2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题24函数与方程思想、数形结合思想（热点难点突破）理（含解析）
函数与方程思想、数形结合思想
1.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)>1，设a＝f(2)－1，b＝e[f(3)－1]，则a，b的大小关系为( )
A.a
b
C.a＝b D.无法确定
答案 A
解析 令g(x)＝exf(x)－ex，
则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，
即g(x)在R上为增函数.
所以g(3)>g(2)，
即e3f(3)－e3>e2f(2)－e2，
整理得e[f(3)－1]>f(2)－1，即a0，b>0)的右焦点F作直线y＝－x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若＝2，则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
答案 C
解析 设F(c，0)，则直线AB的方程为y＝(x－c)，代入双曲线渐近线方程y＝－x，得A.由＝2，可得B，把B点坐标代入－＝1，得－＝1，
∴c2＝5a2，
∴离心率e＝＝.
5.记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
答案 C
解析 在同一坐标系中作出三个函数y1＝x2＋1，y2＝x＋3，y3＝13－x的图象如图.
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由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3，13－x}为y2＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC与直线y3＝13－x在点C下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大值.
解方程组得点C(5，8).
所以f(x)max＝8.
6.已知函数f(x)＝|lg(x－1)|，若1＜a＜b且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为( )
A.(3＋2，＋∞) B.[3＋2，＋∞)
C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)
答案 C
解析 由图象可知b＞2，1＜a＜2，
∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，
则a＝，
则a＋2b＝＋2b＝＝＝2(b－1)＋＋3，
由对勾函数的性质知，当b∈时，f(b)＝2(b－1)＋＋3单调递增，
∵b＞2，
∴a＋2b＝＋2b＞6.
7.已知函数f(x)＝若不等式f(x)≥mx恒成立，则实数m的取值范围为( )
A.[－3－2，－3＋2]
B.[－3＋2，0]
C.[－3－2，0]
D.(－∞，－3－2]∪[－3＋2，＋∞)
答案 C
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解析 函数f(x)及y＝mx的图象如图所示，由图象可知，当m>0时，不等式f(x)≥mx不恒成立，设过原点的直线与函数f(x)＝x2－3x＋2(x<1)相切于点A(x0，x－3x0＋2)，因为f′(x0)＝2x0－3，所以该切线方程为y－(x－3x0＋2)＝(2x0－3)(x－x0)，因为该切线过原点，所以－(x－3x0＋2)＝－x0(2x0－3)，解得x0＝－，即该切线的斜率k＝－2－3.由图象得－2－3 ≤m≤0.故选C.
8.已知函数f(x)＝＋x＋sin x，若存在x∈[－2，1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，则实数k的取值范围是( )
A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)
答案 A
解析 由题意知函数f(x)＝＋x＋sin x的定义域为R，f(－x)＝＋(－x)＋sin(－x)＝－＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，且f′(x)＝＋1＋cos x>0在R上恒成立，即函数f(x)在R上单调递增.
若∃x0∈[－2，1]，使得f(x＋x0)＋f(x0－k)<0成立，
即f(x＋x0)<－f(x0－k)，
所以f(x＋x0)x＋2x0，令g(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1].
则k>g(x)min＝g(－1)＝－1故实数k的取值范围是(－1，＋∞).
9.已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.
答案 2
解析 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积V＝a2h＝，
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故a2h＝32，即a2＝.
则其侧棱长为l＝＝.
令f(h)＝＋h2，则f′(h)＝－＋2h＝，
令f′(h)＝0，解得h＝2.
当h∈(0，2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增，
所以当h＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝＋22＝12，
故lmin＝＝2.
10.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
答案 (0，2)
解析 由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，
可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，
从而可得函数y1＝|2x－2|的图象与函数y2＝b的图象有两个交点，如图所示.
结合函数的图象，可得00)，若两条曲线没有公共点，则r的取值范围是______________.
答案 (0，1)∪
解析 方法一 联立C1和C2的方程，消去x，
得到关于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0，①
方程①可变形为r2＝－y2＋2y＋10，
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把r2＝－y2＋2y＋10看作关于y的函数.
由椭圆C1可知，－2≤y≤2，
因此，求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合，等价于在定义域为y∈[－2，2]的情况下，求函数r2＝f(y)＝－y2＋2y＋10的值域.
由f(－2)＝1，f(2)＝9，f ＝，
可得f(y)的值域为，即r∈，
它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合，因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0，1)∪.
则又r>0，解得00，
故φ(x)在上单调递增，
所以φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，
故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
所以a－＝2－，
解得a＝2，
所以a的取值集合为{2}.
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