广东省汕头市金山中学2019届高三(上)9月月考数学(文科)试卷 Word版含解析

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广东省汕头市金山中学2019届高三(上)9月月考数学(文科)试卷 Word版含解析

‎2019届广东省汕头市金山中学 高三(上)9月月考数学(文科)试题此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 数学 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1.设全集U=R,集合A={x|‎2‎x>1}‎,B={x||x-2|≤3}‎,则‎(‎∁‎UA)∩B等于 A.‎[-1,0)‎ B.‎(0,5]‎ C.‎[-1,0]‎ D.‎‎[0,5]‎ ‎2.已知平面向量AB‎=(1,2)‎,AC‎=(3,4)‎,则向量CB的模是 A.‎2‎ B.‎5‎ C.‎2‎‎2‎ D.5‎ ‎3.下列命题正确的是 A.命题“若α=β,则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题 B.命题“若a0‎,‎5‎x‎>0‎”的否定是“‎∃x‎0‎≤0,‎5‎x‎0‎≤0‎”‎ D.“x<-1‎”是“ln(x+2)<0‎”的充分不必要条件 ‎4.设{an}是有正数组成的等比数列,Sn为其前n项和。已知,S‎3‎‎=7‎,则S‎5‎‎=‎ A.‎15‎‎2‎ B.‎31‎‎4‎ C.‎33‎‎4‎ D.‎‎17‎‎2‎ ‎5.若函数f(x)=‎g(x),x>0‎‎2‎‎-x‎-2,x<0‎为奇函数,则f(g(2))=‎ A.‎-2‎ B.‎-1‎ C.0 D.2‎ ‎6.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中,随机摸出两个小球,则两个小球同色的概率是 A.‎2‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎5‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎7.已知p为直线x+y-2=0‎上的点,过点p作圆O:x‎2‎‎+y‎2‎=1‎的切线,切点为M,N,若‎∠MPN=‎‎90‎‎∘‎,则这样的点p有 A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 ‎8.某几何体的三视图如图所示,若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是 A.‎16+‎16‎‎3‎π B.‎16+‎8‎‎3‎π C.‎32‎‎3‎‎+‎8‎‎3‎π D.‎‎32‎‎3‎‎+‎16‎‎3‎π ‎9.已知函数f(x)=2‎3‎sinωx‎2‎cosωx‎2‎+2cos‎2‎ωx‎2‎-1(ω>0)‎的周期为π,当x∈[0,π‎2‎]‎时,方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x‎1‎,x‎2‎,则f(x‎1‎+x‎2‎)=‎ A.2 B.1 C.‎-1‎ D.‎‎-2‎ ‎10.运行如图所示的程序框图,若输出的S的值为480,则判断框中可以填 A.i>60‎ B.i>70‎ C.i>80‎ D.‎i>90‎ ‎11.已知函数f(x)=e‎-x-2x-a,若曲线y=x‎3‎+x+1(x∈[-1,1])‎上存在点‎(x‎0‎,y‎0‎)‎使得f(y‎0‎)=‎y‎0‎,则实数a的取值范围是 A.‎(-∞,e‎-3‎-9]∪[e+3,+∞)‎ B.‎‎[e‎-3‎-9,e+3]‎ C.‎(e‎-3‎-9,e‎2‎+6)‎ D.‎‎(-∞,e‎-3‎-9)∪(e+3,+∞)‎ ‎12.在四面体ABCD中,AB=AC=2‎‎3‎,BC=6‎,AD⊥‎底面ABC,‎△DBC的面积是6,若该四面体的顶点均在球O的表面上,则球O的表面积是 A.‎24π B.‎32π C.‎46π D.‎‎49π ‎13.函数f(x)=‎ln(x‎2‎-4x+4)‎‎(x-2‎‎)‎‎3‎的图象可能是下面的图象______‎(‎填序号‎)‎ 二、填空题 ‎14.复数z满足‎(1-2i)z=7+i,则复数z的共轭复数z‎=‎______.‎ ‎15.已知实数x,y满足约束条件‎2x-y≤0‎x-3y+5≥0‎y≥1‎则z=(‎‎1‎‎2‎‎)‎x+y-2‎的最大值等于______.‎ ‎16.是P为双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a,b>0)‎上的点,F‎1‎,F‎2‎分别为C的左、右焦点,且PF‎2‎⊥‎F‎1‎F‎2‎,PF‎1‎与y轴交于Q点,O为坐标原点,若四边形OF‎2‎PQ有内切圆,则C的离心率为______.‎ 三、解答题 ‎17.在‎△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ccosB+bcosC=2acosA.‎ ‎(1)‎求A;‎ ‎(2)‎若a=2‎,且‎△ABC的面积为‎3‎,求‎△ABC的周长.‎ ‎18.如图,三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,‎∠BCA=‎‎90‎‎∘‎,AC‎1‎⊥‎平面A‎1‎BC.‎ ‎(1)‎证明:平面ABC⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎;‎ ‎(2)‎若BC=AC=2‎,A‎1‎A=A‎1‎C,求点B‎1‎到平面A‎1‎BC的距离.‎ ‎19.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内,每售出1吨该商品可获利润‎0.5‎万元,未售出的商品,每1吨亏损‎0.3‎万元‎.‎根据往年的销售经验,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示‎.‎已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品‎.‎现以x(‎单位:吨,‎100≤x≤150)‎表示下一个销售季度的市场需求量,T(‎单位:万元‎)‎表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎根据频率分布直方图,估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小;‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎根据直方图估计利润T不少于57万元的概率.‎ ‎20.已知抛物线E:x‎2‎‎=4y的焦点为F,P(a,0)‎为x轴上的点.‎ ‎(1)‎过点P作直线l与E相切,求切线l的方程;‎ ‎(2)‎如果存在过点F的直线l'‎与抛物线交于A,B两点,且直线PA与PB的倾斜角互补,求实数a的取值范围.‎ ‎21.已知函数f(x)=(x-2)‎ex,x∈(0,+∞)‎.‎ ‎(1)‎求函数f(x)‎的单调递增区间;‎ ‎(2)‎若g(x)=f(x)+2ex-ax‎2‎,h(x)=x,且‎∀‎x‎1‎,x‎2‎,‎[g(x‎1‎)-h(x‎1‎)][g(x‎2‎)-h(x‎2‎)]>0‎,求实数a的取值范围.‎ ‎22.已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为x=‎1‎‎2‎+‎3‎‎2‎ty=‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎t‎(t为参数‎)‎,点A的极坐标为‎(‎2‎‎2‎,π‎4‎)‎,设直线l与圆C交于点P、Q两点.‎ ‎(1)‎写出圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)‎求‎|AP|⋅|AQ|‎的值.‎ ‎23.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|‎.‎ ‎(1)‎解不等式f(x)≤1‎;‎ ‎(2)‎若关于x的不等式f(x)>ax只有一个正整数解,求实数a的取值范围.‎ ‎2019届广东省汕头市金山中学 高三(上)9月月考数学(文科)试题 数学 答 案 参考答案 ‎1.C ‎【解析】‎ 由A中的不等式变形得:2x>1=20,得到x>0,即A=(0,+∞),‎ ‎∵全集U=R,∴∁UA=(﹣∞,0],‎ 由B中的不等式变形得:﹣3≤x﹣2≤3,即﹣1≤x≤5,‎ ‎∴B=[﹣1,5],‎ 则(∁UA)∩B=[﹣1,0].‎ 故选:C.‎ ‎2.C ‎【解析】‎ 因为向量AB‎=‎‎1,2‎,AC‎=‎‎3,4‎,‎∴CB=AB-AC=‎1,2‎-‎3,4‎=‎‎-2,-2‎,‎∴CB=2‎‎2‎,故选C.‎ ‎3.A ‎【解析】‎ 对于A,原命题为真命题,∴逆否命题为真命题,故正确;‎ 对于B,逆命题为“若ac‎2‎≤bc‎2‎,则a0,‎5‎x>0‎”的否定是“‎∃x‎0‎>0,‎5‎x‎0‎≤0‎”,故错误;‎ 对于D,由lnx+2‎<0‎得到‎-20‎,则‎-x<0‎,‎ 故f(-x)=‎2‎x-2=-f(x)‎,‎ 故x>0‎时,f(x)=2-‎‎2‎x,‎ 由g(2)=f(2)=2-4=-2‎,‎ 故f(g(2))=f(-2)=-f(2)=2‎,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数求值问题,考查函数的奇偶性问题,是一道基础题.‎ ‎6.C ‎【解析】‎ 记‎3‎个红球分别为a,b,c,‎3‎个黑球分别为x,y,z,则随机取出两个小球共有‎15‎种可能:ab,ac,ax,ay,az,bc,bx,by,bz,cx,cy,cz,xy,xz,yz,其中两个小球同色共有‎6‎种可能,ab,ac,bc,xy,xz,yz,根据古典概型概率公式可得所求概率为‎6‎‎15‎‎=‎‎2‎‎5‎,故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用,属于难题,利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有 (1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先‎(A‎1‎,B‎1‎)‎,‎(A‎1‎,B‎2‎)‎…. ‎(A‎1‎,Bn)‎,再‎(A‎2‎,B‎1‎)‎,‎(A‎2‎,B‎2‎)‎…..‎(A‎2‎,Bn)‎依次‎(A‎3‎,B‎1‎)‎ ‎(A‎3‎,B‎2‎)‎….‎(A‎3‎,Bn)‎… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎7.B ‎【解析】‎ 连接OM,ON,则‎∠MPN=∠ONP=∠OMP=‎90‎‎∘‎,∴‎四边形OMPN为正方形,因为圆的半径为‎1‎,‎∴OP=‎‎2‎,‎∵‎原点(圆心)O到直线x+y-2=0‎距离为‎2‎‎,∴‎符合条件的P只有一个,故选B.‎ ‎8.B ‎【解析】‎ 该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体,其中三棱柱的高为2,底面是高和底边均为4的等腰三角形,圆锥的高为4,底面半径为2,则其体积为V=‎1‎‎2‎×4×4×2+‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×π×4×4‎,‎ ‎=16+‎8‎‎3‎π‎.故选:B 点睛:由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.‎ ‎9.B ‎【解析】‎ 函数fx=2‎3‎sinωx‎2‎cosωx‎2‎+2cos‎2‎ωx‎2‎-1‎ ‎=‎3‎sinωx+cosωx=2sinωx+‎π‎6‎,由周期T=‎2πω=π,可得ω=2,∴fx=2sin‎2x+‎π‎6‎,‎∵x∈‎0,‎π‎2‎,∴π‎6‎≤2x+π‎6‎≤‎‎7π‎6‎,‎∴-1≤fx≤2‎,且fx的对称轴为x=‎π‎6‎,‎∵‎方程fx=m恰有两个不同的实数解x‎1‎‎,‎x‎2‎,‎∴x‎1‎+x‎2‎=‎π‎3‎,则fx‎1‎‎+‎x‎2‎=fπ‎3‎=2sin‎2π‎3‎‎+‎π‎6‎=2sin‎5π‎6‎=1‎,故选B.‎ ‎10.B ‎【解析】‎ 执行一次,S=200+10,i=20‎,执行第2次,S=200+10+20,i=30‎,执行第3次,S=200+10+20+30,i=40‎,执行第4次,S=260+40,i=50‎,执行第5次,S=300+50,i=60‎,执行第6次,S=350+60,i=70‎,执行第7次,S=410+70,i=80‎跳出循环,因此判断框应填i>70‎,故选B.‎ ‎11.B ‎【解析】‎ 因为曲线y=x‎3‎+x+1‎在x∈‎‎-1,1‎上递增,所以曲线y=x‎3‎+x+1‎x∈‎‎-1,1‎上存在点x‎0‎‎,‎y‎0‎, 可知y‎0‎‎∈‎‎-1,3‎,由fy‎0‎=‎y‎0‎,可得y‎0‎‎=e‎-‎y‎0‎-2y‎0‎-a,∴a=e‎-‎y‎0‎-3‎y‎0‎,而a=e‎-‎y‎0‎-3‎y‎0‎在‎-1,3‎上单调递减,‎∴a∈‎e‎-3‎‎-9,e+3‎,故选B.‎ ‎12.D ‎【解析】‎ 四面体ABCD与球O的位置关系如图所示,设E为BC的中点,O‎1‎为ΔABC外接球的圆心,因为AB=AC=2‎‎3‎,BC=6‎,由余弦定理可得‎∠BAC=‎‎2π‎3‎,由正弦定理可得‎2AO‎1‎=‎6‎‎3‎‎2‎=4‎3‎,AO‎1‎=2‎‎3‎由勾股定理可得AE=‎‎3‎,又SΔDBC‎=‎1‎‎2‎×DE×BC=6,∴DE=2‎,‎∴AD=DE‎2‎-AE‎2‎=‎4-3‎=1‎,在四边形OO‎1‎AD中,OO‎1‎//AD,∠OO‎1‎A=‎‎90‎‎∘‎,OA=OD,计算可得R‎2‎‎=OA‎2‎=‎2‎‎3‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎=‎‎49‎‎4‎,则球O的表面积是‎4π×‎49‎‎4‎=49π,故选D.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查球的性质及圆内接三角形的性质、正弦定理与余弦定理法应用及球的表面积公式,属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型,既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系,做题过程中主要注意以下两点:①多面体每个面都分别在一个圆面上,圆心是多边形外接圆圆心;②注意运用性质R‎2‎‎=r‎2‎+OO‎1‎‎2‎.‎ ‎13.C ‎【解析】‎ 因为fx=lnx‎2‎‎-4x+4‎x-2‎‎3‎=‎lnx-2‎‎2‎x-2‎‎3‎,所以函数fx的图象关于点(2,0)对称,排除A,B。当x<0‎时,lnx-2‎‎2‎>0,x-2‎‎3‎<0‎,所以fx<0‎,排除D。选C。‎ ‎14.‎‎1-3i ‎【解析】‎ 由‎1-2iz=7+i得z=‎7+i‎1-2i=‎7+i‎1+2i‎1-2i‎1+2i=‎5+15i‎5‎=1+3i,‎∴z=1-3i,故答案为‎1-3i.‎ ‎15.8‎ ‎【解析】‎ 试题分析:线性约束条件对应的可行域为直线‎2x-y=0,x-3y+5=0,y=1‎围成的三角形区域,设t=x+y-2‎,当t=x+y-2‎过直线y=1,x-3y+5=0‎交点‎(-2,1)‎时t取得最小值‎-3‎,此时z最大为8‎ 考点:1.线性规划问题;2.指数函数最值 ‎16.2‎ ‎【解析】‎ 设OF‎2‎‎=c,可得Pc,‎b‎2‎a,则四边形OF‎2‎PQ的内切圆的圆心为c‎2‎‎,‎c‎2‎,半径为c‎2‎‎,PF‎1‎的方程为b‎2‎x-2acy+b‎2‎c=0‎,圆心到直线PF‎1‎的距离等于c‎2‎,即b‎2‎‎×c‎2‎-2ac×c‎2‎+b‎2‎cb‎4‎‎+4‎a‎2‎c‎2‎‎=‎c‎2‎,化简得‎2c‎2‎-3ac-2a‎2‎=0‎,‎2e‎2‎-3e-2=0,∴e=2‎,故答案为‎2‎.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查双曲线的方程与性质以及离心率,属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出a,c,从而求出e;②构造a,c的齐次式,求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解. ‎ ‎17.(1)A=‎π‎3‎;(2)6.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由ccosB+bcosC=2acosA根据正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA,利用两角和的正弦公式及诱导公式可得cosA=‎‎1‎‎2‎,∴A=‎π‎3‎;(2)由‎△ABC的面积为‎3‎,可得bc=4‎,再利用余弦定理可得b=c=2‎,从而可得‎△ABC的周长.‎ 试题解析:(1)∵ccosB+bcosC=2acosA,∴sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA.‎ ‎∴sinB+C=2sinAcosA,‎ ‎∴sinA=2sinAcosA.‎ ‎∵A∈‎‎0,π,∴sinA≠0‎,∴cosA=‎‎1‎‎2‎,∴A=‎π‎3‎.‎ ‎(2)∵‎△ABC的面积为‎3‎,∴‎1‎‎2‎bcsinA=‎3‎‎4‎bc=‎‎3‎,∴bc=4‎.‎ 由a=2‎,A=‎π‎3‎及a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎-2bccosA,得‎4=b‎2‎+c‎2‎-4‎,∴b‎2‎‎+c‎2‎=8‎.‎ 又bc=4‎,∴b=c=2‎.‎ 故其周长为‎6‎.‎ ‎18.(1)见解析;(2)‎3‎. ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由AC‎1‎⊥‎平面A‎1‎BC,可得AC‎1‎⊥BC.由‎∠BCA=‎‎90‎‎∘‎,可得BC⊥AC,由线面平行的判定定理可得BC⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎,从而可得平面ABC⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎;(2)设点B‎1‎到平面A‎1‎BC的距离为h.则VB‎1‎‎-A‎1‎BC‎=‎1‎‎3‎VABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎=‎2‎‎3‎‎3‎=‎1‎‎3‎hS‎△A‎1‎BC,又S‎△A‎1‎BC‎=2‎,从而可得点B‎1‎到平面A‎1‎BC的距离为‎3‎.‎ 试题解析:(1)证明:∵AC‎1‎⊥‎平面A‎1‎BC,∴AC‎1‎⊥BC.‎ ‎∵‎∠BCA=‎‎90‎‎∘‎,‎ ‎∴BC⊥AC,∴BC⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎.‎ 又BC⊂‎平面ABC,∴平面ABC⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎.‎ ‎(2)解法一:取AC的中点D,连接A‎1‎D.‎ ‎∵A‎1‎A=A‎1‎C,∴A‎1‎D⊥AC.‎ 又平面ABC⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎,且交线为AC,‎ 则A‎1‎D⊥‎平面ABC.‎ ‎∵AC‎1‎⊥‎平面A‎1‎BC,∴AC‎1‎⊥A‎1‎C,‎ ‎∴四边形ACC‎1‎A‎1‎为菱形,∴AA‎1‎=AC.‎ 又A‎1‎A=A‎1‎C,∴‎△A‎1‎AC是边长为‎2‎正三角形,∴A‎1‎D=‎‎3‎.‎ ‎∴VABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎‎=‎1‎‎2‎×2×2×‎3‎=2‎‎3‎.‎ 设点B‎1‎到平面A‎1‎BC的距离为h.‎ 则VB‎1‎‎-A‎1‎BC‎=‎1‎‎3‎VABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎=‎2‎‎3‎‎3‎=‎1‎‎3‎hS‎△A‎1‎BC.‎ 又S‎△A‎1‎BC‎=2‎,∴h=‎‎3‎.‎ 所以点B‎1‎到平面A‎1‎BC的距离为‎3‎.‎ 解法二:利用B‎1‎C‎1‎‎//‎平面A‎1‎BC转化为求点C‎1‎到平面A‎1‎BC的距离,即AC‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎.‎ ‎19.(Ⅰ)‎126.5‎ (吨),‎126.7‎(吨).(Ⅱ)‎‎0.7‎ ‎【解析】‎ 试题分析:‎ ‎(1)利用频率分布直方图可估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小分别为‎126.5‎ (吨),‎126.7‎(吨).‎ ‎(2)由题意结合几何概型公式可得利润T不少于57万元的概率为0.7‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为x‎=105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.25+145×0.15=126.5‎ (吨)‎ 由频率分布直方图易知,由于x∈[100,120)‎时,对应的频率为‎(0.01+0.02)×10=0.3<0.5‎,而x∈[100,130)‎时,对应的频率为‎(0.01+0.02+0.3)×10=0.6>0.5‎, ‎ 因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间‎[120,130)‎, ‎ 于是估计中位数应为‎120+(0.5-0.1-0.2)÷0.03≈126.7‎ (吨).‎ ‎(Ⅱ)当x∈[100,130)‎时,T=0.5x-0.3(130-x)=0.8x-39‎; ‎ 当x∈[130,150]‎时,T=0.5×130=65‎, ‎ 所以,T={‎‎0.8x-39,  100≤x<130,‎‎65,  130≤x≤150.‎ ‎ 根据频率分布直方图及(Ⅰ)知,‎ 当x∈[100,130)‎时,由T=0.8x-39≥57‎,得‎120≤x<130‎, ‎ 当x∈[130,150]‎时,由T=65≥57‎, ‎ 所以,利润T不少于‎57‎万元当且仅当‎120≤x≤150‎, ‎ 于是由频率分布直方图可知市场需求量x∈[120, 150]‎的频率为‎(0.030+0.025+0.015)×10=0.7‎,所以下一个销售季度内的利润T不少于57万元的概率的估计值为‎0.7‎ ‎20.(1) 切线l的方程为y=0‎或ax-y-a‎2‎=0‎;(2) ‎-‎2‎‎2‎≤a≤‎‎2‎‎2‎.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)设切点为Qx‎0‎‎,‎x‎0‎‎2‎‎4‎,利用导数求出切线斜率,由点斜式求得切线方程,将Pa,0‎代入切线方程,求出x‎0‎‎=2a或x‎0‎‎=0‎,进而可得切线方程;(2)设直线l‎'‎的方程为y=kx+1‎,代入x‎2‎‎=4y得x‎2‎‎-4kx-4=0‎,根据斜率公式可得‎2kx‎1‎x‎2‎+‎1-kax‎1‎‎+‎x‎2‎-2a=0‎,韦达定理得‎2ak‎2‎+2k+a=0‎,利用判别式大于零可得结果.‎ 试题解析:(1)设切点为Qx‎0‎‎,‎x‎0‎‎2‎‎4‎,则y‎'‎x=‎x‎0‎‎=x‎0‎‎2‎=‎kl.‎ ‎∴Q点处的切线方程为y-x‎0‎‎2‎‎4‎=‎x‎0‎‎2‎x-‎x‎0‎.‎ ‎∵l过点P,∴‎-x‎0‎‎2‎‎4‎=‎x‎0‎‎2‎a-‎x‎0‎,解得x‎0‎‎=2a或x‎0‎‎=0‎.‎ 当a=0‎时,切线l的方程为y=0‎,‎ 当a≠0‎时,切线l的方程为y=0‎或ax-y-a‎2‎=0‎.‎ ‎(2)设直线l‎'‎的方程为y=kx+1‎,代入x‎2‎‎=4y得x‎2‎‎-4kx-4=0‎.‎ 设Ax‎1‎‎,‎y‎1‎,Bx‎2‎‎,‎y‎2‎,则x‎1‎‎+x‎2‎=4k,x‎1‎x‎2‎‎=-4‎.‎ 由已知得kPA‎+kPB=y‎2‎x‎2‎‎-a+y‎1‎x‎1‎‎-a=0‎,‎ 即kx‎2‎+1‎x‎2‎‎-a‎+kx‎1‎+1‎x‎1‎‎-a=0‎,∴‎2kx‎1‎x‎2‎+‎1-kax‎1‎‎+‎x‎2‎-2a=0‎.‎ 把①代入②得‎2ak‎2‎+2k+a=0‎,③‎ 当a=0‎时,显然成立,‎ 当a≠0‎时,方程③有解,∴Δ=4-8a‎2‎≥0‎,解得‎-‎2‎‎2‎≤a≤‎‎2‎‎2‎,且a≠0‎.‎ 综上,‎-‎2‎‎2‎≤a≤‎‎2‎‎2‎.‎ ‎21.(1) 函数f(x)‎的单调递增区间为‎(1,+∞)‎;(2) ‎(-∞,1]‎.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)f‎'‎x‎=x-1‎ex>0‎, 解得x>1‎,从而得到增区间;(2)‎∀‎x‎1‎,x‎2‎,g(x‎1‎)-h(x‎1‎)‎g(x‎2‎)-h(x‎2‎)‎‎>0‎等价于g(x)-h(x)>0‎对x∈(0,+∞)‎恒成立,或g(x)-h(x)<0‎对x∈(0,+∞)‎恒成立,而g(x)-h(x)=x(ex-ax-1)‎,只需研究p(x)=ex-ax-1‎的符号情况即可.‎ 试题解析:‎ ‎(1)依题意,f'(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)‎ex,‎ 令f'(x)>0‎,解得x>1‎,故函数f(x)‎的单调递增区间为‎(1,+∞)‎.‎ ‎(2)当g(x‎1‎)-h(x‎1‎)>0‎,对任意的x‎2‎‎∈(0,+∞)‎,都有g(x‎2‎)-h(x‎2‎)>0‎;‎ 当g(x‎1‎)-h(x‎1‎)<0‎时,对任意的x‎2‎‎∈(0,+∞)‎,都有g(x‎2‎)-h(x‎2‎)<0‎;‎ 故g(x)-h(x)>0‎对x∈(0,+∞)‎恒成立,或g(x)-h(x)<0‎对x∈(0,+∞)‎恒成立,‎ 而g(x)-h(x)=x(ex-ax-1)‎,设函数p(x)=ex-ax-1‎,x∈(0,+∞)‎. ‎ 则p(x)>0‎对x∈(0,+∞)‎恒成立,或p(x)<0‎对x∈(0,+∞)‎恒成立,p'(x)=ex-a,‎ ‎①当a≤1‎时,∵x∈(0,+∞)‎,∴ex‎>1‎,∴p'(x)>0‎恒成立,‎ ‎∴p(x)‎在x∈(0,+∞)‎上单调递增,p(0)=0‎,‎ 故p(x)>0‎在‎(0,+∞)‎上恒成立,符合题意. ‎ ‎②当a>1‎时,令p'(x)=0‎,得x=lna,令p'(x)<0‎,得‎0‎(a∈(1,+∞)‎)恒成立,‎ ‎∴φ'(a)‎在‎(1,+∞)‎上单调递增,∴φ'(a)>φ'(1)=e-2>0‎恒成立,‎ ‎∴φ(a)‎在‎(1,+∞)‎上单调递增,∴φ(a)‎ ‎>φ(1)=e-2>0‎恒成立,‎ 即p(a)>0‎,而p(lna)<0‎,不合题意. ‎ 综上,故实数a的取值范围为‎(-∞,1]‎.‎ ‎22.(1)‎(x-1)‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎;(2)‎1‎‎2‎.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ,把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)由题意可得点A在直线x=‎1‎‎2‎+‎3‎‎2‎ty=‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎t(t为参数)上,把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t‎2‎‎+‎1-‎‎3‎‎2‎t-‎1‎‎2‎=0‎.由韦达定理可得t‎1‎t‎2‎‎=-‎‎1‎‎2‎,根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=‎|t‎1‎t‎2‎|‎的值 试题解析:(1)由ρ=2cosθ,得ρ‎2‎‎=2ρcosθ ‎,ρcosθ=x,‎ 即‎(x-1)‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎,‎ 即圆C的直角坐标方程为‎(x-1)‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎;‎ ‎(2)由点A的极坐标‎(‎2‎‎2‎,π‎4‎)‎得点A直角坐标为‎(‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎,‎ 将x=‎1‎‎2‎+‎3‎‎2‎ty=‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎t代入‎(x-1)‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎消去x、y,整理得t‎2‎‎-‎3‎‎-1‎‎2‎t-‎1‎‎2‎=0‎,‎ 设t‎1‎、t‎2‎为方程t‎2‎‎-‎3‎‎-1‎‎2‎t-‎1‎‎2‎=0‎的两个根,则t‎1‎t‎2‎‎=-‎‎1‎‎2‎,‎ 所以‎|AP|⋅|AQ|=|t‎1‎t‎2‎|=‎‎1‎‎2‎.‎ 考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程 ‎23.(1) 不等式的解集为{xx≥3‎或x≤‎‎1‎‎3‎};(2) ‎1≤a<3‎.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)对x分三种情况讨论,分别去掉绝对值符号,然后求解不等式组,再求并集即可得结果;(2)作出函数fx=‎x-4x≤-2‎,‎‎3x‎-21‎.‎与y=ax的图象,由图象可知当‎1≤a<3‎时,不等式只有一个正整数解x=1‎.‎ 试题解析:(1)当x≤-2‎时,x-4≤1‎,解得x≤5‎,∴x≤-2‎;‎ 当‎-21‎时,‎-x+4≤1‎,解得x≥3‎,∴x≥3‎.‎ 综上,不等式的解集为x|‎x≥3‎或x≤‎‎1‎‎3‎.‎ ‎(2)作出函数fx=‎x-4x≤-2‎,‎‎3x‎-21‎.‎与y=ax的图象,由图象可知当‎1≤a<3‎时,‎ 不等式只有一个正整数解x=1‎,∴‎1≤a<3‎.‎
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