高考文科数学江西卷word解析版

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‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学 文史类(江西卷)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．(2013江西，文1)复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在(　　)．‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：z＝i(－2－i)＝1－2i，在复平面上的对应点为(1，－2)，在第四象限，故选D.‎ ‎2．(2013江西，文2)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)．‎ A．4 B．‎2 C．0 D．0或4‎ 答案：A 解析：当a＝0时，显然不成立；当a≠0时．由Δ＝a2－‎4a＝0，得a＝4.故选A.‎ ‎3．(2013江西，文3)若，则cos α＝(　　)．‎ A． B． C． D．‎ 答案：C 解析：cos α＝.故选C.‎ ‎4．(2013江西，文4)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)．‎ A． B． C． D．‎ 答案：C 解析：从A，B中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为.故选C.‎ ‎5．(2013江西，文5)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．‎07 C．02 D．01‎ 答案：D 解析：所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D.‎ ‎6．(2013江西，文6)下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是(　　)．‎ A．(－∞，－1) B．(－1,0)‎ C．(0,1) D．(1，＋∞)‎ 答案：A 解析：原不等式等价于①或②‎ ‎①无解，解②得x＜－1.故选A.‎ ‎7．(2013江西，文7)阅读如下程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是(　　)．‎ A．S＜8 B．S＜‎9 C．S＜10 D．S＜11‎ 答案：B 解析：i＝2，S＝5；i＝3，S＝8；i＝4，S＝9，结束．所以填入的条件是“S＜9”．故选B.‎ ‎8．(2013江西，文8)一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为(　　)．‎ A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π 答案：A 解析：由三视图可知，该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成．所以体积V＝4×10×5＋×π·32·2＝200＋9π.故选A.‎ ‎9．(2013江西，文9)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝(　　)．‎ A．2∶ B．1∶‎2 C．1∶ D．1∶3‎ 答案：C 解析：射线FA的方程为x＋2y－2＝0(x≥0)．‎ 如图所示，知tan α＝，∴sin α＝.‎ 由抛物线的定义知|MF|＝|MG|，‎ ‎∴.故选C.‎ ‎10．(2013江西，文10)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为‎1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆 O沿l1以‎1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图像大致为(　　)．‎ 答案：B 解析：假设经过t秒后，圆心移到O1，则有∠EO‎1F＝2∠AO‎1F，且cos∠AO‎1F＝1－t.‎ 而x＝1·∠EO‎1F，∴y＝cos x＝cos ∠EO‎1F＝cos 2∠AO‎1F＝2cos2∠AO‎1F－1＝2(1－t)2－1＝2t2－4t＋1＝2(t－1)2－1，t∈[0,1]．故选B.‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ 第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．(2013江西，文11)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.‎ 答案：2‎ 解析：切线斜率k＝＝2，‎ 又y′＝αxα－1在点(1,2)处，y′|x＝1＝α，故α＝2.‎ ‎12．(2013江西，文12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．‎ 答案：6‎ 解析：由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以Sn＝＝2(－1＋2n)≥100，∴2n≥51，∴n≥6.‎ ‎13．(2013江西，文13)设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．‎ 答案：[2，＋∞)‎ 解析：∵f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝2sin∈[－2,2]，又∵|f(x)|≤a恒成立，∴a≥2.‎ ‎14．(2013江西，文14)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．‎ 答案：‎ 解析：圆心在直线x＝2上，所以切点坐标为(2,1)．‎ 设圆心坐标为(2，t)，由题意，可得4＋t2＝(1－t)2，∴，半径.‎ 所以圆C的方程为.‎ ‎15．(2013江西，文15)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．‎ 答案：4‎ 解析：作FO⊥平面CED，则EO⊥CD，FO与正方体的侧棱平行，所以平面EOF一定与正方体的左、右侧面平行，而与其他四个面相交．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．(2013江西，文16)(本小题满分12分)正项数列{an}满足：－(2n－1)an－2n＝0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)令，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)由－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.‎ 由于{an}是正项数列，所以an＝2n.‎ ‎(2)由an＝2n，，则，‎ ‎.‎ ‎17．(2013江西，文17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.‎ ‎(1)求证：a，b，c成等差数列；‎ ‎(2)若，求的值．‎ 解：(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，‎ 因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B.‎ 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．‎ ‎(2)由，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，‎ 即有5ab－3b2＝0，所以.‎ ‎18．(2013江西，文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X＜0就去下棋．‎ ‎(1)写出数量积X的所有可能取值；‎ ‎(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．‎ 解：(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.‎ ‎(2)数量积为－2的有·，共1种；‎ 数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；‎ 数量积为0的有·，·，·，·，共4种；‎ 数量积为1的有·，·，·，·，共4种．‎ 故所有可能的情况共有15种．‎ 所以小波去下棋的概率为；‎ 因为去唱歌的概率为，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝.‎ ‎19．(2013江西，文19)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCDA1B‎1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.‎ ‎(1)证明：BE⊥平面BB‎1C1C；‎ ‎(2)求点B1到平面EA‎1C1的距离．‎ ‎ (1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.‎ 在Rt△BFE中，BE＝.‎ 在Rt△CFB中，BC＝.‎ 在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，‎ 故BE⊥BC.‎ 由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，‎ 所以BE⊥平面BB‎1C1C.‎ ‎(2)解：三棱锥EA1B‎1C1的体积V＝AA1·＝.‎ 在Rt△A1D‎1C1中，A‎1C1＝.‎ 同理，EC1＝，‎ A1E＝.‎ 故＝.‎ 设点B1到平面EA‎1C1的距离为d，则三棱锥B‎1A1C1E的体积 V＝·d·＝，‎ 从而，.‎ ‎20．(2013江西，文20)(本小题满分13分)椭圆C：(a＞b＞0)的离心率，a＋b＝3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：‎2m－k为定值．‎ 解：(1)因为，‎ 所以，.‎ 代入a＋b＝3，得，a＝2，b＝1.‎ 故椭圆C的方程为.‎ ‎(2)方法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)，①‎ ‎①代入，解得P.‎ 直线AD的方程为：.②‎ ‎①与②联立解得M.‎ 由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知，解得N.‎ 所以MN的斜率为m＝，‎ 则‎2m－k＝(定值)．‎ 方法二：设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则，‎ 直线AD的方程为：，‎ 直线BP的方程为：，‎ 直线DP的方程为：，令y＝0，由于y0≠1可得N，‎ 联立 解得M，‎ 因此MN的斜率为 m＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ 所以‎2m－k＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝(定值)．‎ ‎21．(2013江西，文21)(本小题满分14分)设函数f(x)＝a为常数且a∈(0,1)．‎ ‎(1)当时，求；‎ ‎(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；‎ ‎(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a2,0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间上的最大值和最小值．‎ 解：(1)当时，，.‎ ‎(2)f(f(x))＝‎ 当0≤x≤a2时，由解得x＝0，‎ 因为f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；‎ 当a2＜x≤a时，由解得∈(a2，a)，‎ 因，‎ 故为f(x)的二阶周期点：‎ 当a＜x＜a2－a＋1时，由(x－a)＝x解得∈(a，a2－a＋1)，‎ 因，‎ 故不是f(x)的二阶周期点；‎ 当a2－a＋1≤x≤1时，‎ 由解得∈(a2－a＋1,1)，因＝，‎ 故为f(x)的二阶周期点．‎ 因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，，.‎ ‎(3)由(2)得A，‎ B，‎ 则，，‎ 因为a∈，有a2＋a＜1，‎ 所以 ‎＝.‎ ‎(或令g(a)＝a3－‎2a2－‎2a＋2，‎ g′(a)＝‎3a2－‎4a－2‎ ‎＝，‎ 因a∈(0,1)，g′(a)＜0，则g(a)在区间上的最小值为，‎ 故对于任意a∈，g(a)＝a3－‎2a2－‎2a＋2＞0，‎ ‎)，‎ 则S(a)在区间上单调递增，‎ 故S(a)在区间上的最小值为，最大值为.‎