考点36 椭圆-2018版典型高考数学试题解读与变式

考点36 椭圆-2018版典型高考数学试题解读与变式

考点36　椭圆 ‎【考纲要求】‎ ‎（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；‎ ‎（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.；‎ ‎（3）了解椭圆的简单应用；‎ ‎（4）理解数形结合的思想．‎ ‎【命题规律】‎ 高考对椭圆的考查多以解答题的形式考查，也有少数年份在客观题中进行考查．以选择题、填空题的形式考查椭圆的定义、焦点坐标、离心率、标准方程等问题；以解答题的形式考查椭圆的性质、直线与椭圆的关系、与其它知识交汇（如平面向量），涉及到最值问题、定值（定点）问题、几何量的取值范围问题，以及存在型探索性问题．‎ 预计2018年高考对椭圆的命题有以下特点：（1）以选择题或填空题考查椭圆的定义和性质，难度中等；（2）以解答题形式重点考查椭圆的综合问题，多与直线结合进行命题，难度较大．‎ ‎【典型高考试题变式】‎ ‎（一）椭圆的标准方程 ‎【例1】【2016天津卷】设椭圆的右焦点为,右顶点为.已知，其中为原点，为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）略．‎ ‎【答案】.‎ ‎【方法技巧归纳】根据条件求椭圆方程常用的主要方法有：‎ ‎（1）定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义；‎ ‎（2）待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的标准方程为，再用待定系数法求出的值即可.‎ ‎【变式1】【变换条件求椭圆方程】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点，，则椭圆的标准方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由离心率不妨设，则椭圆方程为： ，与直线，联立可得，且，由弦长公式，解得，据此可得椭圆方程为．‎ ‎【变式2】【变为利用点差法求椭圆标准方程】已知椭圆 的右焦点为，过点的直线交于两点．若的中点坐标为，则的方程为（　　　）‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ，直线的斜率 ， ‎ ‎，两式相减得，即 ，∴,即 ， ，解得： ，方程是，故选D．‎ ‎（二）椭圆的定义的应用 ‎【例2】【2014全国大纲卷】已知椭圆：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则的方程为（　　　）【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】A ‎【方法技巧归纳】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当在椭圆上时，与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求 ‎，通过整体代入可求其面积等．‎ ‎【变式1】【由利用定义根据周期求方程变为利用椭圆定义求周长】过椭圆的左焦点作直线交椭圆于两点，是椭圆右焦点，则的周长为（　　　）‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】 A ‎【解析】（1）因为椭圆为，所以椭圆的半长轴，由椭圆的定义可得，且， 的周长为，故选A．‎ ‎【变式2】【变周长问题为面积问题】若椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（　　）‎ A．36　　　　B．‎16　‎　　　C．20　　　　D．24‎ ‎【答案】B ‎【解析】设则,即,又,故选B．‎ ‎（三）椭圆的几何性质 ‎【例3】【2017全国新课标3卷】已知椭圆：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（　　　）‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ‎，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A．‎ ‎【方法技巧归纳】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法：（1）求出，代入公式；（2）根据条件得到关于的齐次式，结合转化为关于的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得的值或取值范围．‎ ‎【变式1】【变题圆的位置与大小】设分别是椭圆的左、右焦点,与直线相切的交椭圆于点,且点恰好是直线与的切点,则椭圆的离心率为(　　　)‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】（1）依题意，直线与相切,所以的半径为, 所以,由椭圆的定义有 ,根据点E为直线与相切的切点,所以 ,由勾股定理有 ,而 ,化简有 ,所以,故椭圆离心率，故选C．‎ ‎【变式2】【变直线与圆相切为三角形外接圆】椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（　　　）‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，且的外接圆的方程为，将分别代入可得，由可得，即，所以，即，则所以，故选A．‎ ‎（四）直线与椭圆的位置关系 ‎【例4】【2017全国新课标Ⅰ卷】已知椭圆： ，四点，，，中恰有三点在椭圆上．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P‎2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．‎ ‎【答案】（1）．（2）见解析。‎ ‎【解析】（1）由于， 两点关于y轴对称，故由题设知C经过， 两点．‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上．‎ 因此，解得，故C的方程为．‎ ‎（2）设直线P‎2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，‎ 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，‎ 可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）．‎ 则，得，不符合题设．‎ 从而可设l： （）．将代入得 由题设可知．全品教学网 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．‎ 而．‎ 由题设，故．‎ 即，解得．‎ 当且仅当时， ，欲使l： ，即，‎ 所以l过定点．‎ ‎【方法技巧归纳】（1）解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题．‎ ‎（2）设直线与椭圆的交点坐标为，则＝（为直线斜率)．‎ ‎（3）直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法：‎ 涉及问题 处理方法 弦长 根与系数的关系、弦长公式 ‎(直线与椭圆有两交点)‎ 中点弦或弦的中点 点差法(结果要检验)‎ ‎【变式1】【第（2）问变定点问题为定值问题】已知中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率为的椭圆C过点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设不过坐标原点O的直线与椭圆C交于P,Q两点，若,证明：点O到直线的距离为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，点O到直线的距离为定值．‎ ‎【解析】（1）由题意可设椭圆方程为 又，解得，所以椭圆方程为．‎ ‎（2）当直线的斜率都存在时，设直线的方程为，则 得，解得 ‎，．‎ 设点到直线的距离为，在中，‎ 由得 ‎，所以点O到直线的距离为，当直线之一的斜率不存在时，另一个的斜率一定为0，此时P,Q分别为椭圆的长轴和短轴的端点，点O到直线的距离为．‎ 综上可知，当时，点O到直线的距离为定值．‎ ‎【变式2】【第（1）问变为求离心率；第（2）问变为求最值问题】已知椭圆 ‎ ‎（）的两个顶点分别为， ，点为椭圆上异于的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若，设直线与轴交于点，与椭圆交于两点，求的面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1） ，整理得，‎ 又， ，所以，‎ ‎ ． ‎ ‎（2）由（Ⅰ）知，又，所以椭圆C的方程为.‎ 设直线 的方程为： 代入椭圆的方程有： ，‎ 设，‎ ‎，‎ 令，则有，‎ 代入上式有，‎ 当且仅当即时等号成立，所以的面积的最大值为．‎ ‎【数学思想】‎ ‎1．函数思想的渗透 由于椭圆问题中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量，它们之间往往构成函数关系，从而可用函数的思想方法来解决，如求距离、面积、角度的最值及取值范围等．‎ ‎2．方程思想的渗透 求椭圆的标准方程一般结合待定系数法，通过建立方程(组)来解决；判断直线与椭圆的位置关系和求相关参数的值常常须建立关于参数的方程来解决；解决直线与椭圆的位置关系问题往往须转化为二次方程来解决．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎3．分类讨论思想的渗透 若题中的涉及到椭圆曲线类型或点、直线、曲线的相互间的位置变化不明确时，常常需要进行分类讨论解答．‎ ‎4．转化与化归思想 转化与化归思想在椭圆问题的解决中可谓无处不在，特别是利用定义转化焦半径、平面几何知识的转化，往往能使问题得到快速的解决．‎ ‎【处理集合问题注意点】‎ ‎1．椭圆的定义中易忽视这一条件；‎ ‎2．易忽略椭圆的标准方程中的条件；‎ ‎3．求解椭圆方程方程中含有参数问题时，或根据条件无法确定焦点的位置时，注意不要忽视焦点的位置，常常要通过分类讨论进行解答；‎ ‎4．求解与椭圆相关的最值或几何量的取值范围时，如果建立的函数的自变量是椭圆点的坐标，此时易忽视椭圆方程中未知数的取值范围．‎ ‎5．解答直线与椭圆位置关系综合题时，一般要注意直线与椭圆的位置关系的限制条件，直线的斜率是否存在的讨论，也可能存在考虑问题不全面或不进行严密的推导而导致错误．‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1．【2017届陕西黄陵中学高三下二模】已知椭圆的标准方程，则椭圆的焦点坐标为（　　　）‎ A．，　　　B．，‎ C．，　　　　　　D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知，且焦点在轴上，则，所以椭圆的焦点坐标为，，故选C．‎ ‎2．【2017河南息县第一高级中学次阶段测试二】已知圆（为坐标原点）经过椭圆的短轴端点和两个焦点，则椭圆的标准方程为（　　　）‎ A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题设可得，故，故选B．‎ ‎3．【2017届安徽省淮北市高三上学期摸底】椭圆的右焦点到直线的距离是（　　　）【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】椭圆的一个焦点为，所求距离为．故选B．‎ ‎4．【湖南省株洲市2017届高三一模】已知椭圆，为左焦点，为右顶点, ,分别为上、下顶点，若、、、四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为(　　　)‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题设圆的半径，则，即，∴，解之得，故选B．‎ ‎5．【广东省韶关市2017届高三4月高考模拟】　在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点,在轴上,离心率为,点为椭圆上一点,且的周长为12,那么的方程为(　　　)‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题设可得．又椭圆的定义可得，即，所以，则椭圆方程为，故选D．‎ ‎6．【2018福建省闽侯第六中学第一次月考】已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（　　　）【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ A．1　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由椭圆定义，得，所以当线段长度达最小值时， 有最大值．当垂直于轴时，，所以的最大值为，所以，即，故选D．‎ ‎7．【2017安徽省合肥市教学质量检测二】已知椭圆的左，右焦点为，离心率为．是椭圆上一点，满足，点在线段上，且 ‎．若，则（　　　）‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】C ‎8．【2017湖南省考前演练卷（三）】中心为原点的椭圆焦点在轴上，为该椭圆右顶点，为椭圆上一点，，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　　）‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设椭圆标准方程为，设，点在以为直径的圆上，圆的方程，化简为，可得。则所双可得，故选B．‎ ‎9．【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟】　已知椭圆： 的左焦点为，若点关于直线的对称点在椭圆上， 则椭圆的离心率为（　　　）‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】椭圆左焦点坐标为，它关于直线的对称点为，据此可得，整理可得：，结合 整理可得： ，即： ，椭圆的离心率 ，则．故选D．‎ ‎10．【2017辽宁省沈阳市东北育才学校九模】椭圆的左右焦点分别为，弦过，若的内切圆周长为， 两点的坐标分别为，则值为（　　　）‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由椭圆方程知： 则；根据椭圆定义得：；所以若的内切圆周长为，则内切圆半径为则面积为又面积为＝＝，所以，则，故选A．‎ ‎11．【福建省泉州市2017届高三（5月）第二次质量检查】　已知椭圆的左顶点、上顶点，右焦点分别为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由椭圆方程知， ，所以．‎ ‎12．【河南省师范大学附属中学2018届高三8月开学考试】椭圆： 的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设为右焦点,则，，，因此椭圆的离心率为．‎ ‎13．【2017届广西南宁市高三上学期期末】定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆的焦距为，焦点三角形的周长为，则椭圆的方程是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设椭圆的半焦距为，由题意得，，解得，所以，故椭圆的方程是．‎ ‎14．【山西省运城市2017届高三4月模拟调研】已知是椭圆，的左焦点， 为右顶点，是椭圆上的一点，轴，若，则该椭圆的离心率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据椭圆几何性质可知，，所以，即 ‎，由因为，所以有，整理可得，两边同除以得：，所以，由于，所以．‎ ‎15．【2017届河南省郑州市高三上学期月考】某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：‎ ‎①题目：“在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，过点作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于，，…”‎ ‎②解：“设的斜率为，…点，，…”据此，请你写出直线的斜率为_________．（用表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为直线斜率之积为,所以的斜率为,由已知,,所以把换成,可得点,则直线的斜率为．‎ ‎16．【安徽省合肥市2018届高三调研性检】已知椭圆经过点，左焦点为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】（1）由椭圆的定义得： ．‎ 又，故，∴椭圆的方程为： ．‎ ‎（2）过的直线方程为， ，‎ 联立 ，‎ 设，则，‎ ‎∴的面积．‎ ‎17．【江西省新余市2017届高三高考全真模拟】　如图 ，已知椭圆 的左右顶点分别是,离心率为,设 点,连接交椭圆于点 ，坐标原点是.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值 ．‎ ‎【答案】（1）见答案；（2）‎ ‎【解析】(1) 由已知易得: 椭圆方程为,‎ 设直线的方程为,由，‎ 整理得，‎ 解得： ，则点的坐标是，‎ 故直线的斜率为，‎ 由于故直线的斜率为，所以. ‎ ‎18．【河南省名校联盟2018届高三第一次段考】椭圆（）的上下左右四个顶点分别为， ， ， ，轴正半轴上的某点满足， ．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程以及点的坐标；‎ ‎（2）过点作倾斜角为锐角的直线交椭圆于点，过点作直线交椭圆于点， ，且，是否存在这样的直线， 使得， ， ‎ 的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）椭圆标准方程为，点坐标为；（2）．‎ ‎【解析】（1）设点的坐标为（），易知，，‎ ‎， ．‎ 因此椭圆标准方程为， 点坐标为．‎ ‎（2）设直线的斜率为，，，，则 ‎：，：‎ ‎、的面积相等，则点， 到直线的距离相等．‎ 所以，解之得或（舍）．‎ 当时，直线的方程可化为： ，代入椭圆方程并整理得：‎ ‎，所以所以；‎ 所以的面积为．‎ 当时，直线的方程可化为： ，代入椭圆方程并整理得：‎ ‎，解之得或（舍）‎ 所以的面积为．所以，满足题意．‎ ‎19．【江西省赣州市2017届高三第二次模拟】如图，椭圆 的离心率为，顶点为，且．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为， 的斜率为，试问是否为定值？并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）因为，所以，‎ 由题意及图可得，‎ 所以 又，所以，所以，所以 所以椭圆的方程为： ‎ ‎（2）证明：由题意可知， ， ， ‎ 因为的斜率为，所以直线的方程为 ‎ 由得 其中，所以，所以 则直线的方程为（）‎ 令，则，即【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 直线的方程为，‎ 由，解得，所以 所以的斜率 所以（定值）‎ ‎20．【2017届黑龙江省哈尔滨市高三二模】椭圆的左、右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点， 内切圆面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别交直线于两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）定点和．‎ ‎【解析】（1）已知椭圆的离心率为，不妨设， ，即，其中，‎ 又内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，‎ 由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，‎ 因此， ，解得，‎ 则椭圆的方程为．‎ 假设为直径的圆是否恒过定点，‎ 则， ，‎ ‎，‎ 即，‎ 即，‎ ‎，‎ 即，若为直径的圆是否恒过定点，‎ 即不论为何值时， 恒成立，因此，，或，‎ 即恒过定点和．‎ ‎ ‎