2018-2019学年四川省遂宁中学外国语实验学校高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）
2018-2019学年四川省遂宁中学外国语实验学校高二下学期期中考试数学（理）试题
考试时间：120分钟 总分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.命题“∀x∈R，ex>x2”的否定是
A．不存在x∈R，使ex>x2 B．∃x∈R，使ex
1”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7.的展开式中的系数为
A．280 B． C． D．84
8.顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线的焦点在直线2xy2=0上，则此抛物线的方程为
A．y2= 2x B．y2= 2x C．y2= 4x D．y2= 4x
9.直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，AB＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为
A．36 B．18 C．48 D．24
10. 设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形, 则椭圆离心率为
A. B. C. D.
11.设F1、F2为双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则的值
A. B. C. D.
12.抛物线y2=2px (p>0)的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.双曲线2x2－y2=1的实轴长与虚轴长之比为_____________.
14.直线y=kx+b被椭圆x2+2y2=4所截得线段中点坐标是，则k=_____________.
15.抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，设，则_____________.
16.如图，焦点在轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为、，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与
轴的正半轴交于点，△的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为_____________.
三、解答题:17题10分，18、19、20、21、22题每小题12分，共70分.
17.（本小题满分10分）设命题p：2x2－3x＋1≤0；命题q： a－1≤ x ≤a＋1，
（1）若a=1且pq为真命题，求x取值范围；
（2）若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18. （本小题满分12分）2019年某市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93，其中成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现从这12件作品中任意抽取3件.
（1）恰好抽到2件优秀作品的概率；
（2）若抽到优秀作品的件数为x，求x的分布列.
.
19.（本小题满分12分）椭圆的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C左右两焦点分别是F1、F2，且C上一点P满足∠F1PF2=60°,
求△F1PF2面积.
20.（本小题满分12分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上，且其上一点P（m，－2），到焦点的距离为4，
（1）求m；
（2）若抛物线C与直线y=2x－2的相交于A、B两点，求丨AB丨.
21.（本小题满分12分）已知点F是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C交于A，B
两点.
（1）若C为等轴双曲线，求tan∠AEF
（2）若△ABE是锐角三角形，求该双曲线的离心率e的取值范围．
22.（本小题满分12分）已知一动圆经过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点任意作相互垂直的两条直线，分别交曲线C于不同的两点A,B和不同的两点D,E. 设线段AB,DE的中点分别为P,Q.
①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求的最小值.
参考答案
一 选择题 每小题5分，共60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
D
A
B
C
A
D
B
C
二 填空题 每小题5分，共20分
13. 14. 1 15. 16.
三 解答题 17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分
17.解：（1）P : ≤x≤1，令A＝[ ,1]．
q : a－1≤x≤a＋1，令B＝[a－1,a＋1]．
若a=1，则B=[0,2],
∵pq为真命题 ∴x∈[ ,1]
（2）∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，
即AB，∴， ∴0≤a≤. 即a∈[0，]．
18、解：（1）由题12件作品中有4件优秀品，故
（2）由题x的可能值为0,1，2,3 则
，，
∴x的分布列为：
x
0
1
2
3
P
19.解：（1）由题，b=, ∴a =3 ∴椭圆C的方程：
（2）由定义：PF1+PF2=6 两边平方得：PF12+2PF1PF2+PF22=36
△F1PF2中，由余弦定理得：F1F22=PF12+PF22－2PF1 PF2 COS60°
即PF12+PF22－PF1 PF2 =16
－得3PF1 PF2 =20 ∴S△F1PF2=PF1 PF2 Sin60°=
20.解：（1）由题显然抛物线开口向下，如图作PH⊥准线，
由抛物线定义可得：PH=PF=4，
又P（m，-2），∴抛物线的准线方程：y=2
∴抛物线方程：x2=-8y ∴m=±4
（2）由（1）抛物线焦点（0，-2）在直线y=2x－2上
设A（x1, y1）B（x2, y2）则由抛物线定义可得：
AB=AF+BF= 4-y1-y2
又A、B满足 ∴x2 = -8(2x -2) 即 x2 +16x -16= 0
∴x1+x2= -16 ∴y1+y2=2x1 -2+2x2 -2=2（x1+x2）-4= -36 ∴AB=40
21.解：由题意知，A ，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，
（1）∵双曲线C为等轴双曲线. ∴a=b ∴c=
∴tan∠AEF=
（2）若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．
根据对称性，显然△ABE为等腰三角形，∴只要∠AEF< 即可．
∴|AF|<|EF| 即1，故1
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