专题05 导数及其应用-2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点

专题05 导数及其应用-2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点

专题05 导数及其应用 ‎2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点 ‎1．(2016·四川)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　)‎ A．－4B．－2C．4D．2‎ 答案　D ‎2．(2016·课标全国乙)若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)‎ A．－1,1] B. C. D. 答案　C 解析　方法一　(特殊值法)：不妨取a＝－1，‎ 则f(x)＝x－sin 2x－sin x，‎ f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－<0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增，排除A，B，D.故选C.‎ 方法二　(综合法)：∵函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，‎ ‎∴f′(x)＝1－cos 2x＋acos x ‎＝1－(2cos2x－1)＋acos x ‎＝－cos2x＋acos x＋≥0，即acos x≥cos2x－在(－∞，＋∞)恒成立．‎ 当cos x＝0时，恒有0≥－，得a∈R；‎ 当00，因此函数f(x)在0,1]上单调递增，‎ 所以x∈0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.‎ 根据题意可知存在x∈1,2]，‎ 使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，‎ 即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，‎ 令h(x)＝＋，‎ 则要使a≥h(x)在x∈1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，‎ 又函数h(x)＝＋在x∈1,2]上单调递减，‎ 所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.‎ 易错起源1、导数的几何意义 例1　(1)(2016·课标全国甲)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.‎ ‎(2)已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于(　　)‎ A．4 B．5‎ C. D. 答案　(1)1－ln2(2)C ‎ ‎ ‎(2)∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，‎ ‎∴f′(x)＝3x2－4x＋1，‎ ‎∴f′(－1)＝8，切线方程为y－2＝8(x＋1)，‎ 即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，‎ 令y＝0，得x＝－，‎ ‎∴所求面积S＝××10＝.‎ ‎【变式探究】设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.‎ 答案　1‎ 解析　由题意得，‎ y′＝＝，‎ 则曲线y＝在点处的切线的斜率为 k1＝＝1.‎ 因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－，又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，解得a＝1.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．‎ ‎(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．‎ 易错起源2、利用导数研究函数的单调性 例2、设函数f(x)＝xekx (k≠0)．‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(3)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围．‎ 解　(1)由题意可得f′(x)＝(1＋kx)ekx，‎ f′(0)＝1，f(0)＝0，‎ 故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.‎ ‎(2)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)，‎ 若k>0，则当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，‎ 当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；‎ 若k<0，则当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，‎ 当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．‎ ‎(3)由(2)知，若k>0，则当且仅当－≤－1，即k≤1时，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增；‎ 若k<0，则当且仅当－≥1，即k≥－1时，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增．‎ 综上可知，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增时，k的取值范围是－1,0)∪(0,1]．‎ ‎【变式探究】(1)已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)‎ A. B. C.∪(0，＋∞) ‎ D.∪(0，＋∞)‎ ‎(2)若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是__________．‎ 答案　(1)C　(2) 解析　(1)因为f′(x)＝3x2－2mx，‎ 所以f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2.‎ 由f′(x)＝3x2＋4x>0，解得x<－或x>0，即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)∪(0，＋∞)，‎ 故选C.‎ ‎(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ f′(x)＝4x－.‎ 由f′(x)＝0，得x＝.‎ 据题意，得 解得1≤k<.‎ ‎【名师点睛】‎ 利用导数研究函数单调性的一般步骤：‎ ‎(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)求导函数f′(x)；‎ ‎(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.‎ ‎②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.‎ ‎2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．‎ 易错起源3、利用导数求函数的极值、最值 例3、已知函数f(x)＝ax－－3lnx，其中a为常数．‎ ‎(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．‎ 解　(1)f′(x)＝a＋－(x>0)，‎ 由题意可知，f′＝1，解得a＝1.‎ 故f(x)＝x－－3lnx，‎ ‎∴f′(x)＝，‎ 根据题意由f′(x)＝0，得x＝2.‎ 于是可得下表：‎ x ‎2‎ ‎(2,3)‎ ‎3‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎1－3ln2‎ ‎↗‎ ‎∴f(x)min＝f(2)＝1－3ln2.‎ ‎(2)f′(x)＝a＋－＝(x>0), ‎ 由题意可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)＝ax2－3x＋2，‎ 则 解得00时，‎ 令f′(x)＝＝0，得 x1＝－(舍去)，x2＝，‎ 所以x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以f(x)max＝f()＝ln<0，所以a>1.‎ 综上可得，a的取值范围是(1，＋∞).‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．‎ ‎(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．‎ ‎(3)求函数f(x)在闭区间a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎ 1．若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．‎ ‎2．设函数y＝f(x)在a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．‎ ‎ 1．函数f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是(　　)‎ 答案　C 解析　依题意f(x)＝x2－cosx，对f(x)求导，得f′(x)＝x＋sinx，可知f′(x)为奇函数，由此可排除B，D；当x<0时，f′(x)＝x＋sinx<0，由此可排除A.‎ ‎2．曲线y＝f(x)＝在点(1，f(1))处的切线方程是(　　)‎ A．x＝1 B．y＝ C．x＋y＝1 D．x－y＝1‎ 答案　B 解析　f(x)＝的导数f′(x)＝，‎ ‎∴曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝0，‎ ‎∵切点为，‎ ‎∴曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.‎ ‎3．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.若f(x)在－1,1]上是单调递减函数，则a的取值范围是(　　)‎ A．0－，都存在x∈R，使得f(x)－，方程f(x)＝m总有两个实根 答案　B 解析　因为f′(x)＝(x＋1)ex]′＝(x＋1)ex＋ex＝(x＋2)ex，故函数在区间(－∞，－2)，(－2，＋∞)上分别为减函数与增函数，故f(x)min＝f(－2)＝－，故当m>－时，总存在x使得f(x)0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)‎ 答案　A 解析　设g(x)＝，‎ 则g(x)的导数g′(x)＝.‎ ‎∵当x>0时，总有xf′(x)0时，g′(x)<0恒成立，‎ ‎∴当x>0时，函数g(x)＝为减函数，‎ 又∵g(－x)＝＝＝＝g(x)，‎ ‎∴函数g(x)为定义域上的偶函数，‎ 又∵g(－1)＝＝0，‎ ‎∴函数g(x)的大致图象如图：‎ 数形结合可得，不等式f(x)>0⇔x·g(x)>0‎ ‎⇔或⇔00，∴f(x)为增函数．‎ 又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，‎ f(mx－2)0；x∈时，y′<0，故函数在上递增，在上递减，所以当x＝时，函数取最大值＋.‎ ‎11．已知函数f(x)＝－lnx，x∈1,3]．‎ ‎(1)求f(x)的最大值与最小值；‎ ‎(2)若f(x)<4－at对任意的x∈1,3]，t∈0,2]恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)∵函数f(x)＝－lnx，∴f′(x)＝－，‎ 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．‎ ‎∵x∈1,3]，‎ 当10.‎ ‎∴f(x)在(1,2)上是单调减函数，‎ 在(2,3)上是单调增函数，‎ ‎∴f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝－ln2.‎ 又f(1)＝，f(3)＝－ln3，‎ ‎∵ln3>1，∴－(－ln3)＝ln3－1>0，‎ ‎∴f(1)>f(3)，‎ ‎∴当x＝1时，f(x)取得最大值为；‎ 当x＝2时，f(x)取得最小值为－ln2.‎ ‎(2)由(1)知，当x∈1,3]时，f(x)≤，‎ 故对任意x∈1,3]，f(x)<4－at恒成立，‎ 只要4－at>对任意t∈0,2]恒成立，即at<恒成立，记g(t)＝at，t∈0,2]．‎ ‎∴解得a<，‎ ‎∴实数a的取值范围是(－∞，)．‎ ‎12．已知函数f(x)＝(ax2－1)·ex，a∈R.‎ ‎(1)若函数f(x)在x＝1时取得极值，求a的值；‎ ‎(2)当a≤0时，求函数f(x)的单调区间．‎ ‎②当a<0时，方程g(x)＝ax2＋2ax－1＝0的判别式为Δ＝4a2＋4a，‎ 令Δ＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－1.‎ ‎(ⅰ)当a＝－1时，‎ g(x)＝－x2－2x－1＝－(x＋1)2≤0，‎ 即f′(x)＝(ax2＋2ax－1)·ex≤0，‎ 且f′(x)在x＝－1两侧同号，仅在x＝－1时等于0，则f(x)在(－∞，＋∞)上为单调减函数．‎ ‎(ⅱ)当－10，令g(x)＝0，‎ 方程ax2＋2ax－1＝0有两个不相等的实数根x1＝－1＋，x2＝－1－，‎ 作差可知－1－>－1＋，‎ 则当x<－1＋时，g(x)<0，f′(x)<0，‎ f(x)在上为单调减函数；‎ 当－1＋0，f′(x)>0，‎ f(x)在上为单调增函数；‎ 当x>－1－时，g(x)<0，f′(x)<0，‎ f(x)在上为单调减函数．‎ 综上所述，当－1≤a≤0时，函数f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)；‎ 当a<－1时，函数f(x)的单调减区间为 ，，‎ 函数f(x)的单调增区间为 .‎ ‎ ‎