（x）在[e，e2]递减，‎ ‎，得；‎ 当时，x∈[e，e2]，‎ 由于，‎ 若﹣a≥0，即f'（x）≥0，f（x）递增，‎ ‎，故不成立；‎ 若﹣a＜0，即0＜a，根据复合函数的单调性，‎ f'（x）在[e，e2]单调递增，存在唯一零点m∈（e，e2），‎ f'（m）＝0，使得f（x）在[e，m]，f'（x）＜0，f（x）递减；‎ f（x）在（m，e2]，f'（x）＞0，f（x）递增；‎ 故f（x），m∈（e，e2），‎ 若成立，即成立，‎ 设，x∈（e，e2），‎ 递减，‎ 所以，‎ 所以不成立；‎ 综上，，‎ 故a的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、切线，考查了存在性成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.‎