高考数学专题复习：课时达标检测（十五） 导数与函数的单调性

高考数学专题复习：课时达标检测（十五） 导数与函数的单调性

课时达标检测（十五） 导数与函数的单调性 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是(　　)‎ A．(0，＋∞)　　　　　　　　　B．(－∞，0)‎ C．(－∞，1) D．(1，＋∞)‎ 解析：选D　由题意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)>0，解得x>1，故选D.‎ ‎2．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞‎0”‎是“f(x)在R上单调递增”的(　　)‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 解析：选A　f′(x)＝x2＋a，当a>0时，f′(x)>0，即a>0时，f(x)在R上单调递增，由f(x)在R上单调递增，可得a≥0.故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．‎ ‎3.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)‎ 解析：选D　当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项符合题意．‎ ‎4．若函数f(x)＝sin x＋ax为R上的减函数，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：∵f′(x)＝cos x＋a，由题意可知，f′(x)≤0对任意的x∈R都成立，∴a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]．‎ 答案：(－∞，－1]‎ ‎5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cos x，x∈(－1,1)，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为________．‎ 解析：∵导函数f′(x)是偶函数，且f(0)＝0，∴原函数f(x)是奇函数，∴所求不等式变形为f(1－x)0，解得02，故函数f(x)的单调递增区间是，(2，＋∞)．‎ ‎2．若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间上单调递减，则实数t的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间上单调递减，则有f′(x)≤0在上恒成立，‎ 即3x2－2tx＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t≥在上恒成立，因为y＝在上单调递增，所以t≥＝，故选C.‎ ‎3.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则函数y＝log2x2＋bx＋的单调递减区间为(　　)‎ A. B．[3，＋∞)‎ C．[－2,3] D．(－∞，－2)‎ 解析：选D　因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由图可知f′(－2)＝f′(3)＝0，所以解得令g(x)＝x2＋bx＋，则g(x)＝x2－x－6，g′(x)＝2x－1，由g(x)＝x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.当x<时，g′(x)<0，所以g(x)＝x2－x－6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y＝log2的单调递减区间为(－∞，－2)．‎ ‎4．(2017·甘肃诊断考试)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则(　　)‎ A．a0，所以函数f(x)在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a＝f(0)0，则对于任意的a，b∈(0，＋∞)，当a>b时，有(　　)‎ A．af(a)bf(b)‎ C．af(b)>bf(a) D．af(b)0得>0，即>0，即[xf(x)]′x>0.∵x>0，∴[xf(x)]′>0，即函数y＝xf(x)为增函数，由a，b∈(0，＋∞)且a>b，得af(a)>bf(b)，故选B.‎ 二、填空题 ‎7．若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为________．‎ 解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为图象过点，所以＝α，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)<0，得－20的解集为________．‎ 解析：由题图可知， 不等式(x2－2x－3)f′(x)>0等价于或解得x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)．‎ 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)‎ ‎10．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．‎ 解析：对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋‎2a＝－2＋＋‎2a.当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋‎2a.令＋‎2a＞0，解得a＞－.所以a的取值范围是.‎ 答案： 三、解答题 ‎11．已知函数f(x)＝x－＋1－aln x，a>0.讨论f(x)的单调性．‎ 解：由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝.‎ 设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.‎ ‎①当Δ<0，即00都有f′(x)>0.‎ 此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．‎ ‎②当Δ＝0，即a＝2 时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．‎ ‎③当Δ>0，即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0

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