2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：27
（山东省烟台市 2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）
12.已知动点 P 在椭圆 上,若点 A 的坐标为(3,0),点 M 满足 ,则
的最小值是
A. 4 B. C. 15 D. 16
【答案】B
【解析】
设 P(x,y),A(3,0)为焦点，所以 = ，而焦半径 ，所以 ，
选 B.
【点睛】切线长的平方=半径平方+点到圆心距离平方，同时焦半径范围 ，是
解本题的关键。
20.设椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ， 为圆 的圆心．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过椭圆右焦点 的直线 交椭圆于 ， 两点，过 且与 垂直的直线 与圆 交于 ，
两点，求四边形 面积的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意求得 a，b的值即可确定椭圆方程；
（Ⅱ）分类讨论，设直线 l 代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，根据点到
直线的距离公式可求出|CD|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可
得到所求范围
试题解析：
（1）由题意知 ，则 ，
圆 的标准方程为 ，从而椭圆的左焦点为 ，即 ，
所以 ，又 ，得 ．
所以椭圆的方程为： .
（2）可知椭圆右焦点 ．
（ⅰ）当 l与 x轴垂直时，此时 不存在，直线 l： ，直线 ，
可得： ， ，四边形 面积为 12.
（ⅱ）当 l与 x轴平行时，此时 ，直线 ，直线 ，
可得： ， ，四边形 面积为 .
（iii）当 l与 x轴不垂直时，设 l的方程为 ，并设 ， .
由 得 .
显然 ，且 ， .
所以 .
过 且与 l垂直的直线 ，则圆心到 的距离为 ，
所以 .
故四边形 面积： .
可得当 l与 x轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为(12, ).
综上，四边形 面积的取值范围为 ．
（湖北省 2019届高三 1月联考测试数学（理）试题）
20.已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，过 且垂直于 轴的直线 交
椭圆 于 、 两点，若 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，且分别交直线 和直线 于 、 两点，试求
的值.
【答案】（1） （2） 为定值
【解析】
【分析】
（1）由通径公式得出 ，结合已知条件得出 ，再由 c＝1，可求出 a、b的值，
从而得出椭圆的方程；
（2）设切点为（x0，y0），从而可写出切线 m的方程为 ，进而求出点 M、N的坐
标，将切点坐标代入椭圆方程得出 x0与 y0之间的关系，最后利用两点间的距离公式可求出
答案．
【详解】（1）由题得 解得
∴椭圆 的方程为
（2）设切点为 则
令 得 即
令 得 即
∴ 为定值
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查计算能力与推理能力，属于中等题．
（山东省潍坊市 2019届高三上学期期末测试数学（文科）试题）
19.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，椭圆 的长轴长与焦距之比
为 ，过 且斜率不为 的直线 与 交于 ， 两点.
（1）当 的斜率为 时，求 的面积；
（2）若在 轴上存在一点 ，使 是以 为顶点的等腰三角形，求直线 的方程.
【答案】（1）12（2）
【解析】
【分析】
(1)结合椭圆的基本性质,分别计算 a,b,c的值，代入直线方程，即可。（2）代入直线方程，
结合等腰三角形底边和高相互垂直，建立等式，计算 k，得到直线 l的方程，即可。
【详解】解：（1）依题意，因 ，又 ，得 ，
所以椭圆 的方程为 ，
设 、 ，当 时，直线 ：
将直线与椭圆方程联立 ，
消去 得， ，解得 ， ， ，
所以 .
（2）设直线 的斜率为 ，由题意可知 ，
由 ，消去 得， ，
恒成立， ，线段 的中点 ，
则 ， ，
若 是以 为顶点的等腰三角形，则 ，得 ，
整理得： .故直线 的方程为 .
【点睛】本道题考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆的基本性质，难度偏难。
（山东省潍坊市 2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）
19.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，椭圆 的长轴长与焦距之比
为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点.
（1）当 的斜率为 时，求 的面积；
（2）当线段 的垂直平分线在 轴上的截距最小时，求直线 的方程.
【答案】（1）12（2）
【解析】
【分析】
（1）结合椭圆性质，得到椭圆方程，联解直线与椭圆方程，结合 ，
计算面积，即可。（2）设出直线 l的方程，代入椭圆方程，利用 ，建立关于 k，
m的式子，计算最值，即可。
【详解】解：（1）依题意，因 ，又 ，得 ，
所以椭圆 的方程为 ，
设 、 ，当 时，直线 ：
将直线与椭圆方程联立 ，
消去 得， ，解得 ， ， ，
所以 .
（2）设直线 的斜率为 ，由题意可知 ，
由 ，消去 得 ，
恒成立， ，
设线段 的中点，
设线段的中点 ，
则 ， ，
设线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，则 ，得 .
，
整理得： ， ，等号成立时 .
故当截距 最小为 时， ，此时直线 的方程为 .
【点睛】本道题注意考查了直线与椭圆位置关系等综合性问题，难度较大。
（山东省德州市 2019届高三期末联考数学（理科）试题）
19.已知椭圆 ，点 在椭圆 上，椭圆 的离心率是 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设点 为椭圆长轴的左端点， 为椭圆上异于椭圆 长轴端点的两点，记直线 斜
率分别为 ，若 ，请判断直线 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过
定点，请说明理由.
【答案】（1） （2）过定点
【解析】
【分析】
（1）由点 M（﹣1， ）在椭圆 C 上，且椭圆 C 的离心率是 ，列方程组求出 a＝2，b ，
由此能求出椭圆 C 的标准方程．
（2）设点 P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的
方程为 y＝kx+m，联立 ，得：（4k2
+3）x2
+8kmx+（4m2
﹣12）＝0，利用根的判别式、
韦达定理，结合已知条件得直线 PQ 的方程过定点（1，0）；再验证直线 PQ 的斜率不存在时，
同样推导出 x0＝1，从而直线 PQ 过（1，0）．由此能求出直线 PQ 过定点（1，0）．
【详解】（1）由点 在椭圆 上，且椭圆 的离心率是 ，
可得 ，
可解得：
故椭圆 的标准方程为 .
（2）设点 的坐标分别为 ，
（ⅰ）当直线 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得： ， ，
（ⅱ）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得： ，
由 ，有 ，
由韦达定理得： ， ，
故 ，可得： ，
可得： ，
整理为： ，
故有 ，
化简整理得： ，解得： 或 ，
当 时直线 的方程为 ，即 ，过定点 不合题意，
当 时直线 的方程为 ，即 ，过定点 ，
综上，由（ⅰ）（ⅱ）知，直线 过定点 .
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程是否过定点的判断与求法，考查椭圆、直
线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
（四川省绵阳市 2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）
16.已知椭圆 C： 的右焦点为 F，点 A（一 2，2)为椭圆 C 内一点。若椭圆 C
上存在一点 P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则 m的最大值是___．
【答案】25
【解析】
【分析】
设椭圆的左焦点为 F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得 2 ＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2 ﹣|PF|，
可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2 ，运用三点共线取得最值，解不等式可得 m的范围，再由点在椭圆
内部，可得所求范围．
【详解】椭圆 C： 的右焦点 F（2，0），
左焦点为 F'（﹣2，0），
由椭圆的定义可得 2 ＝|PF|+|PF'|，
即|PF'|＝2 ﹣|PF|，
可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2 ，
由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝2，
可得﹣2≤8﹣2 ≤2，
解得 ，所以 ,①
又 A 在椭圆内，
所以 ,所以 8m-16
<3, ∴ ,
∴
故选：A.
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，离心率范围，明确 P在短轴端点处 的面积最大
是关键.
（河南省部分省示范性高中 2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考试题）
11.已知椭圆 ，设过点 的直线 与椭圆 交于不同的 ， 两点，且 为钝
角（其中 为坐标原点），则直线 斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设直线 ，代入 ，得 ，
利用韦达定理表示 ，结合 即可得到直线 斜率的取值范围.
【详解】设直线 ，代入 ，得 ，
因为直线 与椭圆交于不同的 ， 两点，
所以 ，解得 且 .
设 ， ，则 ， ，
，
因为 为钝角，所以 ，
解得 ， .
综上所述： .
故选：B
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及直线的斜率，考查运算求解能力.
（河北省唐山市 2019届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）
11.已知 , 为椭圆 的左右焦点，过原点 且倾斜角为 30°的直线
与椭圆 的一个交点为 ，若 , ，则椭圆 的方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，过原点 且倾斜角为 的直线 与椭圆 的一个交点为 ，可知 ，
求得 ,代入椭圆的方程，再由 和 ，即可求解 的值，得到椭
圆的方程.
【详解】由题意，过原点 且倾斜角为 的直线 与椭圆 的一个交点为 ，
且 ，且 ，则可知 ，
设 ，则 ，即 ,
代入椭圆的方程可得
又由 ，则 ，解答 ，且 ，
解得 ，所以椭圆的方程为 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中根据题设条件，
设出点 A的坐标，代入椭圆的方程，以合理运用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查
了推理与运算能力.
（河南省九师联盟 2019届高三 2月质量检测数学文试题）
11.设椭圆 ： 的一个焦点为 ，点 为椭圆 内一点，若椭圆 上
存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设椭圆的左焦点为 ，则 即 ，
又椭圆 E上存在一点 P使得 ，∴ ，
即 ，∵ ，
∴ ，即 ，解得 ．∵ ，∴ ．
本题选择 C选项.
（安徽省江南十校 2019届高三 3月综合素质检测数学（文）试题）
15.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 、 ，以 为圆心作半经为 1的圆 ， 为
椭圆 上一点， 为圆 上一点，则 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，将问题转化为求解 的最值问题，通过三角形三边关系可知
，可得最大值和最小值.
【详解】由椭圆方程可知：
由椭圆定义得：
又 且
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用椭圆定义求解最值问题，关键在于能够通过定义将问题转化为三角形
三边关系，确定当 三点共线的时候取得最值.
（陕西省咸阳市 2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）
13.椭圆 的焦距为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用椭圆的方程求出 ， ，然后求出 ，即可得结果.
【详解】因为椭圆： ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆的焦距为 2，
故答案为：2.
【点睛】该题考查的是有关椭圆的焦距的求解问题，涉及到的知识点有已知椭圆的方程求
，椭圆中 三者之间的关系，属于简单题目.
（安徽省合肥市 2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
7.已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶点为 ，以线
段 为直径的圆交线段 的延长线于点 ，若 ，则该椭圆离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由点 在以线段 为直径的圆上，可知 ，再由 ，可得 ，且
是等腰直角三角形，结合 ，所以 ，可求出离心率。
【详解】因为点 在以线段 为 直径的圆上，所以 ，
又因为 ，所以 ，又因为 ，所以 是等腰直角三角形，
因为 ，所以 ， ，
所以该椭圆的离心率 ．
【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了离心率的求法，考查了学生的计算求解能力，属
于基础题。
（安徽省合肥市 2019届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）
16.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点，且
，若 关于 平分线的对称点在椭圆 上，则该椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义与几何性质判断 为正三角形，且 轴，设 ，可得
，从而可得结果.
【详解】
因为 关于 的对称点 在椭圆 上，
则 ， ，
为正三角形， ，
又 ，
所以 轴，
设 ，则 ，
即 ，故答案为 .
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中
是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造
的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019届高三第二次联考数学（文）试题）
21.如图，C、D 是离心率为 的椭圆的左、右顶点， 、 是该椭圆的左、右焦点， A、B 是
直线 4 上两个动点，连接 AD 和 BD，它们分别与椭圆交于点 E、F 两点，且线段 EF 恰好
过椭圆的左焦点 . 当 时，点 E恰为线段 AD 的中点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：以 AB 为直径的圆始终与直线 EF 相切．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意可得 ，结合 可求出 ，进而可求得椭圆的方程；（Ⅱ）设 EF
的方程为： ，E（ ）、F（ ），与椭圆联立，运用韦达定理得 ， ，
又设 ，由三点共线得 ， ，求出 中点 坐标 ，求出点 M 到直线 EF 的距
离 ，进而证得结果.
【详解】（Ⅰ）∵当 时，点 E 恰为线段 AD 的中点，
∴ ，又 ，联立解得： ， ， ，
∴椭圆的方程为 .
（Ⅱ）设 EF 的方程为： ，E（ ）、F（ ），
联立得：
∴ ，
∴ ……（*）
又设 ，由 A、E、D 三点共线得 ，同理可得 .
，
∴
.
设 AB 中点为 M，则 M坐标为（ ）即（ ），
∴点 M到直线 EF 的距离 .
故以 AB 为直径的圆始终与直线 EF 相切.
【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的运用，考查
了学生的计算能力，计算量较大，“设而不求，整体代换”的思想，直线与圆相切即圆心到
直线的距离等于圆的半径，有一定难度.
（四川省成都市实验外国语学校 2019届高三二诊模拟考试理科数学）
20.已知椭圆 : 的左右焦点分别是 ，抛物线 与椭圆 有相
同的焦点，点 为抛物线与椭圆 在第一象限的交点，且满足
（1）求椭圆 的方程；
（2）与抛物线相切于第一象限的直线 ，与椭圆交于 两点，与 轴交于点 ，线段 的
垂直平分线与 轴交于点 ，求直线 斜率的最小值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
(1)首先可以通过抛物线 与椭圆 有相同的焦点得出椭圆 的焦点坐标，然后通过
列出等式 并解出 的值，最后带入抛物线方程中即可得出结果；
(2)首先可以设出切点坐标并写出切线方程，然后将切线方程与椭圆方程联立，设 两点
坐标为 并根据切线方程与椭圆交于 两点并求出 的值，然
后根据 的值写出 的中点坐标以及 的垂直平分线方程，最后写出 并得出
结果。
【详解】(1)因为抛物线 与椭圆 有相同的焦点，
所以椭圆 的焦点 ， ，
设点 P的坐标为 则 ，解得 （舍去），
将 点坐标代入抛物线方程式可得 ，又 ，
联立可解得 ，所以椭圆的方程为 ；
(2)设与抛物线相切的切点坐标为 ，则 ，
整理得直线 ，与椭圆方程联立可得 ，
设 ，所以 ， 的中点坐标为 ，
所以 的垂直平分线方程为 ，
即 ，
因为 所以 ，最小值为 。
【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了椭圆的相关性质、抛物线的相关性质、
两点间距离公式、抛物线与直线的相关性质，考查了推理能力与计算能力，考查了化归与转
化思想，体现了综合性，提高了学生对于圆锥曲线综合的理解，是难题。
（陕西省 2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
20.已知 、 为椭圆 （ ）的左右焦点，点 为其上一点，且
.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 交椭圆 于 、 两点，且原点 在以线段 为直径的圆的外部，试求
的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得 a、b，进而得椭圆的标准方程。
（2）设出 A、B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出 ，代入
得到关于 k的不等式，解不等式即可得 k的取值范围。
【详解】解：（1）由题可知 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为： .
（2）设 ， 由 ，得
，
由韦达定理得： ， ，
由 得 或 .
又因为原点 在线段 为直径的圆外部，则 ，
，
即 ，
综上所述：实数 的取值范围为
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，属于中档题。
（江西省红色七校 2019届高三第二次联考数学（理）试题）
20.已知椭圆 的离心率 ，且椭圆过点 .
（I）求椭圆 的标准方程；
（II）已知点 为椭圆 的下顶点， 为椭圆 上与 不重合的两点，若直线 与直线 的
斜率之和为 ，试判断是否存在定点 ，使得直线 恒过点 ，若存在，求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2) 存在定点 ，使得直线 恒过点
【解析】
试题分析：（1）第（1）问，直接根据已知条件得到关于 a,b 的一个方程组，再解方程组即
可. (2)第（2）问，对直线 的斜率分两种情况讨论.每一种情况都要先根据已知条件求直
线 DE 的方程，再判断其方程是否过定点.
试题解析：
（1）因为椭圆 的离心率 ，
所以 ，即 ，
因为椭圆 与圆 的 4 个交点恰为一个正方形的 4 个顶点，
所以直线 与圆 的一个交点 在椭圆 上，所以 ，
由 解得 ，所以椭圆 的标准方程为 .
（2）由（1）知 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
代入 得， ，
所以 ，即 .
设 ，则 ，
因为直线 与直线 的斜率之和为 ，所以
，
整理得 ，所以直线 的方程为 ，
显然直线 经过定点 .
当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ，
因为直线 与直线 的斜率之和为 ，设 ，则 ，
所以 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，显然直线 经过定点 .
综上，存在定点 ，使得直线 恒过点 .
点睛：本题的关键是计算，先要把直线 DE 的方程和椭圆的方程联立，得到比较复杂的韦达
定理，再把韦达定理代入 = ，化简得到 ,计算量比较大，如果计算出错，
则结果出错.所以我们在计算时要认真细心.
（广东省汕尾市 2019届高三普通高中 3月教学质量检测理科数学试题）
19.已知 P（0，2）是椭圆 的一个顶点，C的离心率 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点 P的两条直线 l1，l2分别与 C相交于不同于点 P的 A，B两点，若 l1与 l2的斜率
之和为-4，则直线 AB是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 ，解得 a= ，b=2，c= ，即可求出，
（2）当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+t，根据韦达定理和斜率公式，即
可求出 y=kx-k-2=k（x-1）-2，可得直线过定点，
当直线 AB 的斜率不存在时，设直线 AB 的方程为 x=m，易求出直线 AB 经过定点，定点为（1，
-2）
【详解】（1） 由题意可得 ，
解得 a= ，b=2，c= ，
∴椭圆的方程为 + =1，
（2）当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），联立
，消去 y 并整理，可得
（3k2+2）x2+6ktx+3t2-12=0，
∴△=36（kt）2-4×（3k2+2）（3t2-12）=0＞0，即 6k2+4-t2＞0，
则 x1+x2=- ，x1x2= ，
由 l1与 l2的斜率之和为-4，可得 + =-4，
又 y1=kx1+t，y2=kx2+t，
∴ + =- + =2k+ =2k+ =-4，
化简可得 t=-k-2，
∴y=kx-k-2=k（x-1）-2，
∴直线 AB 经过定点（1，-2），
当直线 AB 的斜率不存在时，设直线 AB 的方程为 x=m，A（m，y1），B（m，y2），
+ = ，
又 y1，y2互为反函数，
∴y1+y2=0，
故 x=1，也过点（1，-2），
综上直线 AB 经过定点，定点为（1，-2）
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查根的判断式、韦达定理、斜率公式，考查运算求解
能力，考查函数与方程思想，是中档题．
（广西南宁市、玉林市、贵港市等 2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）
20.设椭圆 ，右顶点是 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆交于两点 ( 不同于点 )，若 ，求证:直线 过定点，并
求出定点坐标.
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（1）由椭圆右顶点的坐标为 A（2，0），离心率 ，可得 a，c 的值，由此可得椭圆 C 的
方程；（2）当直线 斜率不存在时，设 ，易得 ，当直线 斜率存在时，直
线 ，与椭圆方程 联立，得 ，
由 可得 ，从而得证.
【详解】（1）右顶点是 ，离心率为 ，
所以 ，∴ ，则 ，
∴椭圆的标准方程为 .
（2）当直线 斜率不存在时，设 ，
与椭圆方程 联立得： ， ，
设直线 与 轴交于点 ， ，即 ，
∴ 或 (舍），
∴直线 过定点 ；
当直线 斜率存在时，设直线 斜率为 ， ，则直线 ，
与椭圆方程 联立，得 ，
， ， ，
，
，则 ，
即 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴直线 或 ，
∴直线过定点 或 舍去；
综上知直线过定点 .
【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数
无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
（山东省泰安市 2019届 3月高三第一轮复习质量检测数学文科试题）
20.已知椭圆 的离心率 ，且经过点 ．
求椭圆 C的方程；
过点 且不与 x轴重合的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 ， ，过右
焦点 F的直线 AF，BF 分别交椭圆 C 于点 M、N，设 ， 的取值
范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
由题意可得 ，解得 ， ，即可求出椭圆方程，
设直线 l的斜率为 k， ， ， ，则 ， ，
分两种情况，求出直线 AG 的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得
范围，即可得答案．
【详解】解： 由题意可得 ，解得 ， ，
则椭圆方程为 ，
设直线 l的斜率为 k， ， ， ，
则 ， ，
由题意可知，直线 l的斜率存在且不为 0，
由 ，可得 ，
则 ，
当 AM 与 x 轴不垂直时，直线 AM 的方程为 ，即 ，
代入曲线 C的方程又 ，整理可得 ，
，
，
当 AM 与 x 轴垂直时，A 点横坐标为 ， ，显然 也成立，
，同理可得 ，
设直线 l 的方程为 ， ，联立 ，
消去 y整理得 ，
由 ，解得 ，
又 ，
，
即 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键依据向量关系找出坐
标之间的关系.
（晋冀鲁豫名校 2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）
20.已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，则在 轴上是否存在一个
定点 使得直线 的斜率互为相反数？若存在，求出定点 的坐标；若不存在，也请说
明理由．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）据题意，得 ，求解方程组确定 a,b的值即可求得椭圆方程；
（2）据题设知点 ，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．与椭圆
方程联立，结合韦达定理有 ． 假设存在点 M满足题意，则
，结合韦达定理求解实数 m的值即可；然后讨论斜率不存在的情况即可确定
定点 M存在.
【详解】（1）据题意，得
解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）据题设知点 ，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．
由 ，得 ．
设 ，则 ．
设 ，则直线 的斜率分别满足 ．
又因为直线 的斜率互为相反数，
所以 ，
所以 ，所以
，
所以 ，
所以 ，所以 ．
若 对任意 恒成立，则 ，
当直线 的斜率 不存在时，若 ，则点 满足直线 的斜率互为相反数．
综上，在 轴上存在一个定点 ，使得直线 的斜率互为相反数．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、
弦长、斜率、三角形的面积等问题．
（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体 2019届高三第
一次联考数学（理）试题）
20.已知椭圆 的右焦点 ， ， ， 是椭圆上任意三点， ， 关于
原点对称且满足 .
（1）求椭圆 的方程.
（2）若斜率为 的直线与圆： 相切，与椭圆 相交于不同的两点 、 ，求
时，求 的取值范围.
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（1）由题意设出 ， ， 的坐标，代入椭圆方程作差可得 a 与 b 的关系，结合右焦点坐标
解得 a，b 即可.
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及根与系数的关系将 用 k 与 m 表
示，再利用直线与圆相切得到 k，m 的关系，代入表达式，得到关于 k 的不等式，解得 k 的
范围即可．
【详解】（1）由题可设 ， ， ，
所以 两式相减得 ，
.即 ，
所以 ，又 ， ，所以 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设直线方程为 ，交椭圆于点 ， .
联立方程
，得 ，
， .
所以
= ，
因为直线 与圆 相切，所以 ，
即 ，代入 ，得 .
所以
因为 ，所以 ，
化简得 ，或 （舍）.
所以 或 ，
故 k 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，弦长公式，涉及直线与圆相切的充要条件、
一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
（西安市 2019届高三年级第一次质量检测文科数学）
20.已知椭圆 ： 的短轴长为 ，离心率为 ，过右焦点 的直线 与椭
圆 交于不同两点 ， .线段 的垂直平分线交 轴于点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（1）由题意可知：2b＝2 ， ，则 a＝2c，代入 a2
＝b2
+c2
，求得 a，即可求得椭圆 C 的
标准方程；
（2）分类讨论，设直线 MN 的方程为 y＝k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段 MN 的
垂直平分线方程，令 x＝0，得 ，利用基本不等式，即可求 的取值范
围，再考虑斜率不存在的情况，取并集得到 的取值范围．
【详解】（1）由题意可得： ， ，又 ，
联立解得 ， ， .
∴椭圆 的方程为 .
（2）当斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，中点 ，
把 代入椭圆方程，得到方程 ，
则 ， ， ， ，
所以 的中垂线的方程为 ，令 ，得 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，
当斜率不存在时，显然 ，
当 时， 的中垂线为 轴.
综上， 的取值范围是 .
【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基
本不等式的运用，确定线段 MN 的垂直平分线方程是关键，属于中档题．
（山东省泰安市 2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）
20.已知椭圆 的离心率为 ，抛物线 的准线被椭圆 截得
的线段长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，点 分别是椭圆 的左顶点、左焦点直线 与椭圆 交于不同的两点
（ 都在 轴上方）．且 ．证明：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1） ；（2）直线 过定点
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得 1，a2
＝2b2
，求解即可.
（2）设直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式将条件转化，即可
求 k，m 的关系式，代入直线方程即可求出定点.
【详解】（1）由题意可知，抛物线 的准线方程为 ，又椭圆 被准线截得弦长为 ，
∴点 在椭圆上，∴ ，① 又 ，∴ ，
∴ ，②，由①②联立，解得 ，∴椭圆 的标准方程为： ，
（2）设直线 ，设 ，
把直线 代入椭圆方程，整理可得 ，
，即 ，
∴ ， ，
∵ ，∵ 都在 轴上方．且 ，∴ ，
∴ ，即 ，
整理可得 ，∴ ，
即 ，整理可得 ，
∴直线 为 ，∴直线 过定点 .
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公
式的应用，考查计算能力，属于中档题．
（山东省菏泽市 2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）
20.已知点 为坐标原点，椭圆 的左右焦点分别为 ， ，
且过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线交椭圆 于 两点，若 ，求直线 的方程.
【答案】（1） （2） 或
【解析】
【分析】
(1)由已知条件找到 a,b,c的等量关系进行计算即可得椭圆的标准方程；（2）设出直线 的
方程并与椭圆方程联立，由韦达定理化简 ，即可得到直线方程.
【详解】（1）因为 ，所以 ，解得： ①
因为椭圆 过点 ，
所以 ，即 ②
又 ③
由①②③，解得： ， ， ，
所以椭圆 的标准方程为
（2）由（1）知， ，故点 的坐标为 ，显然直线 的斜率存在，设为 ，
则直线 的方程为 ，设点
联立 ，消去 得： ，
所以 ，
所以 （★）
且 ， ，
因为 ， ，
若 ，则 ，
所以
所以 ，
所以
所以
所以
所以
所以 ，所以 ，解得：
因为 都满足（★）式，所以直线 的方程为 或
即直线 的方程为 或
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系和韦达定理的应用，考查
学生的计算能力.
（河南省濮阳市 2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）
20.已知椭圆 C： 的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆 C 的
长轴长为直径的圆与直线 相切．
1 求椭圆 C 的标准方程；
2 设过椭圆右焦点且不重合于 x轴的动直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点，探究在 x 轴上是否
存在定点 E，使得 为定值？若存在，试求出定值和点 E 的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1） ；（2）定点为 .
【解析】
分析：（1）根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆 的长轴为直径的圆与直线
相切，结合性质 ，列出关于 、 、 的方程组，求出 、 、 ，
即 可 得 结 果 ； (2) 设 直 线 联 立 ， 得
. 假设 轴上存在定点 ，由韦达定理，
利用平面向量数量积公式可得 ，要使 为定值，
则 的值与 无关，所以 ，从而可得结果.
详解：（1）由题意知， ，解得
则椭圆 的方程是
（2）①当直线的斜率存在时，设直线
联立 ，得
所以
假设 轴上存在定点 ，使得 为定值。
所以
要使 为定值，则 的值与 无关，
所以
解得 ，
此时 为定值，定点为
②当直线的斜率不存在时， ， 也成立
所以，综上所述，在 轴上存在定点 ，使得 为定值
点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上
问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊
位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过
程中消去变量，从而得到定值.
（河北省沧州市 2019年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）
20.如图，菱形 的面积为 ，斜率为 的直线 交 轴于点 ，且 ，
以线段 为长轴， 为短轴的椭圆与直线 相交于 两点（ 与 在 轴同侧）.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证： 与 的交点在定直线 上.
【答案】（1） （2）见证明
【解析】
【分析】
（1）由题意得到关于 a,b的方程组，求解方程组可得 ，据此确定椭圆方程即可；
（2）易得 ，设直线 与椭圆 联立可得
，求得直线 的方程和 的方程，联立方程确定交点坐标
即可证得题中的结论.
【详解】（1）设
解得
椭圆方程为
（2）易得 ，设直线 与椭圆 联立，得
由 得 ，设 ，
直线 的方程为 ①
直线 的方程为 x ②
联立①②消去 ，得
从而命题得证
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、
弦长、斜率、三角形的面积等问题．
（广东省深圳市 2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）
19.在平面直角坐标系 中， 椭圆 的中心在坐标原点 ，其右焦点为 ，且点 在
椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为 、 、 是椭圆上异于 ， 的任意一点，直线 交椭圆
于另一点 ，直线 交直线 于 点， 求证： ， ， 三点在同一条直线上．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）（法一）由题意，求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求得 ，进而求得 的值，
即可得到椭圆的标准方程；
（法二）设椭圆 的方程为 （ ），列出方程组，求得 的值，得到椭圆
的标准方程。
（2）设 ， ，直线 的方程为 ，联立方程组，利用根与系数的关
系和向量的运算，即可证得三点共线。
【详解】（1）（法一）设椭圆 的方程为 ，
∵一个焦点坐标为 ，∴另一个焦点坐标为 ，
∴由椭圆定义可知 ，
∴ ，∴ ，∴椭圆 的方程为 .
（法二）不妨设椭圆 的方程为 （ ），
∵一个焦点坐标为 ，∴ ，①
又∵点 在椭圆 上，∴ ，②
联立方程①，②，解得 ， ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ，直线 的方程为 ，
由方程组 消去 ，并整理得： ，
∵ ，∴ ， ，
∵直线 的方程可表示为 ，
将此方程与直线 联立，可求得点 的坐标为 ，
∴ ，
∵
，所以 ，
又向量 和 有公共点 ，故 ， ， 三点在同一条直线上.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,
解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根
与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的
考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
（广东省揭阳市 2019届高三一模数学（文科）试题）
20.已知椭圆 : ，直线 （ ）与椭圆 交于不同的两点 、 .
（1）若 ，求 的值；
（2）试求 （其中 O 为坐标原点）的最大值.
【答案】（1） ； （2）1 .
【解析】
【分析】
（1）联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式以及韦达定理求弦长，解方程得结果，（2）
先代入坐标化简 ，再利用韦达定理代入化简得关于 的函数关系式，最后根据
基本不等式求最值.
【详解】（1）由 消去 y 并整理得 ，
∵直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，
∴ ，即 ，
设 ，则 ，
即 ，解得 .
（2）∵
又
∴
∵ ，
∴ = ，
即 的最大值为 1.（当且仅当 时，取得最大值）
【点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问
题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或
者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
（广东省韶关市 2019届高三 1月调研考试数学理试题）
19.已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，椭圆的一个顶点为 ，右焦点 到直线
的距离为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若过 作两条互相垂直的直线 ，且 交椭圆 于 、 两点， 交椭圆 于 、 两点，
求四边形 的面积的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
(1)由题意布列关于 a，b的方程组，解之即可；
(2)讨论直线的斜率，联立方程利用韦达定理表示弦长，进而得到四边形 的面积，借助
对勾函数的图像与性质即可得到结果.
【详解】（1）依题意，设椭圆 的方程为：
则 ，
设 ，由右焦点 到直线 的距离为 ，可得 ，
解得 或 （舍去）.
所以， .
故椭圆 的方程为： .
（2）①当直线 的斜率不存在时，此时 的斜率为 0，此时 ，
，则四边形 的面积 .
②当直线 的斜率为 0，此时 的斜率不存在，同理可得四边形 的面积 .
③当直线 的斜率 存在，且斜率 时， ，则 ，将直线的方
程代入椭圆方程 中，并化简整理得 ，
可知 ，
设 、 ，则有
则
同理可得
则 的面积 .
令 ，则
，
令 ，则有 ，则 .
综上， .
【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显
体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体
现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决
最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的
取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基
本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
（广东省江门市 2019届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题）
19.已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上，
，椭圆的离心率 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）、是椭圆上另外两点，若△ 的重心是坐标原点 ，试证明△ 的面积为定值．（参
考公式：若坐标原点 是△ 的重心，则 ）
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题意得到 ， 得， ，进而得到方程；（2）设出直线 AB的方程，联立直
线 和 椭 圆 方 程 ， 求 得 弦 长 AB ， 再 由 点 到 直 线 的 距 离 得 到
，根据点 P在曲线上得到参数 k和 m的等量关系，
得证.
【详解】（1）依题意， ， ，
由 得， ， ，
椭圆 的标准方程为 .
（2）△ 最多只有 1条边所在直线与 轴垂直，不妨设 所在直线与 轴不垂直，其方程
为 （因为△ 的重心是 ，所以 不在直线 上， ）
由 得， ,
设 、 ，则 ，且
，
从而 ,
设 ，由 得， ,
,
点 在椭圆 上，所以
即 ，且符合 .
点 到直线 的距离 ,
△ 的面积 ,
由 即 得， 为常数 .
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程
是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，
最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之
一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作
用．
（江西省上饶市重点中学 2019届高三六校第一次联考数学（文）试卷）
20.已知椭圆 的短轴长等于 ，右焦点 距 最远处的距离为 3．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，过 的直线与 交于 两点（ 不在 轴上），若 ,
求四边形 面积 的最大值．
【答案】（1） ；（2）1
【解析】
【分析】
（1）由已知得 ，即可得椭圆方程.
（2）由题意设 ，与椭圆方程联立得 ， ，代入
化简求最值即可.
【详解】（1）由已知得 ， ，
（2）因为过 的直线与 交于 两点（ 不在 轴上），
所以设 ，
设
则
，
，由对勾函数的单调性易得当 即
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程和四边形的面积的最值问题，转化为两个三角形的面
积最值是关键，属于中档题.
（广东省广州市天河区 2019届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）
19.已知抛物线 的焦点 F与椭圆 C： 的一个焦点重合，且点 F关
于直线 的对称点在椭圆上．
求椭圆 C的标准方程；
过点 且斜率为 k的动直线 l交椭圆于 A、B两点，在 y轴上是否存在定点 M，使
以 AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出 M点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在 满足题意.
【解析】
【分析】
由抛物线方程求出抛物线 的焦点 ，求出点 F关于直线 的对称点，结合已
知条件求出椭圆的长轴长，则 可求，再由 的关系转化求解椭圆的标准方程；
假设存在定点 ，使以 为直径的圆恒过恒过这个点，求出 垂直于两坐标轴时以 为
直径的圆的方程，联立方程组解得定点坐标，然后利用向量数量积证明一般结论。
【详解】 由抛物线的焦点可得：抛物线 的焦点 ，
点 F关于直线 的对称点为 ，
故 ， ，
因此 ，
椭圆方程为： ．
假设存在定点 ，使以 为直径的圆恒过这个点．
当 轴时，以 AB为直径的圆的方程为：
当 轴时，以 AB为直径的圆的方程为：
联立①②得， ， 定点 ．
证明：设直线 l： ，代入 ，
有 ．
设 ， ，
， ．
则 ， ；
，
在 轴上存在定点 ，使以 为直径的圆恒过这个定点．
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线
联立，根据方程的根与系数的关系求解是处理这类问题的最为常用的方法，训练了向量垂直
与数量积间的关系，是高考试卷中的压轴题。
（湖南省长沙市长郡中学 2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）
20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 且椭圆上存在一点
，满足 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 分别是椭圆 的左、右顶点，过 的直线交椭圆 于 两点，记直线 的交
点为 ，是否存在一条定直线 ，使点 恒在直线 上?
【答案】（1） （2）存在，点 在定直线 上
【解析】
【分析】
（1）对三角形 应用余弦定理即可求得 ，结合椭圆定义求得 ，问题得解。
（2）设 ， ， ，利用 及 列方程，整理得：
，由 整理得： ，从而表示出
，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得： ，
代入上式得： ，解得： ，问题得解.
【详解】（1）设 ，则 内，
由余弦定理得 ，
化简得 ，解得 ，
故 ，
∴ ，得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）已知 ， ，设 ， ， ，
由 ，①
，②
两式相除得 .
又 ，
故 ，
故 ，③
设 的方程为 ，代入 整理，
得 ， 恒成立.
把 代入③，
得 ，
得到 ，故点 在定直线 上.
【点睛】本题主要考查了余弦定理及椭圆的定义、简单性质，还考查了两点斜率公式及转化
思想，还考查了韦达定理及方程思想，考查计算能力，属于中档题。
（江西省重点中学盟校 2019届高三第一次联考数学（理）试题）
20.已知椭圆 的离心率为 ，焦点分别为 ，点 是椭圆 上的点，
面积的最大值是 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 上的点， 是坐标原点，若
判定四边形 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意得到 的方程组，求出 的值，即可得出椭圆方程；
（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，易求出四边形 的面积；当直线 的斜率存在时，设直
线 方程是 ，联立直线与椭圆方程，结合判别式和韦达定理，可表示出弦长 ，
再求出点 到直线 的距离，根据 和点 在曲线 上，求出 的关系式，
最后根据 ，即可得出结果.
【详解】解：（Ⅰ）由 解得 得椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 或 ，此时四边形 的面积
为 ．
当直线 的斜率存在时，设直线 方程是 ，联立椭圆方程
，
点 到直线 的距离是
由 得
因为点 在曲线 上，所以有 整理得
由题意四边形 为平行四边形，所以四边形 的面积为
由 得 , 故四边形 的面积是定值，其定值为 ．
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，通常需要联立直线与椭圆
方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，计算量较大，属于常考题型.
（福建省龙岩市 2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）
20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线与椭圆 交于
两点， 的周长为 8，直线 被椭圆 截得的线段长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆上两动点，线段 的中点为 ， 的斜率分别为 （ 为坐标原点），
且 ，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)结合椭圆定义和 的周长为 8 求出 的值，再利用直线 被椭圆 截得的线段长为
求出 的值，即可得到椭圆的方程
(2)讨论当 的斜率不存在时和当 的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程，结合
求解 的取值范围
【详解】（1）根据题意 ， .
把 代入椭圆方程 得， ，
因为直线 被椭圆 截得的线段长为 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ，由 ，得 ，
当 的斜率不存在时， ， ， ，又 ，
，这时 .
当 的斜率存在时，设直线 ，由得 ：
，
由 得 ①
， ，结合 得
②
由①②知 且 ， ， ，
综上 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了求椭圆方程和线段取值范围问题，在求范围时需要进行讨论直线斜率存
在和不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程求解，有一定的计算要求。
（河北省衡水中学 2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）
20.已知椭圆 : 过点 和点 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程;
（Ⅱ）设直线 与椭圆 相交于不同的两点 , ,是否存在实数 ,使得 ?若存
在,求出实数 ;若不存在,请说明理由.
【答案】（1） （2）不存在
【解析】
试题分析： 由已知求得 ，把点的坐标代入椭圆方程求得 的值，进而得到椭圆 的方程；
假设存在实数 满足题设，联立直线方程与椭圆方程，由判别式大于 求得 的范围，再
由根与系数的关系求得 的中点 的坐标，进一步求得 ，结合 ，可得 ，
由斜率的关系列式求得 的值，检验即可得到结论
解析：（Ⅰ）椭圆 : 过点 和点 ,
所以 ,由 ,解得 ,
所以椭圆 : ;
（Ⅱ）假设存在实数 满足题设,
由 ,得 ,
因为直线与椭圆有两个交点,
所以 ,即 ,
设 的中点为 , 分别为点 的横坐标,则 ,
从而 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,而 ,
所以 ,即 ,与 矛盾,
因此,不存在这样的实数 ,使得 .
点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，在解题过程中设直线方程，联立直线与椭圆方程，
利用中点坐标求出中点坐标，利用垂直列出方程来求解参量的值，本题的关键在于运用垂直
求解，较为基础。
（湖南省长沙市雅礼中学 2019届高三上学期月考（五）数学（文）试题）
20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 短轴两个端点为 且四边形
是边长为 的正方形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 ．证
明： 为定值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）求椭圆标准方程，关键是求出 ，为此要列出关于 的两个等式，由椭圆
的性质及，四边形 是边长为 2的正方形，知 ；（2）本小题采用解析几何的
基本方法，设 ，写出直线 方程，再代入椭圆方程求得 点坐标 ，然后直接计
算 ，可得定值．
试题解析：（1） ， ，∴ ，
∴椭圆方程为 ．
（2） ， ，设 ， ，
则 ， ，
直线 ，即 ，
代入椭圆 得 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ （定值）
考点：椭圆的标准方程，椭圆的综合应用．
【名师点晴】1．确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件（即确定焦点的位置）
和两个定形条件（即确定 a，b的大小）．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为＋
＝1 （a>b>0）或＋＝1 （a>b>0），或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为 mx2＋ny2
＝1 （m>0，n>0，且 m≠n）．
2．解析几何中的定值问题，可根据已知条件设出一个参数，用这个参数表示出相应点的坐
标，直线斜率、直线方程或曲线方程等等，再求出结论，如本题求出 ，它的最终结
果与参数无关，是定值．
（湖南师范大学附属中学 2019届高三上学期月考（四）数学（理）试题）
20.已知点 是椭圆 的右焦点，点 ， 分别是 轴， 轴上的动点，
且满足 .若点 满足 （ 为坐标原点）．
（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）设过点 任作一直线与点 的轨迹交于 ， 两点，直线 ， 与直线 分别交于
点 ， ，试判断以线段 为直径的圆是否经过点 ？请说明理由．
【答案】（1） （2）经过
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由椭圆的方程，得到右焦点 的坐标，根据向量的数量积的运算公式，求得
和 ，代入即可求解抛物线的标准方程；
（Ⅱ）解法一：设直线 的方程为 ，得到 ， ，联立方程组，求得 ，利用向
量的数量积的运算 ，即可得到证明；
解法二：①当 时，利用向量的数量积得到 ；②当 不垂直 轴时，设直线
的方程为 ，联立方程组，求解 ，进而证得 ，即可得到证
明.
【详解】（Ⅰ）∵椭圆 右焦点 的坐标为 ，
∴ .∵ ，
∴由 ，得 .
设点 的坐标为 ，由 ，有 ，
，代入 ，得 .
即点 的轨迹 的方程为 .
（Ⅱ）解法一：设直线 的方程为 ， ， ，
则 ： ， ： .
由 得 ，同理得 .
∴ ， ，则 .
由 得 ，∴ .
则 .
因此，以线段 为直径的圆经过点 .
解法二：①当 时， ， ，则 ： ， ： .
由 ，得点 的坐标为 ，则 ，
由 ，得点 的坐标为 ，则 .
∴ .
②当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ， ， ，
同解法一，得 .
由 ，得 ，∴ .
则 .
因此，以线段 为直径的圆经过点 .
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和抛物线的标准方程、以及直线与圆锥曲线的位置关
系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用
一元二次方程根与系数的关系，合理应用韦达定理求解，此类问题易错点是复杂式子的变形
能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问
题解决问题的能力等.
（吉林省长春实验高中 2019届 高三第五次月考 数学（文）试题）
20.已知椭圆 M： （a＞b＞0）的一个焦点 F 与抛物线 N：y
2
＝4x 的焦点重合，且 M
经过点（1， ）．
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）已知斜率大于 0 且过点 F 的直线 l 与椭圆 M 及抛物线 N 自上而下分别交于 A，B，C，D，
如图所示，若|AC|＝8，求|AB|－|CD|．
【答案】(1) .（2） .
【解析】
试题分析：(1)由题可得 ，解得 ， ，可得椭圆 的方程.
（2）设直线 的方程为 ，与抛物线联立得 ，
由 ， ，解得 .将 代入 ，得 .
可得 ， 得解.
试题解析：(1)易知 的坐标为 ，所以 ，
所以 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，代入 ，得 ，
设 ， ，则 ，
因为 ， ，所以 .
将 代入 ，得 .
设 ， ，则 ,
所以 ，
故 .
（辽宁省丹东市 2018年高三模拟（二）理科数学试题）
20.已知 为椭圆 ： 长轴上的一个动点，过点 的直线 与 交于 ， 两点，点 在
第一象限，且 ．
（1）若点 为 的下顶点，求点 的坐标；
（2）若 为坐标原点，当△ 的面积最大时，求点 的坐标．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
分析：（1）易知 ，由 可得点 的纵坐标为 ，从而得 ，进而得直线
方程 ，令 即可得解；
（2）由题意可设 ， ： ，与 联立，可得
，设 ， ， 的面积 ，利用韦达
定理求解即可.
详解：（1）易知 ，由 可得点 的纵坐标为 ．
由点 在上 ，得 的横坐标为 ．从而 方程为 ，令 得 ，点 的坐标为
．
（2）由题意可设 ， ： ，与 联立，可得
， ．
设 ， ，则 ．由 得 ，所以 ，
．
因为 ，所以 ，得 ．
△ 的面积 ，当且仅当 时等
号成立，此时 ，满足 ．
因为 ，所以 ，故点 的坐标为 ．
点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再
求这个函数的最值．常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
（福建省龙岩市 2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）
20.已知椭圆 ，点 和 都在椭圆 上，其中 为椭圆 的离心率.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过原点的直线 与椭圆 交于 两点，且在直线 上存在点 ，
使得 是以 为直角顶点的直角三角形，求实数 的取值范围
【答案】（1） 或 ； （2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）将点 代入椭圆方程，并结合 ，可以求出 ，然后将点 代入椭圆方程
即可求出 ，即可得到答案；（2）将直线 与椭圆联立，可以得到 两点的坐标关
系，设 ，则 ，由题意 ，即 ，从而可以建立等式关
系： ，可以整理为关于 的一元二次方程，令 即可求出 的取值范围。
【详解】（1）由题设知 ， .由点 在椭圆上，得 .
解得 ，
又点 在椭圆上， .
即 ，解得 .
所以椭圆的方程是 .
（2）设 、 ，
由 得
， ， ，
设 ，则
依题意 ，得
即
有解
化简得 ， 或
【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合问题，涉及椭圆方程的求法，椭圆的离心率，一元二
次方程根的特点，直角三角形的几何关系的利用，属于难题。
（福建省泉州市 2019届高三 1月单科质检数学理试题）
20.已知 中， ， ， ，点 在 上，且 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）若 ，过 的直线与 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，记 ， ， 的斜
率分别为 ， ， ，求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）结合题意，证明到 ，发现轨迹是椭圆，结合椭圆性质，即可。（2）设出直
线 MN 的方程，代入椭圆方程，设出 M，N 坐标，利用坐标，计算 ，代入
，即可。
【详解】（1）如图三角形 中， ，所以 ，
所以 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴为 4 的椭圆（不包含实轴的端点），
所以点 的轨迹 的方程为 .
注：答轨迹为椭圆，但方程错，给 3 分；不答轨迹，直接写出正确方程，得 4 分（ 未
写出，这次不另外扣分）.
（2）如图，设 ， ，可设直线 方程为 ，则 ，
由 可得 ，
， ，
， ，
，
， ，
因为
，
所以 为定值.
【点睛】本道题考查了椭圆的性质和直线与椭圆位置关系，难度较大。
（福建省厦门市 2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）
20.已知圆 ： ，点 ，动点 在 上，线段 的垂直平分线与直线 相
交于点 ， 的轨迹是曲线 .
（1）求 Q 的方程；
（2）已知过点 的直线 与 交于 两点， 是 与 轴正半轴的交点，设直线 的
斜率分别为 ，证明： 为定值.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
【分析】
（1）依题意，利用椭圆的定义，即可得点 的轨迹为以 为焦点， 为长轴长的椭圆，进而
可求解椭圆的标准方程；
（2）设直线 ，联立方程组，根据根与系数的关系求得 和 ，再根据
，代入化简，即可得到 为定值.
【详解】（1）依题意， ，则 ，
所以 的轨迹为以 为焦点， 为长轴长的椭圆，
所以 ， ， ，
所以点 的轨迹方程为 .
（2）依题意得直线 的斜率存在，设直线 ： ，即 ，
设 ， ，
联立 ，
消去 得 ，
所以 ， ， ，
因为 是 与 轴正半轴的交点，所以 ，
所以
所以 为定值，且定值为 .
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解
答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与
系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能
较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
（福建省厦门市 2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）
20.在平面直角坐标系中，点 ， 是平面内一点，直线 的斜率之积为 .
（1）求点 的轨迹方程；
（2）设点 的轨迹为曲线 ，过点 的直线 与 相交于 两点，以线段 为直径的圆
过点 ，求直线 的方程．
【答案】（1） （ ） （2） 或
【解析】
【分析】
（1）设 ，根据斜率公式，利用 ，化简即可求得点 P的轨迹方程；
（2）解法一：设直线 的方程为 ，联立方程组，利用二次方程的根于系数的关系以
及 ，化简求得 ，即可求得直线的方程；
解法二：①当直线 的斜率不存在时， 的方程为 ，不符合题意，舍去；②当直线 的斜
率存在时，设 的方程为 ，联立方程组，利用二次方程的根于系数的关系以及
，化简求得 的值，即可求得直线的方程；
【详解】（1）设 ，因为直线 的斜率 ，
的斜率 （ ）
由已知得 （ ），
化简得点 的轨迹方程为 （ ）.
（2）解法一：设直线 的方程为 ， ， ，
由 得 ，
， ，
因为以线段 为直径的圆过点 ，所以 ，
得 ，
又因为 ， ，得 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 或
解法二：①当直线 的斜率不存在时， 的方程为 ，
不妨设 ， ， ，故舍去.
②当直线 的斜率存在时，设 的方程为 （ ）， ， ，
由 得 ，
， ，
因为以线段 为直径的圆过点 ，所以 ，
得 ，
又因为 ， ，
得 ，
所以 ，
解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 或
综上，直线 的方程为 或 .
【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中
熟记轨迹方程的求法，以及用直线的方程和曲线的方程，联立方程组，合理利用二次方程中
根与系数的关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
（广东省揭阳市 2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）
20.已知椭圆 : 的上顶点为 A,以 A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与 y
轴的交点分别为 、 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设不经过点 A 的直线 与椭圆 交于 P、Q 两点，且 ,试探究直线 是否过定点？
若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.
【答案】（1） （2）直线 过定点
【解析】
【分析】
（1）根据圆 的圆心和半径写出圆的标准方程，令 求得圆与 轴交点的坐标，由此列方
程组求得 的值，进而求得椭圆的标准方程.（1）根据 ，利用点斜式设出直线
的方程，并分别代入椭圆方程解出 两点的坐标，由此求得直线 的方程，由此求得定点的
坐标为 .
【详解】解：（1）依题意知点 A 的坐标为 ，则以点 A 圆心，以 为半径的圆的方程为:
，
令 得 ，由圆 A 与 y 轴的交点分别为 、
可得 ，解得 ，
故所求椭圆 的方程为 .
（2）由 得 ，可知 PA 的斜率存在且不为 0，
设直线 -① 则 -②
将①代入椭圆方程并整理得 ，可得 ，
则 ，
类似地可得 ，
由直线方程的两点式可得：直线 的方程为 ，
即直线 过定点，该定点的坐标为 .
【点睛】本小题主要考查圆的标准方程和几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线
方程的两点式以及直线过定点的问题.属于中档题.要求直线和椭圆的交点坐标，需要联立直
线和椭圆的方程，解方程组求得，这里需要较强的运算能力.直线过定点的问题，往往是将
含有参数的部分合并，由此求得直线所过的定点.
（广东省揭阳市 2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）
20.设椭圆 的右顶点为 A，下顶点为 B，过 A、O、B（O为坐标原点）三点
的圆的圆心坐标为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点 M 在 x 轴正半轴上，过点 B 作 BM 的垂线与椭圆交于另一点 N，若∠BMN=60°，
求点 M的坐标．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据直径所对圆周角为直角可知 为直径，根据圆心坐标求得 的值进而求得椭圆的
方程.（2）由（1）求得 点的坐标，设出直线 的方程，同时得到直线 的方程.联立直
线 的方程和椭圆方程，解出 点的坐标，由此求得 的表达式.通过直线 的方程求得
点的坐标，进而求得 的表达式，利用 得到 ，由此列方程解得 的
值，从而求得 点的坐标.
【详解】解：（1）依题意知 , ,
∵△AOB 为直角三角形，∴过 A、O、B三点的圆的圆心为斜边 AB 的中点，
∴ ，即 ，
∴椭圆的方程为 .
（2）由（1）知 ，依题意知直线 BN 的斜率存在且小于 0，
设直线 BN 的方程为 ，
则直线 BM 的方程为： ，
由 消去 y 得 ，
解得： ， ,
∴
∴ ,
在 中，令 得 ，即
∴ ，
在 Rt△MBN 中，∵∠BMN=60°，∴ ,
即 ，整理得 ，
解得 ，∵ ，∴ ，
∴点 M的坐标为 .
【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位
置关系，属于较难的题目.圆的几何性质主要考查了直径所对的圆周角是直角.直线和椭圆的
位置关系，主要是联立直线方程和椭圆方程，解出直线和椭圆交点的坐标.两条斜率存在的
直线相互垂直时，斜率乘积为 ，这个必须熟记.
（广东省清远市 2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）
20.如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，短轴的两端点分别为 ，
，线段 ， 的中点分别为 ， ，且四边形 是面积为 8 的矩形．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过 作直线 交椭圆于 ， 两点，若 ，求直线 的方程．
【答案】（1） ； （2） 或 .
【解析】
【分析】
（I）通过矩形 的面积和对角线长相等列方程组，结合 ，解得 的值，
从而求得椭圆方程.（II）当直线 的斜率不存在时，直接得出直线 的方程，代入椭圆方程求
得 两点的坐标，代入 验证出不符合题意.当直线 的斜率存在时，设出直线 的方
程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理，将坐标代入 ，解方
程求得直线 的斜率，由此求得直线 的方程.
【详解】（I）在矩形 中，
所以四边形 是正方形，所以
又
，
∴椭圆 C 的方程为 ．
（II）由（I）可知 ，
1）当直线 l 的斜率不存在时，l的方程为 x=-2,
由
∴l：x=-2 不满足题意．
2）当 l 的斜率为 k 时，设 l 的方程为 ，
由
则
综上所述，直线 l 的方程为 或
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查一元二次
方程根与系数关系，考查向量的数量积运算，考查运算求解能力，运算较大，属于中档题.
解题过程中，要注意直线斜率不存在的情况.第二问中，给定向量的数量积，这个是方程的
思想，将坐标代入后解方程可求出相应参数的值.
（广东省肇庆市 2019届高三第二次（1月）统一检测数学文试题）
19.已知椭圆 经过点 ，左焦点 ，直线 与椭圆
交于 两点， 是坐标原点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求 面积的最大值.
【答案】（1）椭圆 的标准方程为 .（2）1
【解析】
【分析】
（1）根据左焦点坐标得到 ，根据椭圆的定义求得 ，进而求得 ，由此得到椭圆的标准方程.
（2）联立直线和椭圆的方程，利用根与系数关系求得弦长 ，利用点到直线距离求得高，
进而求得 面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值.
【详解】（1） 依题意可得解得 ，右焦点 ，
，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设 ，由 得
由 得 ，
到 的距离
当且仅当 ，即 时，得 ，
面积取得最大值
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的定义，考查椭圆和直线相交所形
成的三角形的面积计算及面积最大值的求法，考查利用基本不等式求最大值，综合性较强，
属于较难的题目.求解椭圆中三角形的面积问题，一方面要利用弦长公式求得弦长，另一方
面求出面积的表达后，要选择合适的方法来求最值.
（湖北省宜昌市 2019届高三元月调研考试理科数学试题）
20.已知椭圆 ： 的焦距为 ，且经过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）斜率为 的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，若椭圆上存在点 ，使得四边形
为平行四边形（其中 是坐标原点），求平行四边形 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的焦距为 2 ，且椭圆 C过点 ，列出方程求出 a，b，由此能求出椭圆
C的方程；（2）设直线 的方程为 ，由 ，消去 得
.利用韦达定理可得 ，点 P在椭圆上可得
表示平行四边形 的面积即可.
【详解】解：（1）由题意可知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，
又椭圆 经过点 ，所以 ，
即 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以椭圆的标准方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，由 ，消去 得
.设 ， ， ，
则有 ，即 ，
又 ， .
因为四边形 为平行四边形，所以 ，故 ，
，
所以 ，
由点 在椭圆上可得 ，化简得
而 .
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
又点 到直线 的距离 ，
故 的面积 .
所以平行四边形 的面积为 .
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查平行四边形面积的求法，是中档题，解题时要认真
审题，注意根的判别式、韦达定理、中点公式、弦长公式的合理运用．
（湖北省宜昌市 2019届高三元月调研考试文科数学试题）
20.已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点， 是椭圆 的上焦点.问：是否存在直线 ，
使得 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在直线 ： 或 合题意.
【解析】
【分析】
（1）由短轴长为 求出 b，再由离心率为 及 解得： ， ，从而得解。
（2）由 可得： 为线段 的中点，设直线方程： ，联立直线方程与
椭圆方程，表示出 ， ，再利用中点坐标公式列方程即可求解。
【详解】解：（1）∵ ， ，且有 ，
解得 ， ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）由题可知 的斜率一定存在，设 为 ，设 ， ，
联立
∴
∵ ，∴ 为线段 的中点，
∴ ……④
将④代入②解得 ……⑤
将④代入③得 ……⑥
将⑤代入⑥解得 ……⑦
将⑦式代入①式检验成立，
∴ ，即存在直线 ： 或 合题意.
【点睛】（1）考查了椭圆的简单几何性质。
（2）考查了直线与圆锥曲线相交问题，还考查了韦达定理及中点坐标公式，考查了转化思
想及方程思想，属于中档题，计算要细心。
（湖南省湘潭市 2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）
20.已知点 是椭圆 的一个焦点，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于不同的 两点，且 （ 为坐标原点），求直线 斜率
的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为 ，利用椭圆的定义，求得 ，再理由椭圆中
，求得 的值，即可得到椭圆的方程；
（2）设 直线的方程为 ，联立方程组，利用根与系数的关系，求得 ，在
由 ，进而可求解斜率的取值范围，得到答案。
【详解】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为 ，
所以点 到两焦点的距离之和为 .
所以 .
又因为 ，所以 ，则椭圆 的方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知， ，不符合题意.
故设 直线的方程为 ， ， ，
联立 ，可得 .
所以
而 ，
由 ，可得 .
所以 ，又因为 ，所以 .
综上， .
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解
答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与
系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能
较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
（湖南省湘潭市 2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）
20.已知点 是椭圆 的一个焦点，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于不同的 两点，且 （ 为坐标原点），求直线 斜率
的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为 ，利用椭圆的定义，求得 ，再理由椭圆中
，求得 的值，即可得到椭圆的方程；
（2）设 直线的方程为 ，联立方程组，利用根与系数的关系，求得 ，在
由 ，进而可求解斜率的取值范围，得到答案。
【详解】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为 ，
所以点 到两焦点的距离之和为 .
所以 .
又因为 ，所以 ，则椭圆 的方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知， ，不符合题意.
故设 直线的方程为 ， ， ，
联立 ，可得 .
所以
而 ，
由 ，可得 .
所以 ，又因为 ，所以 .
综上， .
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解
答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与
系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能
较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
（湖南省长沙市 2019届高三上学期统一检测文科数学试题）
20.已知椭圆 的离心率 ，左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆 上一点，
，且 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设椭圆 的左、右顶点为 、 ，过 、 分别作 轴的垂直 、 ，椭圆 的一条切
线 与 、 交于 、 两点，求证： 的定值.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）详见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由 和离心率以及 进行计算即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）由已知可得点 M
和点N的坐标，然后将切线l方程与椭圆方程联立，利用 0可得 ，利用
的夹角公式进行计算可得到 为定值.
【详解】（Ⅰ） ， ，得 .
又 ， ，解得 ， ，
故所求椭圆 的标准方程为 .
（Ⅱ）由题可知， 的方程为 ， 的方程为 .
直线 与直线 、 联立得 、 ，
所以 ， .
所以 .
联立 得 .
因为直线 椭圆 相切，所以 ，
化简得 .
所以 ，
所以 ，
故 为定值 .
（注：可以先通过 计算出此时 ，再验证一般性）
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆相切问题和椭圆中的定值问题，考
查学生推理和计算能力，属于中档题.
（湖南省长沙市 2019届上学期高三统一检测理科数学试题）
19.已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆 上一点，
与 轴相交于 ， ， .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设椭圆 的左、右顶点为 、 ，过 、 分别作 轴的垂线 、 ，椭圆 的一条切
线 与 、 交于 、 两点，求证： .
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）结合题意，得到 为 的中位线，进而得到 ，利用椭圆性质，计算
a,b 值即可。（2）将直线 l 的方程，代入椭圆方程，得到 以及 ，即可。
【详解】（Ⅰ）连接 ，由题意得 ，
所以 为 的中位线，
又因为 ，所以 ，且
，
又 ， ，得， ， ，
故所求椭圆 的标准方程为 .
（Ⅱ）由题可知， 的方程为 ， 的方程为 .
直线 与直线 、 联立得 、 ，
所以 ， ，
所以 .
联立 得 .
因为直线 椭圆 相切，所以 ，
化简得 .
所以 ，
所以 ，故 为定值 .
同理 ， ，
所以 ， .
故 .
【点睛】本道题考查了直线与圆锥曲线位置关系问题，难度较大。
（江西省新余市 2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）
20.在平面直角坐标系 中，已知点 ， 的坐标分别为 ， ．直线 ， 相交于点
，且它们的斜率之积是 ．记点 的轨迹为 ．
（Ⅰ）求 的方程．
（Ⅱ）已知直线 ， 分别交直线 于点 ， ，轨迹 在点 处的切线与线段 交于点
，求 的值．
【答案】（1） （2）1
【解析】
试题分析：（I）设出 坐标为 ，求出直线 的斜率和直线 的斜率，利用斜率成绩为 ，
整理即可得出曲线的方程；（II）设出 坐标，得出 ， 的方程，进一步求出 点的纵坐
标，写出椭圆在 的切线方程，由判别式等于 得到过 的斜率（用 的坐标表示），代入切线
方程，求得点 的纵坐标，设 ，转化为坐标关键，即可求出 ，得出 的值．
试题解析：解法一：（Ⅰ）设点 坐标为 ，则直线 的斜率 （ ）；直线
的斜率 （ ）．
由已知有 （ ），
化简得点 的轨迹 的方程为 （ ）．
（Ⅱ）设 （ ），则 ．
直线 的方程为 ，令 ，得点 纵坐标为 ；
直线 的方程为 ，令 ，得点 纵坐标为 ；
设在点 处的切线方程为 ，
由 得 ．
由 ，得 ，
整理得 ．
将 代入上式并整理得 ，解得 ，
所以切线方程为 ．
令 得，点 纵坐标为 ．
设 ，所以 ，所以
所以 ．
将 代入上式， ，解得 ，即 ．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设 （ ），则 ．
直线 的方程为 ，令 ，得点 纵坐标为 ；
直线 的方程为 ，令 ，得点 纵坐标为 ；
设在点 处的切线方程为 ，
由 得 ．
由 ，得 ，
整理得 ．
将 代入上式并整理得 ，解得 ，
所以切线方程为 ．
令 得，点 纵坐标为 ．
所以 ，
所以 为线段 的中点，即 ．
考点：椭圆的标准方程及其几何性质；直线与椭圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基
础知识，着重考查了推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、
分类与整合思想的应用，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中，设出 坐标，得出 ，
的方程，设 ，转化为坐标关键是解答的关键．
（四川省绵阳市 2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）
20.己知椭圆 C： 的左右焦点分别为 F1，F2，直线 l：y＝kx+m 与椭圆 C交于 A，B 两
点．O为坐标原点．
（1）若直线 l过点 F1，且｜AF2｜十｜BF2 ｜＝ ，求直线 l的方程；
(2)若以 AB 为直径的圆过点 O，点 P 是线段 AB 上的点，满足 OP⊥AB，求点 P 的轨迹方程．
【答案】(1) 或 ；（2） ( )．
【解析】
【分析】
（1）设 A(x1，y1)，B(x2，y2).联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．根据
弦长公式|AB|= ，代入整理得 ，解得 ．得到直线 l的方程．
（2）设直线 l方程 y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立 整理得
(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.结合韦达定理及条件 ，整理得 3m2=8k2+8．从而有
|OP|2=（定值），得到点 P的轨迹是圆，且去掉圆与 x轴的交点.写出点 P的轨迹方程即可.
【详解】（1）由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8 ，则|AB|= ．
因为直线 l过点 F1(-2,0)，所以 m=2k即直线 l的方程为 y=k(x+2).
设 A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．
∴ x1+x2= ，x1x2= ． 由弦长公式|AB|= ，
代入整理得 ，解得 ．所以直线 l的方程为 ，
即 或 ．
（2）设直线 l方程 y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立 整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.
∴ x1+x2= ，x1x2= ． 以 AB为直径的圆过原点 O，即 ．
∴ x1x2+ y1y2=0．将 y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得
(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0． 将 x1+x2= ，x1x2= 代入，
整理得 3m2=8k2+8． ∵ 点 P是线段 AB上的点，满足 ，
设点 O到直线 AB的距离为 d，∴ |OP|=d，于是|OP|2=d2= （定值），
∴ 点 P的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆，且去掉圆与 x轴的交点.
故点 P的轨迹方程为 ( )．
【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查弦长的求法，考查椭圆、韦达定理、向量数量积、点
到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函
数与方程思想，是中档题．
（广西桂林、贺州、崇左三市 2018届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）
20.已知 、 是椭圆 （ ）的左、右焦点，过 作 轴的垂线与 交于 、
两点， 与 轴交于点 ， ，且 ， 为坐标原点.
（1）求 的方程；
（2）设 为椭圆 上任一异于顶点的点， 、 为 的上、下顶点，直线 、 分别交 轴
于点 、 .若直线 与过点 、 的圆切于点 .试问： 是否为定值？若是，求出该定值；
若不是，请说明理由。
【答案】（1） .（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）由题可得 为正三角形，由此求得 ，又 ，可求
得 ， .，得到椭圆的方程；
2）由（1）可知， ，
设点 ，表示出 的坐标，设圆 的圆心为 ，设圆 的半径为 ，
通过点在圆上，推出 ．然后求出 的表达式，利用 ，
化简即可求出 的值
试题解析：（1）由 知点 是线段 的中点，又 为等腰三角形
且 ，得 为正三角形，
，
∴ ， ，
∴ .
∵ ，且
∴ ， .
椭圆 的方程为 .
（2）设 ，由（1）知 ， ，
则直线 的方程为 .
直线 的方程为 ，
∴ ， ，
设过 的圆 的圆心为
即 ，则 的半径 满足；
又
∴
∴ ，即 为定长.
