山东专用2021版高考数学一轮复习考案5第五章数列综合过关规范限时检测含解析

山东专用2021版高考数学一轮复习考案5第五章数列综合过关规范限时检测含解析

‎ [考案5]第五章　综合过关规范限时检测 ‎(时间：120分钟　满分150分)‎ 一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1．数列，－，，－，…的一个通项公式为(　D　)‎ A．an＝(－1)n· B．an＝(－1)n· C．an＝(－1)n＋1· D．an＝(－1)n＋1· ‎[解析]　该数列是分数形式，分子为奇数2n＋1，分母是指数2n，各项的符号由(－1)n＋1来确定，所以D选项正确．‎ ‎2．(2020·湖北八校联考)已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，将数列{an}中的整数项按原来的顺序组成新数列{bn}，则b2 019的末位数字为(　D　)‎ A．8　 B．2‎ C．3　 D．7‎ ‎[解析]　由an＝(n∈N*)，可得此数列为，，，，，，，，，，，，，…，整数项为，，，，，，…，所以数列{bn}的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，因为2 019＝4×504＋3，所以b2 019的末位数字为7.故选D.‎ ‎3．(2020·贵州贵阳监测)如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　C　)‎ A．14　 B．21‎ C．28　 D．35‎ ‎[解析]　由题意得‎3a4＝12，则a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝‎7a4＝28.故选C.‎ ‎4．(2020·山东潍坊期末)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝28，＝，则数列{an}的公比为(　B　)‎ A．2　 B．3‎ C．　 D． ‎[解析]　设数列{an}的公比为q，由题意知q≠1，因为＝28，＝，所以1＋qm＝28，qm＝，所以m＝3，q＝3.故选B.‎ ‎5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为(　B　)‎ A．6　 B．7‎ C．8　 D．13‎ ‎[解析]　根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝‎2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0.所以a7>0，a8<0，则Sn取最大值时n的值为7.故选B.‎ ‎6．(2020·江西南昌三中模拟)在等比数列{an}中，已知对任意的正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋m，则a＋a＋…＋a＝(　A　)‎ A．(4n－1)　　 B．2n－1‎ C.(2n－1)　　 D．4n－1‎ ‎[解析]　通解：设{an}的公比为q，∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋m对任意的正整数n均成立，∴a1＝2＋m，a2＝2，a3＝4.∵{an}是等比数列，∴m＝－1，a1＝1，q＝2，∴a＋a＋…＋a＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝＝(4n－1)．故选A．‎ 优解：∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋m，∴当n≥2时，an＝2n－1，又a1＝2＋m，满足上式，∴m＝－1，即等比数列{an}的首项为1，公比为2，∴an＝2n－1，∴a＋a＋…＋a＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝＝(4n－1)．故选A．‎ ‎7. (2020·河北六校第三次联考)“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光．”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述．假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A‎1A2，A‎2A3分别是以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的弧，曲线CA‎1A2A3称为螺旋线，再以A为圆心，AA3为半径画弧，……如此画下去，则所得弧CA1，A‎1A2，A‎2A3，…，A‎28A29，A‎29A30的总长度为(　A　)‎ A．310π　 B．π C．58π　 D．110π ‎[解析]　根据弧长公式知，弧CA1，A‎1A2，A‎2A3，…，An－2An－1，An－1An的长度分别为 π，2×π，3×π，…，(n－1)×π，n×π，该数列是首项为π，公差为π的等差数列，所以该数列的前n项和Sn＝n(n＋1)，所以所得弧CA1，A‎1A2，A‎2A3，…，A‎28A29，A‎29A30的总长度为S30＝×30×(30＋1)＝310π.故选A．‎ ‎8．(2020·河北衡水中学调研)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为(　B　)‎ A．3　 B．4‎ C．2－2　 D． ‎[解析]　由已知有a＝a‎1a13，所以有(a1＋2d)2＝a1(a1＋12d)，d＝2(d≠0)，数列{an}通项公式an＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sn＝＝n2，所以＝＝(n＋1)＋－2≥4，当且仅当n＋1＝，即n＝2时等号成立．故选B.‎ 二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)‎ ‎9．等比数列{an}的前三项和S3＝14，若a1，a2＋1，a3成等差数列，则公比q＝(　AD　)‎ A．2　　 B． C．3　　 D． ‎[解析]　由a1，a2＋1，a3成等差数列，‎ 得2(a2＋1)＝a1＋a3，即2(1＋a1q)＝a1＋a1q2，‎ 即a1(q2－2q＋1)＝2，①‎ 又S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝14，②‎ ‎①÷②得：＝，解得q＝2或q＝.‎ 另解：由2(a2＋1)＝a1＋a3，‎ 得‎3a2＋2＝a1＋a2＋a3＝S3＝14，解得a2＝4，‎ 则S3＝＋4＋4q＝14，解得q＝2或q＝.故选A、D.‎ ‎10．若数列{an}满足对任意n≥2(n∈N)都有(an－an－1－2)·(an－2an－1)＝0，则下面选项中正确的是(　ABD　)‎ A．{an}可以是等差数列 B．{an}可以是等比数列 C．{an}可以既是等差数列又是等比数列 D．{an}可以既不是等差数列又不是等比数列 ‎[解析]　因为(an－an－1－2)(an－2an－1)＝0，‎ 所以an－an－1－2＝0或an－2an－1＝0，‎ 即an－an－1＝2或an＝2an－1，‎ 当an≠0，an－1≠0时，{an}是等差数列或等比数列；‎ 当an＝0或an－1＝0时，{an}可以不是等差数列，也可以不是等比数列，比如数列，2,0,0,0，…….故选A、B、D.‎ ‎11．已知等比数列{xn}的公比为q，若恒有|xn|>|xn＋1|，且＝，则首项x1的取值范围可以是(　AC　)‎ A．(，1)　　 B．(0,1)‎ C．(0，)　　 D．(1,2)‎ ‎[解析]　由|xn|>|xn＋1|，得1>||＝|q|，故－1b2　　 B．a3b5　　 D．a6>b6‎ ‎[解析]　设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d，q，则由题设得解得，则a2－b2＝3－>3－＝0；故A正确．同理，其余都错，故选B、C、D.‎ 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．(2020·云南师大附中月考)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn＋1，则S4＝__85__.‎ ‎[解析]　an＋1＝3Sn＋1①，an＝3Sn－1＋1(n≥2)②，①－②得：an＋1＝4an(n≥2)，又a1＝1，a2＝‎3a1＋1＝4，∴{an}是首项为1，公比为4的等比数列，∴S4＝＝85.或S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋4＋16＋64＝85.‎ ‎14．(2020·福建莆田月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＋a11＝6，则S9＝__18__.‎ ‎[解析]　设等差数列{an}的公差为d.∵a1＋a3＋a11＝6，∴‎3a1＋12d＝6，即a1＋4d＝2，∴a5＝2，∴S9＝＝＝18.‎ ‎15．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝__2n－1__.‎ ‎[解析]　因为Sn＋1＝2Sn＋n＋1，‎ 当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n，‎ 两式相减得，an＋1＝2an＋1，‎ 所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即＝2.‎ 又S2＝2S1＋1＋1，a1＝S1＝1，‎ 所以a2＝3，所以＝2，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，‎ 所以an＝2n－1.故填2n－1.‎ ‎16．已知数列{an}满足a‎1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意的n∈N*都有＋＋…＋0，所以an－an－1＝2，即 数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ 所以an＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)知bn＝，‎ 则Tn＝1·＋3·()2＋5·()3＋…＋(2n－3)·()n－1＋(2n－1)·()n.‎ Tn＝1·()2＋3·()3＋5·()4＋…＋(2n－3)·()n＋(2n－1)·()n＋1，‎ 两式相减得Tn＝＋2[()2＋()3＋…＋()n]－(2n－1)()n＋1＝－·()n，‎ 所以Tn＝1－.‎ ‎(3)由≤λ(n＋4)－1得，‎ 则λ≥＝，‎ 因为n＋≥2＝4，‎ 所以当且仅当n＝2时，有最大值，即λ≥.‎