南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题01：基本初等函数
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专题 1：基本初等函数
目录
问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2
类型一：分段函数 ........................................................................................................................................... 2
类型二：求函数的解析式 ............................................................................................................................... 4
类型三：二次函数 ........................................................................................................................................... 6
类型四：指数函数与对数函数 ....................................................................................................................... 8
类型五：函数的零点问题 ..............................................................................................................................11
综合应用篇 ............................................................................................................................................................. 13
一、例题分析 ................................................................................................................................................. 13
二、反馈巩固 ................................................................................................................................................. 16
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问题归类篇
类型一：分段函数
一、前测回顾
1．已知函数 f(x)＝
x＋1， x≥1，
－x2＋4， x＜1 ，①若 f(x)≥2，则 x 的取值范围为 ．②f(x)在区间[－1，3]的
值域为 ．
答案：①[－ 2，＋∞)；②[2，4]．
2．设函数 f(x)＝
2x
3 －1， x≥0，
1
x， x＜0
，若 f(f(b))＝－2，求实数 b 的值．
答案：b＝3
4或－2．
二、方法联想
方法 1：分类讨论，按分段区间进行分类讨论，最后汇总(求并集)；
方法 2：图象法，画出分段函数的图象，根据图象探讨不等式解集及值域问题．
三、方法应用
例 1 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝
x＋a，－1≤x＜0，
2
5－x ，0≤x＜1，
其中 a∈R.若
f －5
2 ＝f 9
2 ，则 f(5a)的值是________.
解析 由已知 f －5
2 ＝f －5
2＋2 ＝f －1
2 ＝－1
2＋a，
f 9
2 ＝f 9
2－4 ＝f 1
2 ＝ 2
5－1
2 ＝ 1
10.
又∵f －5
2 ＝f 9
2 ，
则－1
2＋a＝ 1
10，∴a＝3
5，
∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋3
5＝－2
5.
答案 －2
5
例 2 已知函数 f (x)＝
x2－4，x≤0，
ex－5，x>0.
若关于 x 的方程| f (x)|－ax－5＝0 恰有三个不同的实数解，则满足条件
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的所有实数 a 的取值集合为________.
解析 关于 x 的方程| f (x)|－ax－5＝0 有三个不同的实数解，即函数 y＝| f (x)|与函数 y＝ax＋5(过定点(0，
5))的图象有三个不同的交点.作出函数图象如图所示，
①当 a>0 时，y＝ax＋5 与 y＝4－x2(x<0)相切，即 x2＋ax＋1＝0，由 Δ＝a2－4＝0，a>0，得 a＝2，当 a＝2
时，符合题意；
当 y＝ax＋5 经过点(－2，0)时，a＝5
2也符合题意；
②当 a<0 时，y＝ax＋5 与 y＝5－ex(x>0)相切，设切点(x0，5－ex0)，x0>0，则切线方程为 y－(5－ex0)＝－ex0
(x－x0)，代入点(0，5)，解得 x0＝1，此时 a＝－e，符合题意；
当 y＝ax＋5 经过(ln 5，0)时，a＝－ 5
ln 5，也符合题意；
③当 a＝0 时，两函数的图象有两个交点，不符合题意.
综上所述，满足条件的所有实数 a 的取值集合为
－e，－ 5
ln 5，2，5
2 .
答案
－e，－ 5
ln 5，2，5
2
例 3 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间[0，1)上，f(x)＝
x2，x∈D，
x，x∉D， 其中集合 D＝
x
x＝n－1
n ，n∈N* ，则方程 f(x)－lg x＝0 的解的个数是________.
解析 由于 f(x)∈[0，1)，则只需考虑 1≤x<10 的情况，在此范围内，x∈Q，且 x∉Z 时，设 x＝q
p，p，q∈N*，
p≥2 且 p，q 互质.若 lg x∈Q，则由 lg x∈(0，1)，可设 lg x＝n
m，m，n∈N*，m≥2 且 m，n 互质.因此 10
n
m＝
q
p，10n＝ q
p
m
，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此 lg x∉Q，因此 lg x 不可能与每个周期内 x∈D
对应的部分相等，只考虑 lg x 与每个周期 x∉D 部分交点，画出函数草图如图.
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图中交点除(1，0)外，其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 x∉D 部分，且 x＝1 处(lg x)′＝ 1
xln 10，因
1
ln 10<1，则在 x＝1 附近仅有一个交点(1，0)，因此方程解的个数为 8 个.
答案 8
四、归类巩固
*1．已知 f(x)＝
2x， x≤1，
log2x＋1， x＞1 ，则 f[f(－1)]＝ ．
答案：0．(考查分段函数求值问题)
*2．设函数 f(x)＝
1＋log2(2－x)，x＜1
2x－1，x≥1 ，则 f(－2)＋f(log212)＝ ．
答案：9
**3．设函数 f(x)＝
21－x，x≤1，
1－log2x，x＞1， 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是________．
答案：[0，＋∞)
**4．已知函数 f(x)＝
－x2＋2x，x≤0
ln(x＋1)，x＞0，若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围是 ．
答案：[－2，0]
***5．已知函数 f(x)＝
|lnx|，x＞0
x2＋4x＋1，x≤0，若关于 x 的方程 f(x)2－bf(x)＋c＝0(b，c∈R)有 8 个不同的实数
根，则 b＋c 的取值范围是 ．
答案：(0，3)
***6 已知函数 f(x)＝|lnx|，g(x)＝
0，0＜x≤1
|x2－4|－2，x＞1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1 实根的个数为________．
答案：4
类型二：求函数的解析式
一、前测回顾
1．已知 f[f(x)]＝9＋4x，且 f(x)是一次函数，则 f(x)＝ ．若 f(x2＋1)＝x2，则 f(x)＝ ．
答案：①2x＋3 或－2x－9；②．x－1(x≥1)
2．已知函数满足 2f(x)＋f(1
x)＝x，则 f(2)＝ ；f(x)＝ ．
答案：7
6，2
3x－ 1
3x
二、方法联想
方法 1：待定系数法；
方法 2：换元法、拼凑法；
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方法 3：函数方程法．
三、方法应用
例 1 (1)已知 f 1－1
x ＝2x－1，则 f(x)＝________．
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 2f(x＋1)－f(x－1)＝2x＋1，则 f(x)＝________．
(3)已知 f x＋1
x ＝x2＋1
x2，则 f(x)＝________．
(4)已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)＋2f(－x)＝x2－x，则 f(x)＝________．
略解(1)用换元法，设 t＝1－1
x，求出 f(t)，即可求出 f(x)；
(2)用待定系数法，设 f(x)＝ax＋b(a≠0)；
(3)用配凑法，将 x2＋1
x2配成 x＋1
x
2
的形式；
(4)用消去法，以－x 替换已知条件中的 x，得到另一个方程，解方程组可得 f(x)的解析式．
例 2 图中的图像所表示的函数解析式为___________．
略解：由图可知，当 0≤x≤1 时，
y＝3x
2 ；当 1
－1 时，f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，
故 f(x)min＝f(t)＝t2＋2t＝8，解得 t＝2 或 t＝－4(舍去)．
综上可知，t 的值为－5 或 2.
例 2 已知函数 f(x)＝
x2＋ax，x≤1，
ax2＋x，x>1
在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范围是__________．
解：当函数 f(x)在(－∞，1]上单调递减时，－a
2≥1，即 a≤－2；
当函数 f(x)在(1，＋∞)上单调递减时，a<0 且－ 1
2a≤1，即 a≤－1
2.
易知 f(x)在 R 上连续，故 a≤－2.
四、归类巩固
*1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的顶点为(－1，10)，且方程ax2＋bx＋c＝0的两根的平方和为12，
则f(x)的解析式是____________．
答案：f(x)＝－2x2－4x＋8．
*2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]．若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
答案：1．
**3．若定义域为 R 的二次函数 f(x)的最小值为 0，且有 f(1＋x)＝f(1－x)，直线 g(x)＝4(x－1)被 f(x)的图
像截得的线段长为 4 17，则函数 f(x)的解析式为__________．
解析：设 f(x)＝a(x－1)2(a＞0)．
由
y＝a(x－1)2，
y＝4(x－1)， 得 ax2－(4＋2a)x＋a＋4＝0．
由韦达定理，得 x1＋x2＝4＋2a
a ，x1·x2＝a＋4
a ．
由弦长公式，得
4 17＝ (1＋42)
4＋2a
a
2－4·a＋4
a ．
∴a＝1．∴f(x)＝(x－1)2．
答案：f(x)＝(x－1)2．
**4．已知函数 f(x)＝
x2＋4x，x≥0，
4x－x2，x＜0.
若 f(2－a2)＞f(a)，则实数 a 的取值范围是________．
答案：(－2，1) ．
**5．方程 mx2－(m－1) x＋1＝0 在区间(0，1)内有两个不同的实数根，则 m 的取值范围为__________．
解析：令 f(x)＝mx2－(m－1)x＋1，
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则 f(x)的图像恒过定点(0，1)，由题意可得
m＞0，
Δ＝ m－ 2－4m＞0，
0＜m－1
2m ＜1，
f( ) ＝2＞0.
解得 m＞3＋2 2．
答案：m＞3＋2 2．
***6．函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上的最小值记为g(a)，求g(a)的函数表达式为___________．
答案：g(a)＝
2a＋5，a＜－2
3－a2
2 ，－2≤a≤2
5－2a，a＞2
．
类型四：指数函数与对数函数
一、前测回顾
1．已知 2x2＋x≤1
4)x－2，则函数 y＝( 3)x2＋2x的值域为 ．
答案：[ 3
3 ，81] ．
2．设 loga
1
3＜2，则实数 a 的取值范围为 ．
答案：(0， 3
3 )∪(1，＋∞) ．
3．已知函数 y＝log0.5(x2－2x＋2)，则它的值域为 ．
答案：(－∞，0]．
二、方法联想
（1）指(对)数方程与不等式问题：
方法 1：转化为同底的指(对)数，利用指(对)数函数的单调性化简方程或不等式，与对数有关问题
要注意定义域及转化过程中的等价性．
方法 2：利用换元法，转化为代数方程或不等式．
变式：解不等式 lg2x－lgx2－3≥0．
(答案：0＜x≤ 1
10或 x≥1000，考查利用换元法解指(对)不等式)．
（2）与指(对)数函数有关的值域问题，
方法 1：复合函数法，转化为利用指(对)数函数的单调性；
方法 2：换元法，转化为基本初等函数的复合函数来求．
（3）指数首先要注意值域，对数首先要注意定义域，其次这两个函数都要考虑单调性．
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三、方法应用
例 1 设函数 f(x)＝
3x－1，x<1，
2x，x≥1.
则满足 f(f(a))＝2f(a)的 a 的取值范围是________．
[解析] 当 a<1 时，f(a)＝3a－1，若 f(f(a))＝2f(a)，则 f(a)≥1，即 3a－1≥1，∴2
3≤a<1；
当 a≥1 时，f(a)＝2a≥2，此时 f(f(a))＝2f(a)．
综上所述，a≥2
3.
例 2 已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则 a＋b＝________ .
[答案] －3
2
[解析] 若 00，a≠1)在区间[－1，0]上为减函数，即
a－1＋b＝0，
a0＋b＝－1，解得
a＝1
2，
b＝－2；
若 a>1，则 f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)在区间[－1，0]上为增函数，即
a－1＋b＝－1，
a0＋b＝0， 无解．
∴a＋b＝1
2－2＝－3
2.
例 3 已知函数 f(x)＝|loga|x－1||(a>1)．若 x12.由 f(x1)＝f(x2)，可得|loga|x1－1||
＝|loga|x2－1||，即|loga(1－x1)|＝|loga(1－x2)|，此时 1－x1>1，0<1－x2<1，无论底数 a 为何值，loga(1－x1)
与 loga(1－x2)定异号，所以－loga(1－x1)＝loga(1－x2)，即(1－x1)(1－x2)＝1，所以 x1＋x2＝x1x2，即 1
x1
＋1
x2
＝
1.同理可得1
x3
＋1
x4
＝1.所以1
x1
＋1
x2
＋1
x3
＋1
x4
＝2.
例 4 设函数 f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中 a<1，若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0，则 a 的取值范围是
_____________．
分别研究函数 g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a.问题等价于存在唯一的整数 x0，使得函数 g(x)的图像在函数
y＝ax－a 的图像下方．分别画出上述两个函数的图像，通过对参数 a 的不同取值得出符合要求的 a 的取值
范围．
[解析] 令 g(x)＝ex(2x－1)，则 g′(x)＝ex(2x＋1)，由 g′(x)>0 得 x>－1
2，由 g′(x)<0 得 x<－1
2，故函数 g(x)
在 －∞，－1
2 上单调递减，在 －1
2，＋∞ 上单调递增．又函数 g(x)在 x<1
2时，g(x)<0，在 x>1
2时，g(x)>0，
所以其大致图像如图所示．
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直线 y＝ax－a 过点(1，0)．
若 a≤0，则 f(x)<0 的整数解有无穷多个，因此只能 a>0.
结合函数图像可知，存在唯一的整数 x0，使得 f(x0)<0，即存在唯一的整数 x0，使得点(x0，ax0－a)在点
(x0，g(x0))的上方，则 x0 只能是 0，故实数 a 应满足
f（－1）≥0，
f（0）<0，
f（1）≥0，
即
－3e－1＋2a≥0，
－1＋a<0，
e≥0，
解得 3
2e≤a<1.
故实数 a 的取值范围是 3
2e，1 .
四、归类巩固
*1．若点(a，9)在函数 y＝3x 的图像上，则 tanaπ
6 的值为_______．
答案： 3．
*2．已知 a＝ 5－1
2 ，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)＞f(n)，则 m，n 的大小关系为__________．
答案：m＜n．
**3．函数y＝ax－2－1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点__________．
答案：(2，0) ．
**4．解不等式 lg2x－lgx2－3≥0 的解集是_________．
答案：0＜x≤ 1
10或 x≥1000．
**5．已知函数 f(x)＝ax＋logax(a＞0，且 a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为 loga2＋6，则 a 的值为
__________．
解析：由题可知函数 f(x)＝ax＋logax 在[1，2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为 f(1)＋f(2)
＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得 a2＋a－6＝0，解得 a＝2 或 a＝－3(舍去)，故 a＝2．
答案：a＝2．
***6．已知函数 f(x)＝log2(a－2x)＋x－2，若 f(x)＝0 有解，则实数 a 的取值范围是____________．
解析：方法一：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得 a－2x＝22－x，即 a－2x＝4
2x，令 t＝2x(t＞0)，则 t2－at
＋4＝0 在 t∈(0，＋∞)上有解，令 g(t)＝t2－at＋4，g(0)＝4＞0，故满足
a
2＞0，
Δ＝a2－16≥0，
得 a≥4．
方法二：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得 a－2x＝22－x，a＝2x＋4
2x≥4．
答案：a≥4．
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类型五：函数的零点问题
一、前测回顾
1．函数 f(x)＝lgx－sinx 零点的个数为 ．
答案：3 ．
2．函数 f(x)＝2x＋x－4 零点所在区间为(k，k＋1 )，k∈N，则 k＝ ．
答案：1．
二、方法联想
零点存在定理：连续函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有 f(a)f(b)＜0，则 f(x)在(a，b)上至少存在一个零点．反
之不一定成立．
零点存在问题：①能解出 x＝x0；②x0∈A（定义域）；方法 2：分离参数，转化为求值域（要分清谁是
参数，谁是自变量）；方法 3：数形结合法．
零点个数问题：方法 1：数型结合；方法 2：①解出 x＝xi(＝1，2，…，n)，②根据问题中零点有 k 个，
则选择 k 个 x∈A（定义域），n－k 个 x∈∕ A．
三、方法应用
例 1 函数 f(x)＝4cos2x
2·cos π
2－x －2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________．
[解析]f(x)＝4cos2x
2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x· 2cos2x
2－1 －|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|.令 f(x)＝
0，得 sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出函数 y＝sin 2x 与函数 y＝|ln(x＋1)|的大致图像，如图所示．
观察图像可知，两个函数的图像有 2 个交点，故函数 f(x)有 2 个零点.
例 2 已知函数 f(x)＝|lgx|，若函数 g(x)＝f(x)－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数 a 的取值范围是
___________．
[解析]在同一坐标系中分别作出函数 y＝f(x)，y＝ax 的图像(如图)．
函数 g(x)＝f(x)－ax 在区间(0，4)上有三个零点等价 y＝f(x)，y＝ax 两个函数的图像在区间(0，4)上有
三个交点．
结合函数图像可知，只要直线 y＝ax 的斜率 a 介于直线 OA(A(4，2lg 2))与直线 OB(B 为切点)之间即可．
直线 OA 的斜率为lg 2
2 .当 x>1 时，f′(x)＝lg e
x ，
设 B(x0，lg x0)，则直线 OB 的方程为 y－lg x0＝lg e
x0
(x－x0)，该直线过坐标原点，
所以 0－lg x0＝lg e
x0
·(0－x0)，解得 x0＝e，即直线 OB 的斜率为lg e
e ，
所以实数 a 的取值范围是lg 2
2 ，lg e
e .
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例 3 已知函数 f(x)＝x＋1(0≤x≤1)，g(x)＝2x－1
2(x≥1)，函数 h(x)＝
f（x），0≤x<1，
g（x），x≥1.
若方程 h(x)－k＝0，k∈3
2，
2 有两个不同的实根 m，n(m>n≥0)，则 n·g(m)的取值范围为_________．
[解析]函数 f(x)＝x＋1(0≤x≤1)，g(x)＝2x－1
2(x≥1)，作出函数 h(x)＝
f（x），0≤x<1，
g（x），x≥1.
的图像(图略)．
若方程 h(x)－k＝0，k∈3
2，2 有两个不同的实根 m，n(m>n≥0)，则1
2≤n<1，
g(m)＝f(n)＝n＋1，则3
2≤n＋1<2，所以3
4≤ng(m)<2.
四、归类巩固
*1．若一次函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点为 2，那么函数 g(x)＝bx2－ax 的零点是 ．
答案：0 和－1
2 ．
*2．函数函数 f(x)＝log2(x+2)－x 有____________个零点．
答案：2．
**3．已知函数 f(x)＝
0， x≤0，
2x， x＞0 则使函数 g(x)＝f(x)＋x－m 有零点的实数 m 的取值范围是 ．
答案：m≤0 或 m＞1．
**4．已知三个函数 f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x 的零点依次为 a，b，c，则 a，b，c 的大小
关系是__________．
解析：由于 f(－1)＝1
2－1＝－1
2＜0，f(0)＝1＞0，
故 f(x)＝2x＋x 的零点 a∈(－1，0)．
因为 g(2)＝0，故 g(x)的零点 b＝2；
h 1
2 ＝－1＋1
2＝－1
2＜0，h(1)＝1＞0，
故 h(x)的零点 c∈ 1
2，1 ，因此 a＜c＜b．
答案：a＜c＜b．
**5．若函数 x2－m x＋4(x＞0)存在零点，则实数的取值范围是__________．
答案：[2，＋∞)．
***6．已知函数 f(x)＝
kx＋2，x≤0
lnx，x＞0 (k∈R)，若函数 y＝|f(x)|＋k 有三个零点，则实数 k 的取值范围
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是 ．
答案：k≤－2．
综合应用篇
一、例题分析
例 1 已知函数 f(x)＝loga(8－2x)(a＞0，且 a≠1)．
（1）当 a＝2 时，求满足不等式 f(x)≤2 的实数 x 的取值范围；
（2）当 a＞1 时，求函数 y＝f(x)＋f(－x)的最大值．
答案：（1）实数 x 的取值范围为[2，3)．
（2）函数 y＝f(x)＋f(－x)的最大值为 loga49．
〖教学建议〗
（1）主要问题归类与方法：
1．解指(对)数不等式问题：
方法：①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解．
②换元法：转化为整式不等式，指（对）数必须先注意值（定义）域．
2．与指(对)数有关的函数值域：
方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．
②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题．
（2）方法选择与优化建议：
对于问题 1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化
为代数不等式，所以选择方法①．
对于问题 2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方
便，所以选择方法①．
指数函数、对数函数的单调性受底数 a 的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，
首先要看底数的范围．
本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x＞0”的定义域部分；二是第二问中函数 y＝f(x)＋f(－
x)的定义域．
例 2 已知函数 f(x)＝a－ 1
|x|．
（1）求证：函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
（2）若 f(x)＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数 a 的取值范围；
（3）若函数 y＝f(x)在[m，n]上的值域是[m，n](m≠n)，求实数 a 的取值范围．
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解：（1）f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
（2）a 的取值范围为(－∞，3]．
（3）a 的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法：
1．讨论函数的单调性问题：
方法:①利用函数的图象；
②复合函数的单调性；
③利用函数单调性的定义．
④利用导函数来求函数的单调区间．
2．不等式恒成立问题：
3．已知函数的值域，求参数的取值：
(2)方法选择与优化建议：
对于问题 1，学生一般会选择方法③或④，因为本题是证明函数的单调性，方法①②不能用作证明，
所以选择方法③或④．
对于问题 2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，
所以选择方法①．
例 3 已知函数 f(x)＝a·2 x＋b·3 x，其中常数 a，b 满足 ab≠0．
（1）若 ab＞0，判断函数 f(x)的单调性，并证明；
（2）若 ab＜0，求 f(x＋1)＞f(x)时 x 的取值范围．
解：（1）当 a＞0，b＞0 时，函数 f(x)在 R 上是增函数．
当 a＜0，b＜0 时，函数 f(x)在 R 上是减函数．
（2）当 a＜0，b＞0 时，x 的取值范围为(log1．5 － a
2b ，＋∞)；
当 a＞0，b＜0 时，x 的取值范围为(－∞，log1．5 － a
2b )．
解析：（1）当 a＞0，b＞0 时，任意 x1，x2∈R， x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝a（2x1－2x2）＋b（3x1－3x2）
∵2x1＜2x2，a＞0 a（2x1－2x2）＜0，同理 b（3x1－3x2）＜0
∴f(x1)－f(x2)＜0∴函数 f(x)在 R 上是增函数
同理，当 a＜0，b＜0 时，函数 f(x)在 R 上是减函数．
（2）f(x＋1)－f(x)＝a·2 x＋2b·3 x＞0
当 a＜0，b＞0 时，（3
2）x＞－ a
2b，则 x 的取值范围为(log1．5 － a
2b ，＋∞)；
当 a＞0，b＜0 时，（3
2）x＜－ a
2b，x 的取值范围为(－∞，log1.5 － a
2b )．
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〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法：
1．讨论函数的单调性问题：
方法:①利用函数的图象；
②复合函数的单调性；
③利用函数单调性的定义；
④利用导函数．
2．与指(对)数有关的解不等式问题：
方法：①利用函数的单调性，转化为代数不等式；
②用换元法，依次解几个代数不等式．
(2)方法选择与优化建议：
对于问题 1，学生一般会选择方法③或④，因为本题不仅要求判断还需要证明结论，方法①②不能用
作证明，所以选择方法③或④．
对于问题 2，学生一般会选择方法①，因为本题函数的单调性比较明确，便于转化，所以选择方法①．
本题的易错点是第二问中忽视字母 a 的符号对不等号的方向的影响．
本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的，“ab＞0”和“ab＜0”的含义是字母 a、b 同号或异号，
因此需要具体到 a、b 各自的符号．
例 4 已知 a，b 是实数，1 和－1 是函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．
（1）求 a 和 b 的值；
（2）设 h(x)＝f(f(x))－c，其中 c∈[－2，2]，求函数 y＝h(x)的零点个数．
解：（1）a＝0，b＝－3；
（2）有 9 个零点．
〖教学建议〗
（1）主要问题归类与方法：
1．求函数的解析式问题:
方法：待定系数法，换元法，函数方程法
2．讨论函数的零点个数问题：
方法：解方程，图象法，零点的存在定理与单调性
（2）方法选择与优化建议：
对于第 1 小题，是常规问题，方法也非常清楚——待定系数法。
第 2 小题函数零点的个数问题，用解方程求解或零点的存在定理的方法显然不行，因为本题应用
图象法来讨论。
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用图象法的关键是转化为哪两个曲线的交点个数，且这两个曲线尽量满足: ①图像尽量为直线和
曲线，②两个函数的图像都是曲线则必须保证图像都能够好画．
本题可以有两种考虑:一是直接画函数的 y＝f(f(x))和 y＝c，尽管 y＝f(f(x))是 9 次函数，其图像还是
能够画出来的，二是将问题分解成 ( ) ( )h x f t c和 t＝f(x)，通过两个三次函数的图像来看解的个数问
题．本题采用第二种想法，会简单些。
二、反馈巩固
*1．已知函数 y＝f(x)是奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝lgx，则 f(f( 1
100))的值等于 ．
答案：lg2．
(考查函数的奇偶性，对数运算)
*2． 已知 f(x)＝
x2＋x（x≥0），
－x2＋x（x＜0），则不等式 f(x2－x＋1)＜12 的解集是________．
答案：(－1，2)．
(考查分段函数及利用函数的单调性解不等式)．
*3． 函数 y＝(1
3)x2+1 的值域为______________．
答案：(0，1
3]．
(考查指数函数)
*4． 函数 f(x)＝lnx＋2x－1 零点的个数为_______________．
答案：1．
(考查函数的图象，数形结合的思想方法)．
**5．已知实数 a≠0，函数 f(x)＝
2x＋a， x＜1，
－x－2a，x≥1.
若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为________．
答案：－3
4．
(考查分段函数的问题，解方程，分类讨论的思想)．
**6．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于 x 的不等式 f(x)＜c 的解集为(m，m
＋6)，则实数 c 的值为________．
答案：c＝9．
(考查二次函数的值域，一元二次不等式的解集)．
***7． 已知 f(x)＝
(3－2a)x－2a+2 ，x＜1，
logax ， x≥1， 是(－∞，＋ ∞)上的增函数，那么 a 的取值范围是_________．
解析：
3－2a＞0，
a＞1，
（3－2a）－2a＋2≤ loga1
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答案：[5
4，3
2)．
（本题考查分段函数的单调性和一次函数与对数函数）
***8． 已知函数 f(x)＝
x＋1， x≤0，
x2－2x＋1，x＞0.
若关于 x 的方程 f 2(x)－af(x)＝0 恰有 5 个不同的实数解，则
a 的取值范围是 ；
答案 (0，1)．
(考查函数的零点)
***9． 已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范
围是 ；
答案
1,2
1 ．
(考查方程解的问题)
***10． 已知函数 f(x)＝x3＋x，对任意的 m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)＜0 恒成立，则 x 的取值范围是
________．
答案：(－2，2
3)．
（考查函数的单调性，不等式恒成立）
*11． 若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且 f(0)＝1．
(1)求 f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式 f(x)＞2x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
解 (1)由 f(0)＝1 得，c＝1，
∴f(x)＝ax2＋bx＋1．
又 f(x＋1)－f(x)＝2x
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即 2ax＋a＋b＝2x，
∴
2a＝2，
a＋b＝0， ∴
a＝1
b＝－1
．因此，f(x)＝x2－x＋1．
(2)f(x)＞2x＋m 等价于 x2－x＋1＞2x＋m，即 x2－3x＋1－m＞0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，
只需使函数 g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于 0 即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0 得，m＜－1．
因此满足条件的实数 m 的取值范围是(－∞，－1)．
(考查二次函数的解析式，不等式恒成立)
*12．已知 f(x)是 R 上的奇函数，且 f(x＋2)＝－f(x)．当－1≤x≤≤1，f(x)＝x3．
（1）求证：x＝1 是函数 y＝f(x)的一条对称轴；
（2）当 x∈[1，5]时，求 f(x)的表达式．
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答案：（1）略；（2）f(x)的解析式为 f(x)＝
－(x－2)3， 1≤x≤3，
(x－4)3， 3＜x≤5
(考查用定义证明函数的对称性，利用函数的奇偶性、周期性求函数的解析式)．
**13．设函数 f(x)＝
x2＋bx＋c， x≤0，
2， x>0， 其中 b＞0，c∈R．当且仅当 x＝－2 时，函数 f(x)取得最小
值－2．
（1）求函数 f(x)的表达式；
（2）若方程 f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求 a 的取值集合．
答案：(1)f(x)＝
x2＋4x＋2，x≤0，
2，x＞0. (2)实数 a 取值的集合为 －1
4，2 ．
(考查求二次函数的解析式，方程解的个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法)．
**14．已知函数 f(x)＝ax3－bx＋4，当 x＝2 时，函数 f(x)有极值－4
3．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于 x 的方程 f(x)＝k 有三个零点，求实数 k 的取值范围．
解析：由题意，可知 f′(x)＝3ax2－b．
(1)于是
f ＝12a－b＝0，
f ＝8a－2b＋4＝－4
3， 解得
a＝1
3，
b＝4.
故所求的解析式为 f(x)＝1
3x3－4x＋4．
(2)由(1)可知，f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．
令 f′(x)＝0，得 x＝2，或 x＝－2．
当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 28
3 单调递减 －4
3 单调递增
因此，当 x＝－2 时，f(x)有极大值28
3 ；
当 x＝2 时，f(x)有极小值－4
3．
所以函数的大致图像如图．
故实数 k 的取值范围是－4
3＜k＜28
3 ．
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(考查待定系数求解析式，方程解的个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法)．
**15．已知 f(x)＝3x，并且 f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x 的定义域为[－1，1]．
（1）求函数 g(x)的解析式；
（2）判断 g(x)的单调性；
（3）若方程 g(x)－m＝0 有解，求 m 的取值范围．
答案：（1）g(x)＝2x－4x，x∈[－1，1]；
（2）g(x)在[－1，1]上单调递减；
（3）[－2，1
4]．
说明：（1）考查解指数方程；
（2）考查函数的单调性；
（3）考查方程有解的问题：①分离变量，求函数的值域；②数形结合，对应函数图象有公共点．
解析：①f(a＋2)＝18，得到 3a＋2＝18，∴3a＝2，∴g(x)＝2x－4x，x∈[－1，1]
②令 t＝2x，1
2≤t≤2，则 y＝t－t2，∴g(x)在[－1，1]上单调递减；
③方程 g(x)－m＝0 有解，则
y＝g(x)，
y＝m 有交点
∴1
2≤t≤2，则 y＝t－t2的范围是[－2，1
4]，所以 m∈[－2，1
4]
***16．设函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c (a＞0，a，c∈R)．
(1)设 a＞c＞0．若 f(x)＞c2－2c＋a 对 x∈[1，＋∞)恒成立，求 c 的取值范围；
(2)函数 f(x)在区间(0，1)内是否有零点，有几个零点？为什么？
(考查不等式恒成立，函数零点)
解 (1)因为二次函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c 的图象的对称轴为 x＝a＋c
3a ，由条件 a＞c＞0，得 2a＞a
＋c，
故a＋c
3a ＜2a
3a＝2
3＜1，
即二次函数 f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，
且抛物线开口向上，故 f(x)在[1，＋∞)内是增函数．
若 f(x)＞c2－2c＋a 对 x∈[1，＋∞)恒成立，
则 f(x)min＝f(1)＞c2－2c＋a，
即 a－c＞c2－2c＋a，得 c2－c＜0，所以 0＜c＜1．
(2)①若 f(0)·f(1)＝c·( a－c)＜0，
则 c＜0，或 a＜c，二次函数 f(x)在(0，1)内只有一个零点．
②若 f(0)＝c＞0，f(1)＝a－c＞0，则 a＞c＞0．
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因为二次函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c 的图象的对称轴是 x＝a＋c
3a ．而 f
a＋c
3a ＝－a2＋c2－ac
3a ＜0，
所以函数 f(x)在区间
0，a＋c
3a 和
a＋c
3a ，1 内各有一个零点，故函数 f(x)在区间(0，1)内有两个零点．
***17．已知 a∈R，函数 f(x)＝log2(1
x＋a)．
（1）当 a＝5 时，解不等式 f(x)＞0；
（2）若关于 x 的方程 f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0 的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围；
（3）设 a＞0 0a ，若对任意 t ∈[1
2，1]，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过 1，
求 a 的取值范围．
答案：（1） 1, 0,4x
（2） 1,2 3,4 （3） 2 ,3
说明：本题综合性较强，考察了对数不等式、二次函数求值域和方程有解问题。
解析：
（1）由 2
1log 5 0x
，得 1 51x ，
解得 ．
（2） 1 4 2 5a a x ax ， 24 5 1 0a x a x ，
当 4a 时， 1x ，经检验，满足题意．
当 3a 时， 12 1xx ，经检验，满足题意．
当 3a 且 4a 时， 1
1
4x a
， 2 1x ， 12xx ．
1x 是原方程的解当且仅当
1
1 0ax ，即 2a ；
2x 是原方程的解当且仅当
2
1 0ax ，即 1a ．
于是满足题意的 1,2a ．
综上， a 的取值范围为 ．
（3）当 120 xx时，
12
11aaxx ， 22
12
11log logaaxx
，
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所以 fx在 0, 上单调递减．
函数 fx在区间 ,1tt 上的最大值与最小值分别为 ft， 1ft ．
22
111 log log 11f t f t a att
即 2 1 1 0at a t ，对任意 1 ,12t
成立．
因为 0a ，所以函数 2 11y at a t 在区间 1 ,12
上单调递增，
1
2t 时， y 有最小值 31
42a ，由 31042a ，得 2
3a ．
故 a 的取值范围为 2 ,3
．
(考查对数函数的图像和性质，函数零点)
