福建省泉州市一中2012届高三数学上学期期中考试 理 新人教A版

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福建省泉州市一中 2011—2012 学年高三上学期期中考试（数学理） （满分：150 分 考试时间:120 分钟 ） 一、选择题（请把选项代号填入Ⅱ卷相应位置上，每题 5 分。本题满分 60 分） 1. 已知函数 的定义域为 M，g(x)= 的定义域为 N，则 M∩N= ( ) A．{ x |-1≤x＜1} B．{ x | x >1} C．{x|-1＜x＜1} D． 2．在 ABC 中，角 A、B、C 的大小成等差数列，则 sin(A+C)= ( ) A. B. C. D. 3. 在等差数列 中, ( ) A. 5 B．6 C．4 D．84．下列函数 中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B． C． D． 5. 已知 ,且关于 的方程 有实根,则 与 的夹角的取值范 围是 ( ) A.[0, ] B. C. D. 6 ． 已 知 为 的 三 个 内 角 的 对 边 ， 向 量 ， ． 若 ， 且 ， 则 角 ( ) A. B. C. D. 7．曲线 x-y=0, ，所围成的图形的面积是 （　　） A．1 　　　 B． 　　　 C．9 　 D． 8．已知函数 ，则 =( ) A. 2011 B. 8 　 C. 0 　 　 D. 2 9．已知非零向量AB→ 与AC→ 满足( AB→ |AB→ | + AC→ |AC→ | )·BC→ =0 且 AB→ |AB→ | · AC→ |AC→ | = 1 2 , 则△ABC 为( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三 角形 1( ) 1 f x x = − ln(1 )x+ φ ∆ 2 1− 2 3 2 3− 2 1 }{ na =+++= 1075211 1111 aaaaS ，则项和若前 3 ,y x x R= − ∈ sin ,y x x R= ∈ 0,1 ≠= xxy x1( ) ,2y x R= ∈ | | 2 | | 0a b= ≠  x 2 | | 0x a x a b+ + ⋅ =   a b 6 π [ , ]3 π π 2[ , ]3 3 π π [ , ]6 π π a b c， ， ABC△ A B C， ， ( 3 1)= −，m (cos sin )A A= ，n ⊥m n cos cos sina B b A c C+ = B = 3 π 3 2π 6 π 6 5π xxy 22 −= 2 9 2 5 4lgln)1()( 32 +−+= xnxmxf )2011 1()2011( ff + 10．已知向量 ,则 = ( ) A．1 B． C．2 D． 11．已知各项均不为零的数列 ,定义向量 ， ， . 下列命题中为真命题的是 ( ) A．若 总有 成立，则数列 是等差数列 B．若 总有 成立，则数列 是等比数列 C．若 总有 成立，则数列 是等差数列 D．若 总有 成立，则数列 是等比数列 12. f (x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数 ，且满足 ，若 ， ，则 的大小关系是（ ）A． B． C． D． 二、填空题：(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分)。 13. 已知 是公比为 的等比数列，且 成等差数列，则 _______ ． 14．若 是定义在 上的奇函数，且 ，则 . 15. 若 是偶函数,则有序实数对( )可以是 . (写出你认为正确的一组数即可). 16. 给出下列四个命题: ① 集合 A={－1，0，1}，B={ }，则 A B={1} ② 若函数 , , 使 ; ③ 在△ABC 中，若 A>B，则 sinA>sinB ; ④ 在数列 中， , 为非零常数．，且前 项和为 ，则实数 =-1; ⑤ 已 知 向 量 , ， , ， , ; ⑥ 集合 ,若 则 的图象 关于原点对称. 其中所有正确命题的序号是 . ),sin,(cos αα=a ))3sin(),3(cos( παπα ++=b ba  − 5 3 { }na 1( , )n n na a +=c ( , 1)n n n= +b *n N∈ *n N∀ ∈ / /n nc b { }na *n N∀ ∈ / /n nc b { }na *n N∀ ∈ n n ⊥c b { }na *n N∀ ∈ n n ⊥c b { }na ( ) ( )′ ≤xf x f x 3 )3(3 fa = ),2(2 π π fb = 3lg )3(lgfc = cba ,, cba >> abc >> c a b> > bca >> { }na q 2 4 3a a a， ， q = )(xf R )1()( xfxf −= =)2012(f ( ) sin( ) sin( )( 0)4 4f x a x b x ab π π= + + − ≠ ,a b Axxyy ∈= ,cos|  xxxf cos2sin)( += ∃ )2,0( πα ∈ 2 5)( =αf { }na 1n na ca+ = c n 3n nS k= + k xa 2 3(cos= )2 3sin x 2(cos xb = )2sin x− ||)( babaxf +−⋅= ]3,2 3[)(],2,0[ −∈∈ xfx 则π { }2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,M f x f x f y f x y f x y x y R= − = + ⋅ − ∈ Mxf ∈)( )(xfy = 泉州一中 2011—2012 学年度第一学期期中考试参考答案 高三数学（理科） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C A B C B B A A A B 二、填空题： 13. 1 或 14. 0 15. （1，-1）(a+b=0)皆可 16. ①③④ 三、解答题：本大题共 4 题，共 54 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分 12 分） 函数 f（x）＝Asin(ωx＋φ)　(A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的图象如图所示， （1）求 y= f（x）的表达式； (2）若 ,求 y=f(x)的值域。 解：（1）依题意得 A=2， ……………………………… 2 分 又 ω=2 f（x）＝2sin(2x＋ φ) ……………………………… 4 分 把点（ ，2）带入上式得，2sin( ＋φ)=2，又|φ|＜ φ= ……………………………… 6 分 f（x）＝2sin(2x＋ )　……………………………… 7 分 (2） ……………………………… 12 分 18．（本小题满分 12 分） 在等比数列 中， ，公比 ， ， 且 4 是 与 的等比中项，⑴求数列 的通项公式； ⑵设 ，求数列 的前 项 和 ， 解：（1）设等比数列 的公比为 q，则 ，由已知得 2 1− 2 π ]4,12[ ππ−∈x ⇒==⇒=−= πω ππππ 2 263 2 2 TT ∴ 6 π 62 π× 2 π ∴ 6 π ∴ 6 π ]2,0[]3 2,0[62],4,12[ ∈⇒∈+∴−∈ yxx ππππ  }{ na *)(0 Nnan ∈> 1>q 1002 534231 =++ aaaaaa 2a 4a }{ na nnn aab 2 2 log+= }{ nb n nS { }na 1 1 n na a q −= y 2 － 2 x 6 π 3 2π o …………………………… 4 分 解得 .…………………………… 7 分 （2）由（1）知， …………………………… 12 分 19. 在 中， 分别是角 的对边，向量 ， ，且 . （1） 求角 的大小； （2） 设 ，且 的最小正周期为 ，求 在区间 上的单调增区间及所有对称轴方程. 解：(1) …………………………… 5 分 (2) ………… 7 分 因为 的最小正周期为 ，所以 …………    = ===∴ >=+−∴== =+>=+=++ 8 2,8,2 101610164 ,10,0,100)(2 3 1 1 42 2 42 2 42 42 2 42534231 qa qaaa qxxaaaa aaaaaaaaaaa n 即 的两根，为方程、，又 则又  1 1 2 a q =  = 12n na −∴ = 2 1 2log 4 ( 1)n n n nb a a n−= + = + − 2 1(1 4 4 4 ) (1 2 3 1) ( 1)4 1 3 2 n n n T n n n −∴ = + + + + + + + + + − −−= +   ABC∆ cba ,, CBA ,, ),2( cbam −= )cos,(cos ACn = nm ⊥ C )0(cos)cos()( >+−= ωωω xCxxf )(xf π )(xf ],0[ π 32 1coscossin2)sin(sin cossin2cossincossin 0cossincossin2cossin 0cossincos)sin2(sin 0coscos)2( π=⇒=⇒=+= =+ =+− =+−⇒ =⋅+−=⋅⇒⊥ CCCBCAB CBACCA ACCBCA ACCBA AcCbanmnm 从而 也即 即 )0(cos)cos()( >+−= ωωω xCxxf xx ωπω cos)3cos( +−= xxx ωπωπω cos3sinsin3coscos +⋅+⋅= )3sin(3sin2 3cos2 3cossin2 3cos2 1 πωωωωωω +=+=++= xxxxxx )(xf π 22 == T πω )32sin(3)( π+=∴ xxf 8 分 令 , 所 以 在 区 间 上 的 单 调 增 区 间 为 …………………………… 10 分 令 ， 所以 在区间 上的对称轴方程有 …………………………… 12 分 20．（本题满分 12 分） 设集合 ； （1）若 ，求 的取值范围； （2）求函数 的最值。 解：（1） …………………… 3 分 …………………… 4 分， 因为 ，所以 …………………… 6 分 （2）令 t= …………………… 8 分 …………………… 10 分 当 t=-3 时， max=16, 当 t= 时， min=-12 …………………… 12 分 21．（本小题满分 12 分） 已知函数f(x)＝xm+ax的导函数f′(x)＝2x+1， ,点An(n, Sn)在函 数y=f(x) (n∈N*)的图像上 ， Zkkxkkxk ∈+≤≤−+≤+≤− ,12212 5,223222 πππππππππ 得 ]12 7[1],120[0 πππ ，时，，时， ∈=∈= xkxk )(xf ],0[ π ]12 7[],120[ πππ ，， Zkkxkx ∈+=+=+ ,122,232 πππππ 得 12 71,120 ππ ==== xkxk 时，时， )(xf ],0[ π 12 7,12 ππ == xx },7916{ RxxxA ∈≤−= Ax ∈4 x )4(log)4(log)( 24 2 1 x xxf ⋅= )( Ax ∈ 19168 1791677916 ≤−≤⇔≤−≤−⇔≤− xxx ]1,8 1[=∴ A Ax ∈4 ]0,2 3[−∈x 则],0,3[log2 −∈x 12)2 1(4 )2(4)22)(2(2 )4(log2)4(log)( 2 2 222 −+= −+=−+−= ⋅−== t tttt x xyxf )(xf 2 1− )(xf { } nn Sna 项和为的前数列 （1）求证：数列 为等差数列； （2）设 ，求数列 的前 项和 解：(1)由 f′(x)＝2mx+a=2x+1 得 m=a=1,故 f(x)＝x2+x，…………………………… 2 分 则依题意有 Sn= n2+n, 当 n=1 时， ； …………… 3 分 当 n ，…………… 4 分 综上， ， …………………………… 5 分 故数列 为等差数列…………………………… 6 分 (2) = …………………………… 7 分 ① 又 ②…………………………… 8 分 ②－①: …………………………… 10 分 …………………………… 12 分 22．（本小题满分 14 分） 定义：若对定义域 内的任意两个 ，均有 成立，则 称函数 是 上的“平缓函数”。 (1) 判断 和 的单调性并证明； (2) 判断 和 是否为 R 上的“平缓函数”,并说明理由； (3) 若数列 中， 总有 。 { }na na nn ab 2⋅= }{ nb n nT 211 == Sa nSSa nnn 2-2 1 ==≥ −时， ）（ *2 Nnnan ∈= 21 * =−∈∀ + nn aaNn ，有 { }na na nn ab 2⋅= nn nn 4222 2 ⋅=⋅ n n nT 4)2(4442 2 ⋅++×+×=∴  12 4)2(4)22(424 ++⋅−++×= nn n nnT  3 84)3 3232( 4241 )41(1628 22)444(2223 1 1 1 22322 +⋅−= ⋅+− −×−−= ⋅++++−×−= − + − + n n n nn n n n nT  9 84)26( 1 +−=∴ +n n nT D ( )2121, xxxx ≠ ( ) ( ) 2121 xxxfxf −≤− ( )xfy = D xxxf sin)(1 −= xxxf sin)(2 += xxg sin)( = xxxh −= 2)( }{ nx *n N∀ ∈ 4 1,sin, )12( 1 1121 <−= + ≤− ++ yyxy n xx nnnnn 求证设