广东省华南师范大学附属中学2013届高三上学期第四次月考数学理试题

广东省华南师范大学附属中学2013届高三上学期第四次月考数学理试题

华南师范大学附中2013届高三上学期第四次月考 数学理试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是偶函数的是（ ）‎ A. ； B. ； C. ； D. ‎ ‎2. 双曲线的实轴长是（ ）‎ A. 2； B. ； C. 4； D. ‎ ‎3. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则（ ）‎ A. ； B. 8； C. 或8； D. 6 ‎ ‎4. 设，，则的值为（ ）‎ A. ； B. ； C. ； D.‎ ‎5. 已知函数，则在上的零点个数为（ ）‎ A. 1； B. 2； C. 3； D. 4‎ ‎6. 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（ ） ‎ ‎ A. ； B. ； ‎ ‎ C. ； D. ‎ ‎7. 将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为（ ）‎ A. ； B. ； C. ； D. ‎ ‎8. 2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点，第二棵树在 点，第三棵树在点，第四棵树在点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一颗树，那么，第2011棵树所在的点的坐标是（ ）‎ ‎ A. ； B. ； ‎ ‎ C.； D. ‎ 二、填空题（本大题6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎9. 若变量满足条件，则的最小值为 ‎ ‎10. 已知直线与圆相交于两点，且，则 ‎ ‎11. 由直线，，与曲线所围成的封闭图像的面积为 ‎ ‎12. 给出下列不等式 ‎ ① ； ② ；‎ ‎ ③ ； ④ ‎ 其中一定成立的是 ‎ ‎13. 过抛物线的焦点，且垂直于对称轴的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则的值为 ‎ ‎14. 如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为 ‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎15. （本小题满分13分） 已知函数，‎ ‎（1）求函数的最大值和最小正周期 ‎（2）设的内角的对边分别是，且，，若，求的值 ‎16. （本小题满分12分）某沙漠地区经过人们的改造，到2010年底，已知将1万亩沙漠面积的30%转变成了绿洲，计划从2011年起，每年将剩余沙漠面积的16%改造成绿洲，同时上一年绿洲面积的4%又被浸蚀变成沙漠，从2011年开始：‎ ‎（1）经过年后该地区的绿洲面积为多少万亩？‎ ‎（2）经过至少多少年的努力，才能使该地区沙漠绿化率超过60%？（已知）‎ ‎17. （本小题满分13分）解关于的不等式 ‎18. （本小题满分13分）设是函数的两个极值点，‎ ‎（1）若，求证：‎ ‎（2）如果，，求的取值范围 ‎19. （本小题满分14分）已知椭圆的方程为，其焦点在轴上，离心率，‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程 ‎（2）设动点满足，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值 ‎（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，给出证明，若不存在，请说明理由。‎ ‎20. （本小题满分14分）已知数列满足，，数列满足，数列满足 ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）试比较与的大小，并说明理由。‎ ‎（3）我们知道，数列如果是等差数列，则公差是一个常数，显然在本题的数列中，不是一个常数，但是否会小于等于一个常数呢？若会，求出的取值范围，若不会，请说明理由。‎ 华南师范大学附中2013年上学期第四次月考试卷答案：‎ 一、选择题 ‎ 1—8. CCBA BABA 二、填空题 ‎9. ；10. ；11. ； 12. ③正确；13. 4； 14. ；‎ 三、解答题 ‎ 15. （1），的最大值为0；最小正周期为 ‎（2），解得；‎ ‎ 又，由正弦定理---------------①，‎ 由余弦定理，即-------------②‎ 由①②解得：，。‎ ‎ 16. （1）设经过年绿洲面积为万亩，由题意得 ‎ ，‎ 而数列满足，‎ 即，所以，，‎ ‎（2）解不等式，可得，所以 ‎17. 当时，原不等式化为；‎ ‎ 当时，原不等式化为--------------①，解得：，，‎ 当，即时，不等式①的解为，‎ 当时，即时，不等式①的解为或；‎ 当时，即时，不等式①的解为或；‎ 当时，不等式①的解为；‎ 综上可得：当时，解集为；当时，解集为；‎ 当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或；‎ ‎18. （1）由已知得：，是方程的两根，‎ ‎ 且，所以，，即，‎ 而 ‎ ‎（2）由韦达定理，所以，即，‎ 当时，由，得，这时，由，得 所以是关于的增函数，故；‎ 当时，由得，这时，由，得，‎ 所以也是关于的增函数，故；‎ 综上可得：的取值范围是。‎ ‎19. （1）由，所以椭圆方程为。‎ ‎（2）设，，则由得，，，‎ 因为在椭圆上，所以，，‎ 又因为，即，‎ 故 ‎=20，即（定值）‎ ‎（3）由（2）知，点是椭圆上的点，则由定义，必存在两个焦点，满足为定值。‎ ‎20. （1）；‎ ‎（2），，令，‎ ‎，所以当时，为增函数，，， ‎ A、 为减函数，对一切正整数及恒成立，所以存在满足要求，故的取值范围是。‎