专题9-5+椭圆（测）-2018年高考数学（文）一轮复习讲练测

专题9-5+椭圆（测）-2018年高考数学（文）一轮复习讲练测

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【新课标版】【测】第九章 解析几何 第五节 椭圆 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）‎ ‎1.【2017浙江省温州市“十五校联合体”】已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ）‎ A. 6 B. C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎2.设椭圆的左右焦点为，作作轴的垂线与交于两点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为平行于，所以为中点，又，所以设则因此选B.‎ ‎3.【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】设点是椭圆上异于长轴端点上的任意一点， 分别是其左右焦点， 为中心， ，则此椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎4.【2017届浙江杭州地区四校高三上学期联考】 设点为有公共焦点，的椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设双曲线的实轴长为，则椭圆的长轴长为，不妨设，‎ ‎∴，在中，由余弦定理可知，故填：D.‎ ‎5. 【【百强校】2017届河南百校联盟高三9月质监乙卷】已知椭圆 的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，利用点差法得直线的斜率为，选C．‎ ‎6.如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由椭圆的性质得，椭圆的短半轴，‎ 因为截面与底面所成角为，所以椭圆的长轴长，得 所以椭圆的离心率 故选 ‎7.【【百强校】2017届三省高三上学期百校大联考】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，‎ ‎，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎8.【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月基础测试】已知F‎1‎‎,‎F‎2‎为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且‎∠F‎1‎PF‎2‎==45°‎，则该椭圆与双曲线的离线率知积的最小值为（ ）‎ A. ‎2‎‎4‎ B. ‎2‎‎2‎ C. ‎1‎ D. ‎‎2‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：‎ ‎|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2，‎ ‎∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，‎ 设|F1F2|=2c，∠F1PF2=‎45°‎，则：‎ 在△PF1F2中由余弦定理得，‎ ‎4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos‎45°‎，‎ 化简得：（）a12+（）a22=4c2，‎ 即‎2+‎‎2‎e‎1‎‎2‎‎+‎2+‎‎2‎e‎2‎‎2‎=4‎，‎ 又∵‎2+‎‎2‎e‎1‎‎2‎‎+‎2+‎‎2‎e‎2‎‎2‎≥‎2‎‎2‎‎2‎‎-2‎e‎1∙‎e‎2‎=‎‎2‎‎2‎e‎1∙‎e‎2‎9 ，‎ ‎∴‎2‎‎2‎e‎1∙‎e‎2‎‎≤4‎，即e‎1∙‎e‎2‎≥‎2‎‎2‎，‎ 即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为‎2‎‎2‎．‎ ‎9.设、是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，且轴，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎10.椭圆的左、右焦点为，过作直线交C于A，B两点，若是等腰直角三角形，且，则椭圆C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，，∴，∴，∴，‎ ‎∴，∴.‎ ‎11.【2017年福建省三明市高三5月质检】已知F‎1‎‎,‎F‎2‎是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF‎2‎与圆x‎2‎‎+y‎2‎=‎b‎2‎相切于点Q，且点Q为线段PF‎2‎的中点，则a‎2‎‎+‎e‎2‎b（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（　）‎ A. ‎6‎ B. ‎3‎‎6‎‎4‎ C. ‎5‎ D. ‎‎3‎‎5‎‎4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 连接PF1，OQ，‎ 由OQ为中位线,可得OQ∥PF1,|OQ|=|PF1|，‎ 圆x2+y2=b2,可得|OQ|=b,即有|PF1|=2b，‎ 由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，‎ 可得|PF2|=2a−2b，‎ 又OQ⊥PF2,可得PF1⊥PF2，‎ 即有(2b)2+(2a−2b)2=(2c)2，‎ 即为b2+a2−2ab+b2=c2=a2−b2，‎ 化为2a=3b,即b=‎2‎‎3‎a，‎ c=a‎2‎‎-‎b‎2‎=‎5‎‎3‎a‎,即有e=ca=‎‎5‎‎3‎，‎ 则a‎2‎‎+‎e‎2‎‎3b‎=a‎2‎‎+‎‎5‎‎9‎‎2a=‎1‎‎2‎(a+‎5‎‎9a)≥‎1‎‎2‎×2a×‎‎5‎‎9a=‎‎5‎‎3‎，‎ 当且仅当a=‎‎5‎‎9a,即a=‎‎5‎‎3‎时,a‎2‎‎+‎e‎2‎‎3b取得最小值‎5‎‎3‎.‎ 则a‎2‎‎+‎e‎2‎b的最小值为 ‎5‎ .‎ 本题选择C选项.‎ ‎12.【【百强校】2017届河北衡水中学高三摸底联考】若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）‎ A． B．至多有一个 C． D．‎ ‎【答案】D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）‎ ‎13.设椭圆的两个焦点为，，一个顶点是，则的方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知：，，所以，又因为椭圆焦点在轴上，所以C的方程为.‎ ‎14.【2018届广西柳州市高三毕业班上学期摸底】已知焦点在轴上，中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设知 , ,所以椭圆方程为 ‎ ‎15.【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上学期适应性月考（一）】已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的两个焦点分别为F‎1‎‎(-c,0)‎，F‎2‎‎(c,0)‎，M为椭圆上一点，且F‎1‎M‎•F‎2‎M=3‎c‎2‎，则此椭圆离心率的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎‎5‎‎5‎‎，  ‎‎1‎‎2‎ ‎【解析】设点M(x,y),‎ F‎1‎M‎•F‎2‎M=3‎c‎2‎ ，‎(x-c,y)*(x+c,y)=x‎2‎-c‎2‎+y‎2‎=3‎c‎2‎ ，‎ x‎2‎‎+y‎2‎=4‎c‎2‎‎,又因为b‎2‎x‎2‎‎+a‎2‎y‎2‎=‎a‎2‎b‎2‎ ，结合两式得x‎2‎‎=‎‎5a‎2‎c‎2‎-‎a‎4‎c‎2‎ ，又因为 ‎0≤x‎2‎≤‎a‎2‎‎ ，得‎5‎‎5‎‎，  ‎‎1‎‎2‎.‎ 故得‎5‎‎5‎‎，  ‎‎1‎‎2‎．‎ ‎16.点是椭圆：的左焦点，过点且倾斜角是锐角的直线与椭圆交于、两点，若的面积为，则直线的斜率是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图由已知得：点F的坐标为（-4，0），‎ 设直线l的方程为：y=k（x+4）（k>0）代入椭圆E的方程并化简得：‎ ‎ （*）‎ 设，则x1，x2是方程（*）的两个实数根，由韦达定理知：‎ ‎（k>0）‎ 解得：.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.【2017届浙江嘉兴市高三上学期基础测试】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过点且倾斜角为的直线交椭圆于两点．‎ ‎（1）若的周长为16，求直线的方程；‎ ‎（2）若，求椭圆的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）的周长为可得的值，由离心率为得的值，得坐标，代入直线的点斜式方程可得直线的方程；（2）由离心率及关系化简椭圆方程，联立椭圆及直线方程，整理关于的一元二次方程，由根与系数的关系得的值，代入弦长公式，建立等式，可得的值，从而得椭圆的方程．‎ 试题解析：（1）由题设得 ‎ 又 得 ‎ ‎∴ ∴‎ ‎（2）由题设得，得，则 椭圆C：‎ 又有 ， 设 ，‎ 联立 消去，得 ‎ 则 且 ‎∴，‎ 解得，‎ 从而得所求椭圆C的方程为 ． ‎ ‎18.如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.‎ ‎（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求椭圆离心率的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎19.【【百强校】2017届湖南长沙长郡中学高三上周测】已知椭圆：的左焦点为，为椭圆上一点，交轴于点，且为的中点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆有且只有一个公共点，平行于的直线交于，交椭圆于不同的亮点，，问是否存在常熟，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在常数.‎ ‎【解析】（1）设椭圆的右焦点是，在△中，，∴，‎ ‎∴，∴，，∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）设直线的方程为，解方程组 消去得到，‎ 若，，则，，其中，‎ ‎，‎ 又直线的方程为，直线的方程为，‎ ‎∴点坐标，，‎ ‎∴，，‎ 所以存在常数，使得．‎ ‎20.已知点A,椭圆E:的离心率为；F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点 ‎（I）求E的方程；‎ ‎（II）设过点A的动直线与E 相交于P,Q两点。当的面积最大时，求的直线方程.‎ ‎【答案】（I）；（II）或.‎ ‎【解析】（I）设右焦点，由条件知，，得．‎ 又，所以，．故椭圆的方程为．‎ ‎（II）当轴时不合题意，故设直线，．‎ 将代入得．当，即时，‎ ‎．从而．又点到直线的距离 ‎，所以的面积．设，则，．因为，当且仅当时，时取等号，且满足．所以，当的面积最大时，的方程为或．‎ ‎21．【2017届浙江名校协作体高三上学期联考】已知椭圆，经过椭圆上一点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且点横坐标为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若是椭圆的一条动弦，且，为坐标原点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用点在椭圆上以及直线与椭圆只有一个公共点，建立关于，的方程组，即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，建立面积的函数关系式，求得函数的最值即可求解．‎ 试题解析：（1）∵在椭圆上，故，同时联立 得，化简得，由，‎ 可得，，故椭圆；（2）设，，直线方程为：，‎ 联立得，故，，‎ 由，得，‎ 故原点到直线的距离，∴，‎ 令，则，‎ 又∵， 当时，，‎ 当斜率不存在时，的面积为，综合上述可得面积的最大值为．‎ ‎22. 【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（2）由（1）知，，.‎ 设，因为点为第一象限的点，故.‎ 当时，与相交于，与题设不符.‎ 当时，直线的斜率为，直线的斜率为.‎ 又在椭圆E上，故.‎ 由，解得；，无解.‎ 因此点P的坐标为.‎ ‎ ‎