高考数学专题复习：课时达标检测（四十六） 双 曲 线

高考数学专题复习：课时达标检测（四十六） 双 曲 线

课时达标检测（四十六） 双 曲 线 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ 解析：选D　因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.‎ ‎2．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选B　在双曲线中离心率e＝＝ ＝，可得＝，故双曲线的渐近线方程是y＝±x.‎ ‎3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(　　)‎ A．2 B. ‎ C. D. 解析：选C　由渐近线互相垂直可知·＝－1，即a2＝b2，即c2＝‎2a2，即c＝a，所以e＝.‎ ‎4．(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－y2＝1 B．x2－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选A　由焦距为2，得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.‎ ‎5．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.‎ 解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．‎ ‎∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2，‎ ‎∴c＝|OB|＝2，∠AOB＝.‎ ‎∵直线OA是渐近线，方程为y＝x，∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b.‎ 又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.‎ 答案：2‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)‎ A．离心率相等 B．虚半轴长相等 C．实半轴长相等 D．焦距相等 解析：选D　由00，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A‎1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A‎2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)‎ A．± B．± ‎ C．±1 D．± 解析：选C　由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Bc，，C.∵A1B⊥A‎2C，∴·＝－1，整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.‎ ‎5．(2017·江南十校联考)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为(　　)‎ A. B. ‎ C．2 D. 解析：选C　由题意知F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，点P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故点P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.‎ ‎6．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)‎ A．(1，) B．(1， ]‎ C．(，＋∞) D．[，＋∞)‎ 解析：选C　∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，∴e＝＝ ＞＝.即双曲线离心率的取值范围为(，＋∞)．‎ 二、填空题 ‎7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的方程为________________．‎ 解析：易得椭圆的焦点为(－，0)，(，0)，∴∴a2＝1，b2＝4，∴双曲线C的方程为x2－＝1.‎ 答案：x2－＝1‎ ‎8．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若v＝，则双曲线的渐近线方程为____________．‎ 解析：由得x＝－，由 解得x＝，不妨设xA＝－，xB＝，‎ 由＝可得－＋c＝＋，‎ 整理得b＝‎3a.‎ 所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.‎ 答案：3x±y＝0‎ ‎9．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于______．‎ 解析：由题意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|＝|BF1|＝2，所以其面积为×2×2＝4.‎ 答案：4‎ ‎10．(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．‎ 解析：如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝‎2c.‎ 又2|AB|＝3|BC|，‎ ‎∴2×＝3×‎2c，‎ 即2b2＝‎3ac，‎ ‎∴2(c2－a2)＝‎3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．‎ 答案：2‎ 三、解答题 ‎11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，‎ ‎－)．点M(3，m)在双曲线上．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)求证：·＝0；‎ ‎(3)求△F1MF2的面积．‎ 解：(1)∵e＝，‎ ‎∴双曲线的实轴、虚轴相等．‎ 则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.‎ ‎∵双曲线过点(4，－)，‎ ‎∴16－10＝λ，即λ＝6.‎ ‎∴双曲线方程为－＝1.‎ ‎(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，‎ 则＝(－2－3，－m)，‎ ‎＝(2－3，－m)．‎ ‎∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，‎ ‎∵M点在双曲线上，‎ ‎∴9－m2＝6，即m2－3＝0，‎ ‎∴·＝0.‎ ‎(3)△F1MF2的底|F‎1F2|＝4.‎ 由(2)知m＝±.‎ ‎∴△F1MF2的高h＝|m|＝，‎ ‎∴S△F1MF2＝×4×＝6.‎ ‎12．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F‎1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.‎ ‎(1)求椭圆和双曲线的方程；‎ ‎(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．‎ 解：(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1，则 解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.‎ 故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.‎ ‎(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，‎ 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.‎ 又|F‎1F2|＝2，‎ 所以cos∠F1PF2＝ ‎＝＝.‎