高考数学 17-18版 附加题部分 第6章 第75课 课时分层训练19
课时分层训练(十九)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
1．设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
[证明] 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0
0，b>0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
[解] (1)由＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2·≥4.
由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
3．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值．
[解] ∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥2＝18，
∴＋＋≥2，当且仅当a＝b＝c＝3时取等号．
∴＋＋的最小值为2.
4．(2017·如皋市高三调研一)已知数列{an}满足a1＝3，且an＋1＝a－nan－n(n∈N＋)．
(1)计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式(不必证明)；
(2)求证：当n≥2时，a≥4nn. 【导学号：62172388】
[解] (1)n＝1时，a2＝4；n＝2时，a3＝5，n＝3时 ，a4＝6；n＝4时，a5＝7；
猜想：an＝n＋2.
(2)要证a≥4nn(n≥2)成立，
只要证(n＋2)n≥4nn(n≥2)，
只要证(x＋2)x≥4xx(x≥2)，
只要证xln(x＋2)≥ln 4＋xln x(x≥2)，
即证xln(x＋2)－ln 4－xln x≥0(x≥2)，
f(x)＝xln( x＋2)－ln 4－xln x(x≥2)．
f′(x)＝ln(x＋2)＋－ln x－1＝ln ＋－1
令t＝＝1＋(10，
所以y＝ln t＋－1在(1,2]上单调递增，所以y>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(2，＋∞)单调递增，所以f(x)≥f(2)＝0得证．
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；
(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.
[证明] (1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.
因为a，b都是正数，所以a＋b>0.
又因为a≠b，所以(a－b)2>0.
于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，
所以a3＋b3>a2b＋ab2.
(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.①
同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c.②
c2(a2＋b2)≥2abc2.③
①②③相加得
2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，
从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，
因此≥abc.
2．已知a，b为实数，且a>0，b>0.
(1)求证：≥9；
(2)求(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2的最小值. 【导学号：62172389】
[解] (1)证明：因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥3＝3>0，①
同理可证：a2＋＋≥3>0.②
由①②及不等式的性质得
＝3×3＝9.
(2)[(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2][12＋12＋22]≥[(5－2a)×1＋2b×1＋(a－b)×2]2.
所以(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2≥.
当且仅当＝＝时取等号，
即a＝，b＝.
所以当a＝，b＝时，(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2取最小值.
3．已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.
(1)求f(x)的最小值m；
(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.
[解] (1)当x＜－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x＞3；
当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；
当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x≥6.
综上，f(x)的最小值m＝3.
(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，
因为＋＋＋(a＋b＋c)
＝＋＋
≥2＝2(a＋b＋c)．
(当且仅当a＝b＝c＝1时取“＝”)
所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.
4．已知函数f(x)＝|x＋1|.
(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；
(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b)．
[解] (1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；
②当－1＜x＜－时，原不等式可化为x＋1＜－2x－2，解得x＜－1，此时原不等式无解；
③当x≥－时，原不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1.
综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．
(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，
所以，要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|＞|a＋b|，
即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，
即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，
即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证(a2－1)(b2－1)＞0.
因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，
所以原不等式成立．
