2018-2019学年广东省汕头市金山中学高二下学期第一次月考试题 数学（理） Word版
2018-2019学年广东省汕头市金山中学高二下学期第一次月考理科数学
命题人：陈丽珊审题人：张学昭
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1、复数z=(3+2i)(3-i)，其中i为虚数单位，则z的虚部是（ ）
A.-3 B.3 C. 3i D. -3i
2、若S1=12x2dx，S2=121xdx，S3=12exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A. S1
0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|=|F1F2|.若直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为( )
A. 43 B. 53 C. 2 D. 3
12、已知a为常数，函数fx=xlnx-ax有两个极值点x1,x2x1<x2则（）
A. fx1<0,fx2>-12 B.fx1<0,fx2<-12
C.fx1>0,fx2<-12D. fx1>0,fx2>-12
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，满分20分)
13、已知复数z=2+i1-i(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为______
14、甲、乙两人从6门课程中各选修3门.则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有______ 种．
15、记等差数列{an}得前n项和为Sn，利用倒序相加法的求和办法，可将Sn表示成首项a1，末项an与项数的一个关系式，即Sn=(a1+an)n2；类似地，记等比数列{bn}的前n项积为Tn，bn>0(n∈N*)，类比等差数列的求和方法，可将Tn表示为首项b1，末项bn与项数的一个关系式，即公式Tn= ______ ．
16、已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足tanAtanB=2c-bb，则△ABC面积的最大值为_________．
三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)
17、(本小题满分共12分)设Sn是数列an的前n项和，已知a1=1，Sn=2-2an+1．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=-1nlog12an，求数列bn的前n项和Tn．
18、(本小题满分共14分)已知函数f(x)=13x3-ax+2a(a∈R)．
(1)当a=1时，求曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程；
(2)过点(2,0)作y=f(x)的切线，若所有切线的斜率之和为1，求实数a的值．
19、(本小题满分共14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB=2，∠ABC=60∘，E，F分别是BC，PC的中点．
(Ⅰ)证明：AE⊥PD；
(Ⅱ)设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为5，求二面角E-AF-C的余弦值．
20、(本小题满分共14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率为22，直线l：y=2上的点和椭圆O上的点的距离的最小值为1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)已知椭圆O的上顶点为A，点B，C是O上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F.记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2．
①求证：k1⋅k2为定值； ②求△CEF的面积的最小值．
21、(本小题满分共16分)已知函数fx=lnx-k-1x (k∈R)
①若x>1时讨论f(x)的单调性，并确定其极值;
②若对∀x∈e,e2都有f(x)<4lnx,求k范围;
③若x1≠x2且f(x1)=fx2证明：x1∙x2<e2k;
2017级高二第二学期月考
理科数学答案
BBAAD DBABC BA
13、12-32i 14、20015、(b1⋅bn)n16、334
17、解：(1)因为Sn=2-2an+1，
所以当n≥2时，Sn-1=2-2an，
两式相减得an=-2an+1+2an，
所以an+1an=12，
当n=1时，S1=2-2a2，
a2=12，
又a1=1，
所以数列{an}为首项为1，公比为12的等比数列，
故an=12n-1;
(2)由(1)可得bn=(-1)nlog12an=(-1)n(n-1)，
所以Tn=0+1-2+3-……+(-1)n(n-1)，
故当n为奇数时，Tn=1-n2，
当n为偶数时，Tn=n2，
综上故Tn=1-n2,n为奇数n2,n为偶函数．
18、解：(1)当a=1时，f(x)=13x3-x+2，
f'x=x2-1，k切=f'2=4-1=3
∵f(2)=83，
所以切线方程为y-83=3(x-2)，
整理得9x-3y-10=0；
(2)设曲线的切点为(x0,y0)，
则，k切=(13x3-ax+2a)'=x2-a
所以切线方程为y=(x02-a)(x-2)．
又因为切点(x0,y0)既在曲线f(x)上，又在切线上，
所以联立得y0=(x02-a)(x0-2)y0=13x03-ax0+2a，
可得x0=0或x0=3，
所以两切线的斜率之和为-a+(9-a)=9-2a=1，
∴a=4．
19、(Ⅰ)证明：∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，
∴三角形ABC为正三角形，
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，
又AD//BC，∴AE⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AE，
而PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，则AE⊥PD；
(Ⅱ)
解：过A作AH⊥PD于H，连HE，由(1)得AE⊥平面PAD
∴EH⊥PD，即EH=5，
∵AE=3，∴AH=2，则PA=2．
以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
A(0,0，0)，E(3,0，0)，D(0,2，0)，C(3,1，0)，P(0,0，2)，F(32,12,1)．
AE=(3,0，0)，AF=(32,12,1)，
设平面AEF的法向量m=(x,y,z)，
由m⋅AE=3x=0m⋅AF=32x+12y+z=0，取z=1，可得m=(0,-2,1)；
又∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面AFC，
故BD=(-3,3,0)为平面AFC的一个法向量，
∴cos=m⋅BD|m|⋅|BD|=2×35×12=155．
即二面角E-AF-C的余弦值为155．
20、(Ⅰ)解：由题知b=1，由a2-b2a=22，
所以a2=2,b2=1．故椭圆的方程为x22+y2=1；
(Ⅱ)①证明：设Bx0,y0y0>0，则x022+y02=1，
因为点B，C关于原点对称，则C-x0,-y0，
所以k1·k2=y0+1x0·y0-1x0=y02-1x02=-x022x02=-12；
②解：直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1>0，则k2<0，
令y=2，得E1k2,2,F1k1,2，
而yC=k1xC+1=-4k122k12+1+1=-2k12+12k12+1，
所以，△CEF的面积SΔCEF=12×|EF|×(2-yC)
=12(1k1-1k2)(2+2k12-12k12+1)=12⋅k2-k1k1k2⋅6k12+12k12+1．
由k1⋅k2=-12得k2=-12k1，
则SΔCEF=2k12+12k1⋅6k12+12k12+1=3k1+12k1≥6，当且仅当k1=66取得等号，
所以△CEF的面积的最小值为6．
21、解：（1）∵f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），
∴x＞0， =lnx﹣k，
①当k≤0时，∵x＞1，∴f′（x）=lnx﹣k＞0，
函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；
②当k＞0时，令lnx﹣k=0，解得x=ek，
当1＜x＜ek时，f′（x）＜0；当x＞ek，f′（x）＞0，
∴函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+∞），
在区间（1，+∞）上的极小值为f（ek）=（k﹣k﹣1）ek=﹣ek，无极大值．
（2）∵对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，
∴f（x）﹣4lnx＜0，
即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x∈[e，e2]恒成立，
即k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，
令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，
∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，
∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣，
要使k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，
∴k+1＞2﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，+∞）．
证明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，
在区间（ek，+∞）上单调递增，且f（ek+1）=0，
不妨设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，
要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，
∵f（x）在区间（ek，+∞）上单调递增，∴f（x2）＜f（），
又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜，
构造函数h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），
即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x∈（0，ek）
h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），
∵x∈（0，ek），∴lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，
∴函数h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h′（x）＜h（ek），
∵，故h（x）＜0，
∴f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），∴x1x2＜e2k成立．
