2015年高考数学（理科）真题分类汇编A单元 集合与常用逻辑用语

2015年高考数学（理科）真题分类汇编A单元 集合与常用逻辑用语

‎ 数 学 ‎ A单元 集合与常用逻辑用语 ‎ A1 集合及其运算 ‎1．A1[2015·广东卷] 若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．{1，4} B．{－1，－4}‎ C．{0} D．∅‎ ‎1．D　[解析] M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1，4}，∴M∩N＝∅.‎ ‎9．A1[2015·湖北卷] 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为(　　)‎ A．77 B．49‎ C．45 D．30‎ ‎9．C　[解析] 集合A表示如图所示的所有实心圆表示的点，集合B表示如图所示的所有实心圆和所有空心圆表示的点，集合AB显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去点(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)之外的所有整点(横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有实心圆、所有空心圆以及所有⊙表示的点，共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.‎ ‎1．A1[2015·江苏卷] 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为________．‎ ‎1．5　[解析] 因为A∪B＝{1，2，3，4，5}，所以A∪B中元素的个数为5.‎ ‎1．A1[2015·全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．{－1，0} B．{0，1}‎ C．{－1，0，1} D．{0，1，2}‎ ‎1．A　[解析] 因为B＝{x|－21，因为ak＝2ak－1或ak＝2ak－1－36，所以2ak－1是3的倍数，于是ak－1是3的倍数．类似可得，ak－2，…，a1都是3的倍数，从而对任意n≥1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数．‎ 综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数．‎ ‎(3)由a1≤36，an＝可归纳证明an≤36(n＝2，3，…)．‎ 因为a1是正整数，a2＝所以a2是2的倍数，从而当n≥3时，an是4的倍数．‎ 如果a1是3的倍数，由(2)知对所有正整数n，an是3的倍数．‎ 因此当n≥3时，an∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5.‎ 如果a1不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n，an不是3的倍数．‎ 因此当n≥3时，an∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8.‎ 当a1＝1时，M＝{1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．‎ 综上可知，集合M的元素个数的最大值为8.‎ ‎1．A1[2015·福建卷] 若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于(　　)‎ A．{－1} B．{1}‎ C．{1，－1} D．∅‎ ‎1．C　[解析] A＝，所以A∩B＝.‎ ‎1．A1[2015·山东卷] 已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2‎0”‎的充分必要条件；‎ 命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．(　　)‎ A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 ‎6．A　[解析] 命题①显然成立，由下图亦可知d(A，C)表示的区域不大于d(A，B)＋d(B，C)表示的区域，故命题②也成立，故选A.‎ ‎1．A1[2015·重庆卷] 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则(　　)‎ A．A＝B B．A∩B＝∅‎ C．AB D．BA ‎1．D　[解析] 由子集的概念知BA，故选D.‎ A2 命题及其关系、充分条件、必要条件 ‎3．A2[2015·安徽卷] 设p：11，则p是q成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．A　[解析] 由2x>1，得x>0.记P＝{x|10}，则P是Q的真子集，因此P⇒Q，反之Q ⇒/ P，即p是q成立的充分不必要条件，故选A.‎ ‎5．A2、N4、D3[2015·湖北卷] 设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a‎1a2＋a‎2a3＋…＋an－1an)2，则(　　)‎ A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎5．A　[解析] 当p成立，即a1，a2，…，an成等比数列时，＝＝…＝，满足柯西不等式(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)≥(a‎1a2＋a‎2a3＋…＋an－1an)2等号成立的条件，故(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a‎1a2＋a‎2a3＋…＋ an－1an)2，即q成立；但当q成立时，不一定非要a1，a2，…，an成等比数列，如：当a1＝1，a2＝a3＝…＝an＝0时，q成立，但不满足a1，a2，…，an成等比数列．所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件．故选A.‎ ‎4．A2，G4[2015·北京卷] 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．B　[解析] 当m⊂α，m∥β时，不能确定平面α与β平行；当α∥β时，根据平面与平面平行的性质，可以推出m∥β.‎ ‎7．A2，G4，G5[2015·福建卷] 若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．B　[解析] 若m⊥α，l⊥m，则l⊂α或l∥α；若m⊥α，l∥α，则l⊥m.故选B.‎ ‎2．A2[2015·湖南卷] 设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　)‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎2．C　[解析] 由集合的运算知，A∩B＝A⇔A⊆B，故选C.‎ ‎6．A2、C6[2015·陕西卷] “sin α＝cos α”是“cos 2α＝‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．A　[解析] sin α＝cos α时，cos 2α＝cos2α－sin2α＝0，反之cos 2α＝0时，sin α＝±cos α，故“sin α＝cos α”是“cos 2α＝‎0”‎的充分不必要条件．‎ ‎8．A2，B6，B7[2015·四川卷] 设a，b都是不等于1的正数，则“‎3a>3b>‎3”‎是“loga33b>3时，有a＞b＞1，从而有loga33b>3不成立，即必要性不成立．故选B.‎ ‎4．A2、E2、E3[2015·天津卷] 设x∈R，则“|x－2|<‎1”‎是“x2＋x－2>‎0”‎的(　　)‎ A．充分而不必要条件 ‎ B．必要而不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎4．A　[解析] 由|x－2|<1，解得10，解得x>1或x<－2.由11或x<－2，反之，不成立，所以“|x－2|<‎1”‎是“x2＋x－2>‎0 ”‎的充分不必要条件．故选A.‎ ‎4．A2[2015·重庆卷] “x>‎1”‎是“log(x＋2)<‎0”‎的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．B　[解析] 由log(x＋2)<0，得x＋2>1，解得x>－1，所以“x>‎1”‎是“log(x＋2)<‎0”‎的充分而不必要条件．‎ A3 基本逻辑联结词及量词 ‎3．A3[2015·全国卷Ⅰ] 设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)‎ A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n ‎3．C　[解析] 特称命题的否定是全称命题，故选C.‎ ‎12．A3、C3[2015·山东卷] 若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ ‎12．1　[解析] ∵y＝tan x在区间上单调递增，∴y＝tan x的最大值为tan＝1.‎ 又∵“∀x∈，tan x≤m”是真命题，∴m≥1.‎ ‎4．A3[2015·浙江卷] 命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0‎ D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0‎ ‎4．D　[解析] 全称命题的否定是特称命题，故选D.‎ 图12‎ ‎ A4 单元综合 ‎ ‎12．[2015·上饶一模] 给出下列四个命题：‎ ‎①方程＋|y＋1|＝0的解集是；‎ ‎②集合用列举法表示为{－1，0，1}；‎ ‎③集合M＝{y|y＝x2＋1}与集合P＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示同一集合；‎ ‎④集合A＝，B＝{x|log2x<1}，则A∩B＝(－1，2)．‎ 其中真命题的个数为(　　)‎ A．1 ‎ B．2‎ C．3 ‎ D．4‎ ‎12．A　[解析] ①方程的解集应写成，故①错；②正确；③集合M＝{y|y≥1}，集合P表示抛物线y＝x2＋1上所有点的集合，故③错；④集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝{x|0＜x＜2}，故④错．故选A.‎ ‎14．[2015·丽水一模] 设全集U＝R，集合A＝{x∈R|x2－2x－3>0}，B＝{x∈R||x－a|>3}，则∁UA＝________；若(∁U A)∩B＝∅，则实数a的取值范围是________ .‎ ‎14．[－1，3]　[0，2]　[解析] 由已知得A＝{x|x2－2x－3＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}，则∁UA＝{x|－1≤x≤3}．又B＝{x|x＜a－3或x＞a＋3}，所以若(∁UA)∩B＝∅，则解得0≤a≤2.‎ ‎8．[2015·马鞍山质检] 下列说法中，正确的是(　　)‎ ‎ A. 命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题 ‎ B. 命题“∃x0∈R，x－x0＞‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2－x≤‎‎0”‎ C. p∨q为真命题，则命题p和命题q均为真命题 D. 已知x∈R，则“x＞‎1”‎是“x＞‎2”‎的充分不必要条件 ‎8．B　[解析] 因为原命题的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm‎2”‎，当m＝0时不成立，所以逆命题为假命题，故选项A错；特称命题的否定是全称命题，并把结论否定，故选项B正确；若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，故选项C错；若x＞1成立，则x＞2不一定成立，故选项D错．故选B.‎ ‎6．[2015·东北三省四市联考] 下列说法中正确的个数是(　　)‎ ‎①“x＝1”是“x2－3x＋2＝‎0”‎的充分不必要条件；‎ ‎②命题“∀x∈R，sin x≤‎1”‎的否定是“∃x0∈R，sin x0>‎1”‎；‎ ‎③若p：∀x∈，lg x≥0，q：∃x0∈R，x＋x0＋1<0，则p∨q为真命题．‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎6．D　[解析] 由x＝1，得x2－3x＋2＝0，反之，若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，故①正确；全称命题的否定是特称命题，易知②正确；因为p是真命题，q是假命题，所以p∨q是真命题，故③正确．故选D.‎