2018-2019学年江西省赣州教育发展联盟高二上学期12月联考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年江西省赣州教育发展联盟高二上学期12月联考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 江西省赣州教育发展联盟2018-2019学年高二上学期12月联考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知斜率为4的直线经过点，，则a的值为（ ）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线的斜率公式得到 ‎【详解】‎ 根据题意得到直线的斜率为 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了直线斜率的公式的应用，以及已知直线上两点求斜率的应用，简单题目.‎ ‎2．已知等差数列的前项和为，若， ，则（ ）‎ A．16 B．19 C．22 D．25‎ ‎【答案】D ‎【解析】设当差数列的首项为，公差为 ‎∵， ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，即 ‎∴‎ 故选D ‎3．从2，3,4,5,6,这5个数中任取三个不同的数，所取三个数能构成三角形的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到5个数取3个不同的数有10种取法，满足构成三角形的有7中取法，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 三个数能构成三角形,则要求较小的两边之和大于较大的第三边即可，从2，3,4,5,6,这5个数中任取三个不同的数，有种取法，满足条件的有：2，3，4；3，4，5；3，4，6；4，5，6；2，5，6；3，5，6；2，4，6.种，故满足条件的，概率为.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了古典概型的公式，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.‎ ‎4．椭圆的一个焦点与抛物线焦点重合，则椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到椭圆中c=1,再由进而得到离心率.‎ ‎【详解】‎ 抛物线焦点为（1.0），故椭圆的焦点坐标也为（1，0），椭圆中的c=1,故；.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的几何性质及其应用，列出不等式并转化为关于离心率的不等式是解答的关键，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).‎ ‎5．设命题，则是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定写法得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 命题，则是.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了全称命题的否定的写法，满足换量词，否结论，不变条件这一法则，注意全称命题的否定是特称命题.‎ ‎6．已知变量满足，则的最大值为（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】‎ 由变量x，y满足作出可行域如图，‎ 联立 解得A（2，1）．‎ 化目标函数z＝4x+y为y＝﹣4x+z，由图可知，‎ 当直线y＝﹣4x+z过点A时，‎ 直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：9．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 利用线性规划求最值的步骤：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域．‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．‎ ‎(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。‎ ‎7．已知条件：，条件：，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据每个条件得到相应的自变量的范围，进而得到,故q是p的充分不必要条件，是的充分不必要，可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 条件： ,条件：,解得；‎ ‎,故q是p的充分不必要条件，故是的充分不必要，是的必要不充分条件.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎8．过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1＝0的斜率，然后求出a的值即可。‎ ‎【详解】‎ 因为点P（2，2）满足圆的方程，所以P在圆上，‎ 又过点P（2，2）的直线与圆相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，‎ 所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1＝0平行，‎ 所以直线ax﹣y+1＝0的斜率为：a＝．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。‎ ‎9．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定义和计算公式，求得，从而可以判断其大小关系，求得结果.‎ 详解：根据题意有，而，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果.‎ ‎10．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.‎ 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 视频 ‎11．在中，，边上的高等于,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．‎ ‎【详解】‎ ‎∵在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，‎ ‎∴AB＝BC，‎ 由余弦定理得：AC＝‎ 三角形的面积：BC•BC＝AB•AC•sinA＝ ，‎ ‎∴sinA＝．‎ 故答案为：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形中的几何计算，熟练掌握余弦定理和三角形面积公式是解题的关键，是基础题．‎ ‎12．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为，过原点的直线 (斜率不为零)与椭圆交于两点，为椭圆的左、右焦点，则四边形的周长为（ ）‎ A．4 B． C．8 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知：离心率e＝，即4c2＝a2，根据菱形的面积公式可知S＝×2a×2b＝4，即ab＝2，由a2＝c2+b2，解得：a＝2，c＝1，由椭圆的定义可知：四边形AF1BF2的周长4a＝8．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：椭圆C：焦点在x轴上，‎ 由椭圆的离心率e＝，即4c2＝a2，‎ 由四个顶点构成的四边形的面积为4，根据四个顶点构成的棱形的面积公式可知S＝×2a×2b＝4，即ab＝2，‎ 由a2＝c2+b2，解得：a＝2，c=1，‎ 由椭圆的定义可知：四边形AF1BF2的周长4a＝8，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆的定义的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在长方体中，，与所成的角为，则 _______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，连接AC，由B1B∥C1C，可得∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出．‎ ‎【详解】‎ 如图所示，连接AC，‎ ‎∵B1B∥C1C，∴∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角．‎ 在Rt△AC1C中， ‎ 因为，故得到AC=.代入上式得到 ‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了异面直线所成的角、长方体的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎14．在中，,,则_________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过配凑角得到角A的大小，‎ ‎【详解】‎ 在中，，故得到 ‎ 故角A=，，由正弦定理得到 ‎ 故B=，C=；故.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了三角函数的配凑角的应用，两角和的正弦公式，以及正弦定理解决边角互化问题，较为综合，题目难度中等.‎ ‎15．数列满足，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过递推关系，求出数列的周期，然后求解数列的项．‎ ‎【详解】‎ 数列{an}满足，，‎ 可得 所以数列的周期为3，‎ ‎ .‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的递推关系式的应用，求解数列的周期是解题的关键．一般求数列中的特殊项是采用求通项的方法，或者构造函数求通项，如果通项不好求，则需要寻找规律，得到项之间的关系.‎ ‎16．已知直线，经过圆的圆心，则的最小值为___________ .‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆化成标准方程可得圆心为C（0，1），代入题中的直线方程算出b+c＝1，从而化简得＝（b+c）（）＝再根据基本不等式加以计算，可得到最小值.‎ ‎【详解】‎ 圆x2+y2﹣2y﹣15＝0化成标准方程，得x2+（y﹣1）2＝16，‎ ‎∴圆x2+y2﹣2y﹣15＝0的圆心为C（0，1），半径r＝4．‎ ‎∵直线ax+by+c﹣1＝0经过圆心C，∴a×0+b×1+c﹣1＝0，即b+c＝1，‎ 因此，＝（b+c）（）＝，‎ 由此可得当3b＝c，最小值为16．‎ 故答案为：16．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了直线和圆的位置关系和圆的标准方程的应用，以及均值不等式求最值的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知数列是递增的等比数列，且 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接化基本量列方程组，求出首项和公比，进而得到通项；（2）先由等比数列的前n项和公式求得前n项和，再由等差数列前n项和得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题设条件，， ‎ 可解得或（舍去）．‎ 由得公比，故.‎ ‎（Ⅱ）．‎ 又．‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎18．直线与坐标轴的交点是圆一条直径的两端点．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）圆的弦长度为且过点，求弦所在直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意可得，A（0，3）B（-4，0），AB的中点为圆的圆心，直径AB=5，从而可利用圆的标准方程求解；（2）圆C的弦AB长度为，所以圆心到直线的距离为1，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，即可求弦AB所在直线的方程 试题解析：（1）直线与两坐标轴的交点分别为，所以线段的中点为，，故所求圆的方程为 ‎（2）设圆心到直线的距离为，则 若直线斜率不存在，不符合题意．若直线斜率存在，设直线方程为，则，解得或 所以直线的方程为或．‎ 考点：直线和圆的方程的应用 ‎19．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照,分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）万；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x的值.‎ 试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，‎ 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．‎ 由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，‎ 解得a=0.30．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．‎ 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 ‎300 000×0.12="36" 000．‎ ‎（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，‎ 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，‎ 所以2.5≤x<3．‎ 由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，‎ 解得x=2.9．‎ 所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．‎ ‎【考点】频率分布直方图 ‎【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．‎ ‎20．已知函数 ‎（Ⅰ）已知分别为锐角三角形中角的对边，且满足 ，求的面积．‎ ‎（Ⅱ）将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，若，求函数的值域；‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）通过正弦定理可得到，再由得，再由正弦定理得到边a,代入面积公式即可；（Ⅱ）平移可得，，得到结合图像性质得到值域.‎ ‎【详解】‎ ‎ ．‎ ‎，‎ ‎（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，‎ ‎∴，∵，∴，由得，从而． ‎ 由正弦定理得：， ‎ ‎．‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）平移可得，‎ ‎∵，∴，‎ 当时，；当时，． ‎ ‎∴所求值域为．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了三角函数正弦定理以及面积公式的应用，也考查了正弦函数的平移，和值域问题，三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.‎ ‎21．如图，在四棱锥P - ABCD中，PD⊥底面ABCD，和交于点O,AB∥DC，，AD⊥CD，E为棱PD上一点.‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥AE；‎ ‎（Ⅱ）若面，，，求三棱锥体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）通过线面关系得到⊥面，进而得到线线；（Ⅱ）‎ ‎，通过相似以及平行线分线段成比例得到进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） PD⊥底面ABCD， ABCD， ‎ ‎⊥．‎ 又 AD⊥CD ,则 ⊥面． ‎ 又 PAD CD⊥AE． ‎ ‎（Ⅱ）由和交于点O，AB∥DC 所以和相似，相似比为1:2.则． ‎ 因为若面 当为的三等分点时，有，即． ‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查线线垂直的证明;证明线线垂直也可以从线面垂直入手,还考查了棱锥体积的求法，这个过程中会涉及到点面距离的求法，可以通过等体积法求点面距离，也可以通过线面垂直得到点面距离.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线与直线交于两点，‎ ‎（Ⅰ）当时，求在点和处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若轴上存在点，当变动时，总有,试求出坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）过的切线斜率为切线方程为：，与联立方程得，, 由得,同理求N点处的切线方程；（Ⅱ）当时，‎ ‎，联立直线和抛物线再结合韦达定理代入上式，可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，联立方程得或， ‎ 不妨取和，设过的切线斜率为，‎ 则其切线方程为：，与联立方程得，， ‎ 由得，‎ 分所以曲线在的切线方程为：， ‎ 同理，曲线在的切线方程为：.‎ 综上在点和处的切线方程分别为和，‎ ‎（Ⅱ）联立方程，消去整理得， ‎ 设，斜率分别为，则由根与系数关系得，‎ 由题意，当时，‎ ‎，‎ 将代入整理得恒成立，所以．‎ 所以轴上存在点，当变动时，总有.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎