浙江专用2020版高考数学一轮复习（练习）专题8立体几何与空间向量 第58练 立体几何中的轨迹问题

浙江专用2020版高考数学一轮复习（练习）专题8立体几何与空间向量 第58练 立体几何中的轨迹问题

第58练　立体几何中的轨迹问题 ‎[基础保分练]‎ ‎1.在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为BC边上一个动点，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，点A在平面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是(　　)‎ A.线段NO为定长 B.CO∈[1，)‎ C.∠AMO＋∠ADB＞180°‎ D.点O的轨迹是圆弧 ‎2.已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与平面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，E为CC1的中点，P在对角面BB1D1D所在平面内运动，若EP与AC成30°角，则点P的轨迹为(　　)‎ A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆 ‎3.(2019·杭州二中模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝2，∠ADC＝，点E是线段AD上的一个动点.将△EDC沿EC翻折得到△ED′C(仍在平面ABCD内)，连接D′A，则D′A的最小值为(　　)‎ A.2－2 B.2－1‎ C. D.＋1‎ ‎4.(2019·嵊州模拟)如图，已知矩形ABCD，E是边AB上的点(不包括端点)，且AE＝AD，将△ADE沿DE翻折至△A′DE，记二面角A′—BC—D为α，二面角A′—CD—E为β，二面角A′—DE—B为γ，则(　　)‎ A.α>β B.α<β C.β≥γ D.β≤γ ‎5.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点.有下列判断：‎ ‎①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E—AA1O的体积为定值；④AE＋EC1的最小值为2.‎ 其中正确的个数是(　　)‎ A.1B.2C.3D.4‎ ‎6.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为CD的中点，F为线段CE(端点除外)上一动点.现将△DAF沿AF折起，使得平面ABD⊥平面ABCF.设直线FD与平面ABCF所成的角为θ，则sinθ的最大值为(　　)‎ A.B.C.D. ‎7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)，已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：‎ ‎①三棱锥A－D1PC的体积不变；‎ ‎②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；‎ ‎③二面角P－AD1－C的大小不变；‎ ‎④若M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1.‎ 其中真命题的序号是(　　)‎ A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④‎ ‎8.如图，平面α⊥β，α∩β＝l，A，B是l上的两个点，C，D在α内，DA⊥l，CB⊥l，AB＝BC＝2AD＝6，在平面β上有一动点P使得PC，PD与β所成的角相等(P∉l)，设二面角P—CD—B的平面角为θ，则tanθ(　　)‎ A.仅有最大值 B.仅有最小值 C.既有最大值又有最小值 D.无最值 ‎9.如图，在四面体D—ABC中，AD＝BD＝AC＝BC＝5，AB＝DC＝6.若M为线段AB上的动点(不包含端点)，则二面角D—MC—B的余弦值的取值范围是__________.‎ ‎10.(2019·台州模拟)如图，在棱长为2的正四面体S—ABC中，动点P在侧面SAB内，PQ⊥底面ABC，垂足为Q，若PS＝PQ，则PC长度的最小值为________.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.(2019·浙江金华十校联考)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M，N分别是直线CD，AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹是(　　)‎ A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分 ‎2.如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，点H在棱AA1上，且HA1＝1.在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长.则当点P运动时，|HP|2的最小值是(　　)‎ A.21B.22C.23D.25‎ ‎3.如图在正四面体(所有棱长都相等)D－ABC中，动点P在平面BCD上，且满足∠PAD＝30°，若点P在平面ABC上的射影为P′，则sin∠P′AB的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎4.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，若直线AB与a所成角为60°，则AB与b所成角为(　　)‎ A.60°B.30°C.90°D.45°‎ ‎5.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，平面区域W由所有满足A1P≤的点P组成，则W的面积是____________，四面体P—A1BC的体积的最大值是________.‎ ‎6.(2019·浙大附中模拟)如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将△ABD沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC长度在内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为________.‎ 答案精析 基础保分练 ‎1．C　2.A　3.A　4.B　5.C　6.A　7．C　8.D ‎9. 解析　取AB的中点M0，‎ 则CM0＝DM0＝4，AM0＝BM0＝3，‎ ‎∵DM0⊥AB，CM0⊥AB，DM0∩CM0＝M0，‎ ‎∴AB⊥平面DM0C，又AB⊂平面ABC，‎ ‎∴平面ABC⊥平面DM0C，交线为M0C.‎ 过点D作DO⊥M0C，则DO⊥平面ABC.‎ 先设点M在线段M0B上运动，作OG⊥MC，连接DG，则∠DGO为二面角D—MC—B的平面角的补角．‎ 在△DM0C中，‎ cos∠DM0C＝＝－，‎ sin∠DM0C＝，‎ ‎∴DO＝4×＝，OM0＝.‎ 设MM0＝t，则CM＝，OC＝4＋＝，‎ 又△OGC∽△MM0C⇒＝⇒OG＝，‎ 在△DOG中，DG＝＝6，‎ ‎∴cos∠DGO＝＝，‎ 又t∈[0,3)，∴cos∠DGO∈，由对称性知，二面角D—MC—B的余弦值的取值范围为.‎ ‎10. 解析　作PH⊥AB于点H，连接QH，则∠PHQ为二面角S—AB—C的平面角，设AB的中点为G，S在平面ABC内的射影为O′(O′为△ABC的中心)，连接SG，GO′，SO′，则∠SGO′也是二面角S—AB—C的平面角，则sin∠PHQ＝＝sin∠SGO′＝＝，所以PH＝PQ，所以PH＝PS，所以点P的轨迹是侧面SAB内以AB为准线，以S为焦点的抛物线，SG的中点O是抛物线的顶点，O到C的距离就是PC的最小值，此时由余弦定理可知，PC2＝2＋()2－2×××＝，所以PCmin＝.‎ 能力提升练 ‎1．B　[把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，‎ 直线D1P与MN所成角的最小值，是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，‎ 即原问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为，点P在以D1为顶点的圆锥的侧面上，‎ 又∵点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，‎ ‎∴点P的轨迹是椭圆的一部分．故选B.]‎ ‎2．B　[点P到平面CDD1C1距离就是点P到直线CC1的距离，‎ 所以点P到点F的距离等于点P到直线CC1的距离，因此点P的轨迹是以F为焦点，以CC1为准线的抛物线，在面A1ABB1中作HK⊥BB1于K，连接KP，‎ 在Rt△HKP中，|HK|2＋|PK|2＝|HP|2，而|HK|＝4，要想|HP|2最小，只要|PK|最小即可，由题意易求得|PK|＝6，所以|HP|2最小值为22，故选B.]‎ ‎3．A　[以AD为轴，∠DAP＝30°，AP为母线，围绕AD旋转一周，在平面BCD内形成的轨迹为椭圆，‎ 当且仅当点P位于椭圆的短轴端点(图中点M的位置)时，∠P′AB最大，此时AD⊥DM，且DM∥BC.设正四面体D－ABC的各棱长为2，在Rt△ADM中，AD＝2，∠MAD＝30°，则MD＝，AM＝.过点D作正四面体D－ABC的高DO，O为底面正三角形ABC的中心，连接AO，作MP′⊥平面ABC于点P′，连接P′O，并延长交AB于点N，因为DM∥BC，MP′⊥平面ABC，DO⊥平面ABC，‎ 所以MP′∥DO且MP′＝DO，四边形MP′OD为矩形，‎ 所以P′O＝DM＝，ON＝，‎ 所以P′N＝＋.‎ 又在正四面体D－ABC中，‎ AO＝×2×＝，‎ 所以DO＝＝，‎ 所以MP′＝.‎ 在Rt△AMP′中，AP′＝＝，‎ 于是在△AP′N中，由正弦定理可得＝，解得sin∠P′AB＝，故选A.]‎ ‎4．A　[由题意知，a，b，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体棱长为1，‎ 故|AC|＝1，|AB|＝，‎ 斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C为坐标原点，以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则D(1,0,0)，A(0,0,1)，直线a的方向单位向量a＝(0,1,0)，|a|＝1，直线b的方向单位向量b＝(1,0,0)，|b|＝1，‎ 设B点在运动过程中的坐标B′(cosθ，sinθ，0)，‎ 其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0,2π)，‎ ‎∴AB′在运动过程中的向量 ＝(cosθ，sinθ，－1)，||＝，‎ 与b所成夹角为β∈，‎ 与a所成夹角为α∈，‎ ‎|cosβ|＝＝，‎ ‎|cosα|＝＝，‎ 当与a夹角为60°时，即α＝，‎ ‎|sinθ|＝|cosα|＝＝，‎ 当与a的夹角为120°时，α＝，‎ ‎|sinθ|＝＝，‎ ‎∵cos2θ＋sin2θ＝1，‎ ‎∴|cosβ|＝|cosθ|＝，‎ ‎∵β∈，∴β＝或，此时AB与b所成角为60°.]‎ ‎5.　 解析　由题意可知，满足A1P≤的点P是以A1为球心，为半径的球及其内部的点，又因为点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，所以平面区域W是以A为圆心，1为半径的圆的，所以可知W的面积是；点A1到平面PBC的距离为h＝2，所以四面体P—A1BC的体积为·h·S△PBC＝·S△PBC，所以当点P是AD的中点时，S△PBC取得最大值为2，四面体P—A1BC的体积取得最大值.‎ ‎6.π 解析　如图1，过点A作AO⊥BD，垂足为点O，过点C作直线AO的垂线，垂足为点E，‎ 则易得AO＝OE＝，CE＝1.在图2中，由旋转的性质易得点A在以点O为圆心，以AO为半径的圆上运动，且BD垂直于圆O所在的平面．又因为CE∥BD，所以CE垂直于圆O所在的平面，设当A运动到点A1处时，CA1＝，当A运动到点A2处时，CA2＝，则有CE⊥EA1，CE⊥EA2，则易得EA1＝，EA2＝，则易得△OEA2是以O为顶点的等腰直角三角形，在△OEA1中，由余弦定理易得cos∠EOA1＝－，所以∠EOA1＝120°，所以∠A1OA2＝30°，所以点A所形成的轨迹为半径为OA＝，圆心角∠A1OA2＝30°的圆弧，所以运动轨迹的长度为×π×＝π.‎