2017-2018学年江苏省扬州中学高二上学期月考(1月)数学试题 Word版

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2017-2018学年江苏省扬州中学高二上学期月考(1月)数学试题 Word版

‎2017-2018学年江苏省扬州中学高二上学期月考(1月)数学试题 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应位置)‎ ‎1.已知命题:.是: .‎ ‎2.已知集合,集合,若命题“”是命题“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是 . ‎ ‎3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,300,400,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,输出的s值为 . ‎ ‎5.抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 .‎ ‎6.曲线 在点 处的切线方程为  . ‎ ‎7.函数 的单调减区间为  . ‎8.函数f (x)=x-sinx在区间[0,π]上的最小值是 . ‎ ‎9. 若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧,则= .‎ ‎10. 过曲线上一点处的切线分别与x轴,y轴交于点A、B,是坐标原点,若的面积为,则 . ‎ ‎11. 当 时,函数 有极值 ,则 的值为  . ‎ ‎12. 若函数 有两个极值点 ,,其中 ,,且 ,则方程 的实根个数为  . ‎ ‎13.已知椭圆()的左、右焦点为、,是椭圆上异于顶点的一点,在上,且满足,,为坐标原点.则椭圆离心率 的取值范围 .‎ ‎ ‎ ‎14. 若函数(是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 .‎ ‎ ① ② ③ ④ 二、解答题(本大题共6小题,计90分.其中:15,16,17各14分; 18,19,20各16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.为选拔选手参加“中国汉字听写大会”,某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 分)作为样本(样本容量为 )进行统计.按照 ,,,, 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在 , 的数据).‎ ‎ ‎ ‎(1)求样本容量 和频率分布直方图中的 , 的值;‎ ‎(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在 分以上(含 分)的学生中随机抽取 名学生参加“中国汉字听写大会”,求所抽取的 名学生中至少有一人得分在 内的概率.‎ ‎16.设p:实数x满足x 2﹣4ax+3a 2<0; q:实数x满足  <0.‎ ‎(1)若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;‎ ‎(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.‎ ‎17.如图所示的镀锌铁皮材料ABCD,上沿DC为圆弧,其圆心为A,圆半径为‎2米,AD⊥AB,BC⊥AB,且BC=‎1米。现要用这块材料裁一个矩形PEAF(其中P在圆弧DC上、E在线段AB上,F在线段AD上)做圆柱的侧面,若以PE为母线,问如何裁剪可使圆柱的体积最大?其最大值是多少?‎ ‎18.已知函数,其中.‎ ‎(1)若,,,求的极值;‎ ‎(2)对于给定的实数、、,函数图象上两点,()处的切线分别为.若直线与平行,证明:A、B关于某定点对称,并求出该定点.‎ ‎19.已知椭圆C:的离心率为,点在椭圆C上.‎ ‎ (1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点O为圆心的圆,满足此圆与相交两点,(两点均不在坐标轴上),且使得直线, 的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎ (1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若有两个零点,求a的取值范围. ‎ 高二数学 ‎1.已知命题:.是: . ‎2.已知集合,集合,若命题“”是命题“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是 . ‎3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,300,400,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ‎ 件.24‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,输出的s值为 . ‎5.抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 ‎6.曲线 在点 处的切线方程为  . ‎ ‎7.函数 的单调减区间为  .‎ ‎8.函数f (x)=x-sinx在区间[0,π]上的最小值是 . ‎9. 若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧,‎ 则= 18‎ ‎10. 过曲线上一点处的切线分别与x轴,y轴交于点A、B,是坐标原点,若的面积为,则 ‎ 11. 当 时,函数 有极值 ,则 的值为  . ‎ ‎12. 若函数 有两个极值点 ,,其中 ,,且 ,则方程 的实根个数为  .5 ‎ ‎13.已知椭圆()的左、右焦点为、,是椭圆上异于顶点的一点,在上,且满足,,为坐标原点.则椭圆离心率的取值范围 .‎ 设 , 即 ‎ 联立方程得:,消去得: 解得:或 ‎ ‎ 解得: 综上,椭圆离心率的取值范围为. ‎ ‎14. 若函数(是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 .‎ ‎ ① ② ③ ④ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】①在上单调递增,故具有性质;‎ ②在上单调递减,故不具有性质;‎ ③,令,则,当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增,故不具有性质;‎ ④,令,则,在上单调递增,故具有性质.‎ ‎15.为选拔选手参加“中国汉字听写大会”,某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 分)作为样本(样本容量为 )进行统计.按照 ,,,, 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在 , 的数据).‎ ‎ ‎ ‎(1)求样本容量 和频率分布直方图中的 , 的值;‎ ‎(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在 分以上(含 分)的学生中随机抽取 名学生参加“中国汉字听写大会”,求所抽取的 名学生中至少有一人得分在 内的概率.‎ ‎15. (1) 由题意可知,样本容量 ,,.‎ ‎    (2) 由题意可知,分数在 内的学生有 人,设为 ,分数在 内的学生有 人,设为 ,抽取的 名学生的所有基本事件为: ,共 个,其中 名同学的分数至少有一名得分在 内的基本事件为: ,共 个,‎ 所以所抽取的 名学生中至少有一人得分在 内的概率为 .‎ ‎16.设p:实数x满足x 2﹣4ax+3a 2<0; q:实数x满足  <0.‎ ‎(1)、若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;‎ ‎(2)、若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.‎ ‎(1).;(2) ‎17.如图所示的镀锌铁皮材料ABCD,上沿DC为圆弧,其圆心为A,圆半径为‎2米,AD⊥AB,BC⊥AB,且BC=‎1米。现要用这块材料裁一个矩形PEAF(其中P在圆弧DC上、E在线段AB上,F在线段AD上)做圆柱的侧面,若以PE为母线,问如何裁剪可使圆柱的体积最大?其最大值是多少?‎ ‎17. 解法1:分别以AB、AD所在直线为轴、轴建立直角坐标系,则圆弧DC的方程为:,设,圆柱半径为,体积为,则,,, ‎ ‎∴=,‎ , 6分 设,,‎ ,令,得 10分 当时,,是减函数;当时,,是增函数,‎ ‎∴当时,有极大值,也是最大值,‎ ‎∴当米时,有最大值米3,此时米,‎ 答:裁一个矩形,两边长分别为和,能使圆柱的体积最大,其最大值为。 14分 解法2:设,则,,‎ 由,得,‎ ‎∴,‎ 设,, ,‎ 令,得,‎ 当时,,是减函数;当时,,是增函数,‎ ‎∴当时,有极大值,也是最大值。以下略。‎ ‎18.已知函数,其中.‎ ‎(1)若,,,求的极值;‎ ‎(2)对于给定的实数、、,函数图象上两点,()处的切线分别为.若直线与平行,证明:A、B关于某定点对称,并求出该定点.‎ ‎18.(Ⅰ)当,,,时,,解得,‎ 极大值,极小值 6分 ‎(Ⅱ)因为,‎ 所以,所以,的斜率分别为,.‎ 又直线与平行,所以,即,‎ 因为,所以, 从而,‎ 所以 .‎ 又由上 ,所以点,()关于点对称.故当直线与平行时,点与点关于点对称.‎ 注:对称点也可写成.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 已知椭圆C:的离心率为,点在椭圆C上.‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点O为圆心的圆,满足此圆与相交两点,(两点均不在坐标轴上),且使得直线, 的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎19.(Ⅰ)解:由题意,得,, ……2分 ‎ 又因为点在椭圆上,‎ ‎ 所以, ………3分 ‎ 解得,,,‎ ‎ 所以椭圆C的方程为. ………5分 ‎ (Ⅱ)结论:存在符合条件的圆,且此圆的方程为. ………6分 ‎ 证明如下:‎ ‎ 假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为.‎ 当直线的斜率存在时,设的方程为. ……7分 ‎ 由方程组 得, ……8分 ‎ 因为直线与椭圆有且仅有一个公共点,‎ ‎ 所以,即. ………9分 ‎ 由方程组 得, …10分 ‎ 则.‎ ‎ 设,,则,, ………11分 ‎ 设直线, 的斜率分别为,, ‎ ‎ 所以 ‎ , …………13分 ‎ 将代入上式,得.‎ ‎ 要使得为定值,则,即,验证符合题意.‎ ‎ 所以当圆的方程为时,圆与的交点满足为定值.‎ ‎ …………15分 ‎ 当直线的斜率不存在时,由题意知的方程为,‎ ‎ 此时,圆与的交点也满足.‎ 综上,当圆的方程为时,圆与的交点满足斜率之积为定值. ‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若有两个零点,求a的取值范围. ‎ 综上,的取值范围为.‎
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