2018-2019学年安徽省定远重点中学高二下学期开学考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年安徽省定远重点中学高二下学期开学考试数学（理）试题 Word版

‎2018-2019学年安徽省定远重点中学高二下学期开学考试数学（理）试题 本试卷共150分，考试时间120分钟。‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) ‎ ‎1.在△ABC中，若p：A＝60°，q：sinA＝，则p是q的(　　)‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎2.已知p：x2－2x－3＜0；q：＜1，若p且q为真，则x的取值范围是(　　)‎ A． (－1,2) B． (－1,3) C． (3，＋∞) D． (－∞，2)‎ ‎3.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A, 2x∈B，则(　　)‎ A．p：∀x∈A,2xB B．p：∀xA,2xB C．p：∃x0A,2x0∈B D．p：∃x0∈A,2x0B ‎4.已知两点A(，0)，B(－，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且·＝22，则动点P的轨迹方程为(　　)‎ A．x2＋y2＝2 B．y2－x2＝‎2 C．x2－2y2＝1 D． 2x2－y2＝1‎ ‎5.设P是椭圆＋＝1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F1PF2的最小值是(　　)‎ A． B． C． － D． －‎ ‎6.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)‎ A． B． C． 2 D．‎ ‎7.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　)‎ A． 2－1 B． 2－‎2 C．－1 D．－2‎ ‎8.已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为(　　)‎ A． B． － C． D． －‎ ‎9.如图所示，在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是(　　)‎ A． 45° B． 60° C． 90° D． 120°‎ ‎10.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)‎ A． 150° B． 45° C． 60° D． 120°‎ ‎11. 已知函数f(x)在x0处的导数为1，则等于(　　)‎ A． 2 B． －‎2 C． 1 D． －1‎ ‎12. 如图，函数的图象在P点处的切线方程是y＝－x＋8，若点P的横坐标是5，则f(5)＋f′(5)等于(　　)‎ A． B． ‎1 C． 2 D． 0‎ 二、填空题(共4小题,共20分) ‎ ‎13.已知p：a－4＜x＜a＋4；q：(x－2)(3－x)＞0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________．‎ ‎14.过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________．‎ ‎15.已知函数f(x)＝lnx－ax＋1在[，e]内有零点，则a的取值范围为________．‎ ‎16.如图，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为.点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：x＋y＋3＝0相切，则椭圆的方程为________．‎ 三、解答题(共6小题 ,共70分) ‎ ‎17.（10分）已知命题p：∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0成立，命题q：∃x0∈R，－2ax0－3＞0不成立，若p假且q真，求实数a的取值范围．‎ ‎18. （12分）求满足下列各条件的椭圆的标准方程．‎ ‎(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；‎ ‎(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.‎ ‎19. （12分）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．‎ ‎20. （12分）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，点E为AB的中点．‎ ‎(1)求证：BD1∥平面A1DE；‎ ‎(2)求证：D1E⊥A1D；‎ ‎(3)在线段AB上是否存在点M，使二面角D1－MC－D的大小为？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎21. （12分）已知函数f(x)＝(ax－x2)ex.‎ ‎(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值范围；‎ ‎(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．‎ ‎22. （12分）已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.‎ ‎(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；‎ ‎(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．‎ 答案 ‎1.A ‎2.A ‎3.D ‎4.B ‎5.D ‎6.B ‎7.C ‎8.A ‎9.B ‎10.C ‎11. A ‎12. C ‎13.[－1,6]‎ ‎14.(1，e)‎ ‎15.[0,1]‎ ‎16.＋＝1‎ ‎17. 解　由于命题p：∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0是假命题，‎ 所以命题p：∃x0∈R，＋(a－1)x0＋1＜0是真命题，得Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，‎ ‎∴a－1＜－2或a－1＞2，∴a＜－1或a＞3.‎ 由于命题q：∃x0∈R，－2ax0－3＞0不成立，‎ 所以命题q：∀x∈R，ax2－2ax－3≤0成立，‎ 当a＝0时，－3＜0成立；‎ 当a＜0时，Δ＝(－‎2a)2＋‎12a≤0，即a2＋‎3a≤0，解得－3≤a＜0，∴－3≤a≤0.‎ 综上所述，实数a的取值范围是{a|－3≤a＜－1}．‎ ‎18. 解　(1)若椭圆的焦点在x轴上，‎ 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ ‎∵椭圆过点A(2,0)，∴＝1，a＝2，‎ ‎∵‎2a＝2·2b，∴b＝1，∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ 若椭圆的焦点在y轴上，‎ 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过点A(2,0)，∴＋＝1，‎ ‎∴b＝2,‎2a＝2·2b，∴a＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.‎ ‎(2)由已知得∴从而b2＝9，‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.‎ ‎19. 解　(1)依题意，b＝，＝2⇒a＝1，c＝2，∴双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由(1)知F2(2,0)．易验证当直线l斜率不存在时不满足题意．‎ 故可设直线l：y＝k (x－2)，由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，‎ 当k≠±时，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，‎ ‎△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6，‎ 得k4＋8k2－9＝0，则k＝±1.‎ 所以直线l方程为y＝x－2或y＝－x＋2.‎ ‎20.(1)证明　由题意可得D1D⊥平面ABCD，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，‎ 则D(0,0,0)，C(0,2,0)，‎ A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，B(1,2,0)，E(1,1，0)．‎ ‎＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，‎ 设平面A1DE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 则得 取x1＝1，则n1＝(1，－1，－1)是平面A1DE的一个法向量，又＝(－1，－2,1)，且·n1＝(－1，－2,1)·(1，－1，－1)＝0，故⊥n1，又BD1不在平面A1DE内，故BD1∥平面A1DE.‎ ‎(2)证明　由题意得＝(1,1，－1)，‎ ‎＝(－1,0，－1)，‎ ‎·＝(1,1，－1)·(－1,0，－1)＝0，‎ ‎⊥，故D1E⊥A1D.‎ ‎(3)解　线段AB上存在点M，使二面角D1－MC－D的大小为.‎ 设M(1，y0，0)(0≤y0≤2)，‎ 因为＝(－1,2－y0，0)，＝(0,2，－1)，‎ 设平面D1MC的一个法向量为v1＝(x，y，z)，‎ 则得 取y＝1，则v1＝(2－y0，1,2)是平面D1MC的一个法向量，而平面MCD的一个法向量为v2＝＝(0,0,1)，‎ 要使二面角D1－MC－D的大小为，‎ 则cos＝|cos〈v1，v2〉|＝‎ ‎＝＝，‎ 解得y0＝2－(0≤y0≤2)．‎ 所以当AM＝2－时，二面角D1－MC－D的大小为.‎ ‎21. 解　(1)当a＝2时，f(x)＝(2x－x2)ex.‎ f′(x)＝(2－2x)ex＋(2x－x2)ex，‎ ‎＝(2－x2)ex，‎ 令f′(x)<0，即2－x2<0，解得x<－或x>，‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．‎ ‎(2)函数f(x)在(－1,1]上单调递增，‎ 所以f′(x)≥0，对于x∈(－1,1]都成立，‎ 即f′(x)＝[a＋(a－2)x－x2]ex≥0，对于x∈(－1,1]都成立，‎ 故有a≥＝x＋1－，‎ 令g(x)＝x＋1－，则g′(x)＝1＋>0，‎ 故g(x)在(－1,1]上单调递增，g(x)max＝g(1)＝，‎ 所以a的取值范围是[，＋∞)．‎ ‎(3)假设f(x)为R的上单调函数，则为R的上单调递增函数或单调递减函数．‎ ‎①若函数f(x)为R上单调递增函数，则f′(x)≥0，对于x∈R都成立，‎ 即[a＋(a－2)x－x2]ex≥0恒成立．‎ 由ex>0，x2－(a－2)x－a≤0对于x∈R都恒成立，‎ 由h(x)＝x2－(a－2)x－a是开口向上的抛物线，‎ 则h(x)≤0不可能恒成立，‎ 所以f(x)不可能为R上的单调增函数．‎ ‎②若函数f(x)为R上单调递减函数，则f′(x)≤0，对于x∈R都成立，‎ 即[a＋(a－2)x－x2]ex≤0恒成立，‎ 由ex>0，x2－(a－2)x－a≥0对于x∈R都恒成立，‎ 故由Δ＝(a－2)2＋‎4a≤0，整理得a2＋4≤0，显然不成立，‎ 所以，f(x)不能为R上的单调递减函数．‎ 综上，可知函数f(x)不可能为R上的单调函数．‎ ‎22.解　(1)y′＝＝3x2－3.‎ 则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率 k1＝f′(1)＝0，‎ ‎∴所求直线方程为y＝－2.‎ ‎(2)设切点坐标为(x0，－3x0)，‎ 则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3－3，‎ ‎∴直线l的方程为y－(－3x0)＝(3－3)(x－x0)，‎ 又直线l过点P(1，－2)，‎ ‎∴－2－(－3x0)＝(3－3)(1－x0)，‎ ‎∴－3x0＋2＝(3－3)(x0－1)，‎ 解得x0＝1(舍去)或x0＝－，‎ 故所求直线斜率k＝3－3＝－，‎ 于是y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋.‎