数学文卷·2018届福建省闽侯第六中学高三上学期期末考试（2018

数学文卷·2018届福建省闽侯第六中学高三上学期期末考试（2018

福建省闽侯第六中学 2018 届高三上学期期末考试 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设为虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A．-1 B．1 C．-2 D．2‎ ‎3.我国古代名著《九章算术》中中有这样一段话： “今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，头部的 1 尺，重 4斤；尾部的 1 尺，重 2 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法正确的是（ ）‎ A．该金锤中间一尺重 3 斤 B．中间三尺的重量和时头尾两尺重量和的 3 倍 ‎ C．该金锤的重量为 15 斤 D． 该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为 0.5 斤 ‎4.下列说法正确的是（ ）‎ A．“若，则”的否命题是“若，则” ‎ B．在中，“”是“”必要不充分条件 ‎ C.“若，则”是真命题 ‎ D．使得成立 ‎5.在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）‎ A．30 B．45 C.60 D．90‎ ‎6.已知实数，，，，那么它们的大小关系是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为（ ）‎ A．或 B． ‎ C.或 D．‎ ‎8.在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：，，则这两个声波合成后（即）的声波的振幅为（ ）‎ A． B． C. D．3‎ ‎9.下列四个图中，可能是函数的图象是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎10.已知，，则的面积为（ ）‎ A． 2 B． C. 1 D．‎ ‎11.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为为（注：圆台侧面积公式为）（ ）‎ A. B． C. D．‎ ‎12.已知，若在区间上有且只有一个极值点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在中，分别为角的对边，，则 ．‎ ‎14.已知向量的夹角为45，且，则 ．‎ ‎15.设实数满足，则的取值范围是 ．‎ ‎16.给定集合（且），定义点集，若对任意点，存在,使得(为坐标原点）.则称集合具有性质，给出一下四个结论：‎ ‎①其有性质；‎ ‎②具有性质；‎ ‎③若集合具有性质，则中一定存在两数，使得；‎ ‎④若集合具有性质.是中任一数，则在中一定存在，使得.‎ 其中正确结论有___________(填上你认为所有正确结论的序号)‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在锐角三角形中，角 的对边分别为，已知.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎18. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：‎ 甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；‎ 乙运动员得分：49,24,12，31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.‎ ‎(1)用十位数为茎，在答题卡中画出原始数据的茎叶图；‎ ‎(2)用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为 2,3,4 的比赛中抽取一个容量为 5 的样本，从该样本中随机抽取 2 场，求其中恰有 1 场得分大于 40 分的概率.‎ ‎19. 已知数列的各项均为正数，观察程序框图，若时，分别有.‎ ‎(1)试求数列的通项公式；‎ ‎(2)令，求数列的前项和.‎ ‎20. 如图，已知三棱锥中，为中点，为中点,且为正三角形.‎ ‎(I)求证：平面；‎ ‎(II)求证：平面平面；‎ ‎(III)若,求三棱锥的体积.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎22.已知，函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；‎ ‎(3)在(2)的条件下，求证：.‎ ‎2018 届高三上学期期末文科数学答案 一、选择题 ‎1-5: ACBCC 6-10: AADCD 11、12：DA 二、填空题 ‎13.1或2 14. 15. 16.①、③‎ 三、解答题 ‎17.解(I)锐角 中，由条件利用正弦定理可得，，再根据，求得，∴角.‎ ‎(II)锐角 中，由条件利用余弦定理可得，解得或. 当时，，故为钝角，这与已知为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当时，的面积为.‎ ‎18.解：(I)由题意得茎叶图如图：‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为 2、3、4的比赛中抽取一个容量为 5 的样本，则得分十位数为 2、3、别应该抽取 1，3，1 场，所抽取的赛场记为,从中随机抽取 2 场的基本事件有：‎ ‎，,,,,,,共10个，‎ 记“其中恰有 1 场的得分大于 4”为事件，则事件中包含的基本事件有：‎ 共4个，‎ ‎∴‎ 答：其中恰有 1 场的得分大于 4 的概率为.‎ ‎19.解：‎ 解得：或（舍去），则 ‎(2)‎ 则 ‎20.(I)∵为中点，为中点，,‎ 又面面 ‎(II)∵为正三角形，且为中点，.‎ 又由(I)∴知,.‎ 又已知 ∴面,∴,又∵‎ 面，∴面面，‎ ‎(III)∵‎ 又 ‎∴.‎ 又.‎ ‎∴‎ ‎21.解：（Ⅰ）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程有且仅有一个等于 1 的解或无解，.‎ ‎（Ⅱ）当 时，不等式恒成立，即对恒成立，‎ ‎①当时，显然成立，此时；‎ ‎②当时，可变形为，令 因为当时，，当时，，所以，故此时.‎ 综合①②，得所求实数的取值范围是.‎ ‎22.解：(I)得定义域为，其导数.‎ ‎①当时，，函数在上是增函数；‎ ‎②当时，在区间上，；在区间上，.‎ ‎∴在是增函数，在是减函数．‎ ‎(II)由（Ⅰ）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点，‎ 当时，在上是增函数，在上是减函数，此时为函数的最大值，‎ 当时，最多有一个零点，∴，解得，‎ 此时，，且，‎ ‎，‎ 令，则，∴在上单调递增，∴，即，‎ ‎∴的取值范围是 ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)可知函数在是增函数，在是减函数．分析：∵∴.只要证明：就可以得出结论．‎ 下面给出证明：构造函数：，则.‎ 函数在区间上为减函数．，则，又，于是，又，‎ 由(I)可知，即.‎ ‎ ‎