广东省华美实验学校2020届高三4月网上考试数学（理）试题
2019-2020学年度华美实验学校高三网上考试
(理科)数学试题卷2020.4
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分,每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上).
1.已知复数z满足z+2i∈R,z的共轭复数为，则()
A.0 B.4i C.-4i D.-4
2.设集合则A∩B=()
A.{x|2
0时,对任意都有成立,求实数b的取值范围.
22.选修4-4:参数方程
在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为(θ为参数),过点且倾斜角为α的直线l与圆O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数 M为不等式f(x)<2的解集.
(I)求M;
(II)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
2019-2020 高三4月理科数学网考参考答案
一、选择题答题栏（共12小题，每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
C
D
D
B
B
D
A
A
D
C
B
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
(13) (14) (15) 24 (16)
17.解：试题解析：（1）由题设得，即.
由正弦定理得. 故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故. 由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
18．【解析】（1）连接，由已知得，
可得四边形为菱形，故，
又因为平面平面，且交线为，可得，
由线面垂直的判定定理，可得平面，
又由平面，所以，
又由，所以平面.
（2）取的中点，连接，则面,过作，则面，以为原点为轴，为轴，为轴建系，
则，
可得，
设面的法向量，
则，令，可得，
则， 即直线与平面所成角的正弦值为.
19. （1）由，两边同时取常用对数得：；
设
，，
，
把样本中心点代入,得:，
，
关于的回归方程为：；
把代入上式，；
活动推出第8天使用扫码支付的人次为331；
（2）记一名顾客购物支付的费用为，
则的取值可能为：，，，；
；；
；
分布列为：
所以，一名顾客购物的平均费用为：
（元）
20. 【详解】
（1）由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b）
又点P的坐标为（0，1），且＝－1
于是，解得a＝2，b＝ 所以椭圆E方程为.
（2）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1
A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
联立，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0
其判别式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0
所以
从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]
＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1
＝
＝－ 所以，当λ＝1时，－＝－3，
此时，＝－3为定值.
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD
此时＝－2－1＝－3
故存在常数λ＝1，使得为定值－3.
21. 【详解】
1函数的定义域为．
当时，，所以．
当时，，所以函数在上单调递增．
当时，令，解得：，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增．
综上所述，当，时，函数在上单调递增；
当，时，函数在上单调递减，在上单调递增．
2对任意，，有成立，
，
，成立，
，时，．
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，
，，，
设，，．
在递增，，
可得，
，即，
设，，在恒成立．
在单调递增，且，
不等式的解集为．
实数b的取值范围为．
22详解：（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
（2）的参数方程为为参数， ．
设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是 为参数， ．
23试题解析：（I）
当时，由得解得；
当时，；
当时，由得解得.
所以的解集.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而
，
因此
