高考文科数学复习：夯基提能作业本 (51)
第六节 双曲线
A组 基础题组
1.(2016安徽安庆二模)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线C的离心率是( )
A.5 B.2 C.2 D.52
2.若实数k满足0
0,b>0)的离心率为52,则C的渐近线方程为( )
A.y=±14x B.y=±13x
C.y=±12x D.y=±x
4.(2016天津,4,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( )
A.x24-y2=1 B.x2-y24=1
C.3x220-3y25=1 D.3x25-3y220=1
5.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=13,则E的离心率为( )
A.2 B.32 C.3 D.2
6.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左,右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±12 B.±22 C.±1 D.±2
7.(2016北京,12,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则a= ;b= .
8.设F1、F2分别是双曲线x2-y2b2=1的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°,延长AF2交双曲线右支于点B,则△F1AB的面积等于 .
9.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=213,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程;
(2)若P为该椭圆与双曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.
10.已知双曲线的中心在原点,左、右焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10).
(1)求双曲线的方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF1·MF2=0;
(3)在(2)的条件下,求△F1MF2的面积.
B组 提升题组
11.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,3)
C.(0,3) D.(0,3)
12.(2016江南十校联考(一))已知l是双曲线C:x22-y24=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2分别是C的左,右焦点,若PF1·PF2=0,则点P到x轴的距离为( )
A.233 B.2 C.2 D.263
13.已知双曲线x2a2-y2b2=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为( )
A.(1,5) B.(1,5] C.(5,+∞) D.[5,+∞)
14.(2015课标Ⅰ,16,5分)已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,66).当△APF周长最小时,该三角形的面积为 .
15.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1、F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .
16.设A,B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.
答案全解全析
A组 基础题组
1.A 由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,可得ba=2,∴e=ca=1+ba2=5.故选A.
2.D 若00,16-k>0,故方程x216-y25-k=1表示焦点在x轴上的双曲线,且实半轴的长为4,虚半轴的长为5-k,焦距2c=221-k,离心率e=21-k4;方程x216-k-y25=1表示焦点在x轴上的双曲线,实半轴的长为16-k,虚半轴的长为5,焦距2c=221-k,离心率e=21-k16-k.可知两曲线的焦距相等.故选D.
3.C 由双曲线的离心率e=ca=52可知ba=12,而双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,故选C.
4.A 由题意可得ba=12,a2+b2=5,a>0,b>0,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为x24-y2=1,故选A.
5.A 解法一:由MF1⊥x轴,可得M-c,b2a或M-c,-b2a,∴|MF1|=b2a.由sin∠MF2F1=13,可得cos∠MF2F1=1-132=223,又tan∠MF2F1=|MF1||F1F2|=b2a2c,∴b2a2c=13223,∴b2=22ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2-22ac=0⇒e2-22e-1=0,∴e=2(舍负).故选A.
解法二:由MF1⊥x轴,得M-c,b2a或M-c,-b2a,∴|MF1|=b2a,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+b2a,
又sin∠MF2F1=|MF1||MF2|=b2a2a+b2a=13⇒a2=b2⇒a=b,∴e=a2+b2a2=2.故选A.
6.C 不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于A1A2,即x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为c,b2a,c,-b2a,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0),
所以A1B=c+a,b2a,A2C=c-a,-b2a,
因为A1B⊥A2C,所以A1B·A2C=0,
即(c+a)(c-a)-b2a·b2a=0,
即c2-a2-b4a2=0,所以b2-b4a2=0,
故b2a2=1,即ba=1,又双曲线的渐近线的斜率为±ba,故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.
7.答案 1;2
解析 由题可知双曲线焦点在x轴上,
故渐近线方程为y=±bax,又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,
∴ba=2,即b=2a.
又∵该双曲线的一个焦点为(5,0),
∴c=5.
由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,
解得a=1,b=2.
8.答案 4
解析 由题意可得|AF2|=2,|AF1|=4,
则|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|=|BF1|.
又∠F1AF2=45°,所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形,所以其面积为12×4×2=4.
9.解析 (1)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线的方程为x2m2-y2n2=1,
则a-m=4,7·13a=3·13m,解得a=7,m=3,
∴b=6,n=2.
∴椭圆的方程为x249+y236=1,双曲线的方程为x29-y24=1.
(2)不妨令F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,
|PF1|-|PF2|=6,
所以|PF1|=10,|PF2|=4,
又|F1F2|=213,
∴cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|
=102+42-(213)22×10×4=45.
10.解析 (1)∵e=2,∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4,-10),∴16-10=λ,即λ=6,
∴双曲线的方程为x2-y2=6.
(2)证法一:由(1)可知,双曲线中a=b=6,
∴c=23,∴F1(-23,0),F2(23,0),
∴kMF1=m3+23,kMF2=m3-23,
∴kMF1·kMF2=m29-12=-m23.
∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2,即MF1·MF2=0.
证法二:由证法一知MF1=(-3-23,-m),
MF2=(23-3,-m),
∴MF1·MF2=(3+23)×(3-23)+m2=-3+m2,
∵点M在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,
∴MF1·MF2=0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|=43,由(2)知m=±3.
∴△F1MF2的高h=|m|=3,∴S△F1MF2=6.
B组 提升题组
11.A ∵原方程表示双曲线,且焦距为4,
∴m2+n>0,3m2-n>0,m2+n+3m2-n=4,①
或m2+n<0,3m2-n<0,-(3m2-n)-(m2+n)=4,②
由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.
12.C 由题意知F1(-6,0),F2(6,0),不妨取l的方程为y=2x,设点P(x0,2x0),由PF1·PF2=(-6-x0,-2x0)·(6-x0,-2x0)=3x02-6=0,得x0=±2,故点P到x轴的距离为2|x0|=2,故选C.
13.C 双曲线的一条渐近线方程为y=bax,
由题意得ba>2,
∴e=ca=1+ba2>1+4=5.
14.答案 126
解析 由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A、P、F'三点共线时,△APF的周长最小.
设P点坐标为(x0,y0),y0>0,由x0-3+y066=1,x02-y028=1得y02+66y0-96=0,所以y0=26或y0=-86(舍去).
所以当△APF的周长最小时,该三角形的面积S=12×6×66-12×6×26=126.
15.答案 (27,8)
解析 △PF1F2为锐角三角形,不妨设P在第一象限,P点在P1与P2之间运动(如图).
当P在P1点处时,∠F1P1F2=90°,S△P1F1F2=12|F1F2|·|yP1|=12|P1F1|·|P1F2|.
由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2,
得|P1F1|·|P1F2|=6,
此时|PF1|+|PF2|=27.
当P在P2点处时,∠P2F2F1=90°,
∴xP2=2,易知yP2=3,
此时|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8,
∴当△PF1F2为锐角三角形时,|PF1|+|PF2|∈(27,8).
16.解析 (1)由题意知a=23,∴一条渐近线方程为y=b23x,
即bx-23y=0,∴|bc|b2+12=3,
∴b2=3,∴双曲线的方程为x212-y23=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),
∵OM+ON=tOD,∴x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,
将直线方程代入双曲线方程得x2-163x+84=0,
则x1+x2=163,所以y1+y2=12,∵点D在双曲线的右支上,
∴x0y0=433,x0212-y023=1,x0>0,
解得x0=43,y0=3,
∴t=4,点D的坐标为(43,3).
