中考数学全程复习方略微专题七解直角三角形的实际应用的基本类型课件

中考数学全程复习方略微专题七解直角三角形的实际应用的基本类型课件

微专题七　 解直角三角形的实际 应用的基本类型 【 主干必备 】 解直角三角形的实际应用的基本类型 应用 类型 图示 测量方式 解答要点 仰角 俯角 问题 (1) 运用仰角测距离 . (2) 运用俯角测距离 . (3) 综合运用仰角俯角测距离 . 水平线与竖直线的夹角是 90°, 据此构造直角三角形 . 应用 类型 图示 测量方式 解答要点 坡度 ( 坡 比 ) 、 坡角 问题 (1) 运用坡度 ( 坡比 ) 测距离 . (2) 运用坡角测距离 . 坡面与其铅直高度和水平宽度构成直角三角形 . 应用 类型 图示 测量方式 解答要点 方位 角问 题 一般根据两个方位角测距离 . 通过向南北 ( 东西 ) 方向作垂线 , 或向航线作垂线 , 构造直角三角形 . 【 微点警示 】 除以上三种比较典型的问题外 , 解直角三角形的实际应用还有多种形式 , 体现在生产、生活的方方面面 , 它们共同的特点就是利用直角三角形测距离 . 【 核心突破 】 【 类型一 】 仰角俯角问题 例 1(2019· 天津中考 ) 如图 , 海面上一艘 船由西向东航行 , 在 A 处测得正东方向上 一座灯塔的最高点 C 的仰角为 31°, 再向东继续航行 30 m 到达 B 处 , 测得该灯塔的最高点 C 的仰角为 45°, 根据测得的数据 , 计算这座灯塔的高度 CD( 结果取整数 ). 参考数据 :sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60. 【 思路点拨 】 根据正切的定义用 CD 表示出 AD, 根据题意列出方程 , 解方程得到答案 . 【 自主解答 】 在 Rt△CAD 中 ,tan∠CAD= , 则 AD= , 在 Rt△CBD 中 ,∠CBD=45 ° , ∴ BD=CD, ∵ AD=AB+BD, ∴ CD=30+CD, 解得 ,CD=45. 答 : 这座灯塔的高度 CD 约为 45 m. 【 类型二 】 坡度 ( 坡比 ) 、坡角问题 例 2(2018· 泰州中考 ) 日照间距系数反 映了房屋日照情况 . 如图① , 当前后房 屋都朝向正南时 , 日照间距系数 =L∶ (H-H 1 ), 其中 L 为楼间水平距离 ,H 为南侧楼房高度 ,H 1 为 北侧楼房底层窗台至地面高度 . 如图② , 山坡 EF 朝北 ,EF 长为 15 m, 坡度为 i=1∶0.75, 山坡顶部平地 EM 上有一高为 22.5 m 的楼房 AB, 底部 A 到 E 点的距离为 4 m. (1) 求山坡 EF 的水平宽度 FH. (2) 欲在 AB 楼正北侧山脚的平地 FN 上建一楼房 CD, 已知该楼底层窗台 P 处至地面 C 处的高度为 0.9 m, 要使该楼的日照间距系数不低于 1.25, 底部 C 距 F 处至少多远 ? 【 思路点拨 】 (1) 在 Rt△EFH 中 , 根据坡度的定义及 EF 的长求山坡 EF 的水平宽度 FH. (2) 根据该楼的日照间距系数不低于 1.25, 列出不等式 , 解不等式即可 . 【 自主解答 】 (1) 略 (2) ∵ L=CF+FH+EA=CF+9+4=(CF+13) m, H=AB+EH=22.5+12=34.5(m),H 1 =0.9 m, ∴ 日照间距系数 =L ∶ (H-H 1 )= ∵ 该楼的日照间距系数不低于 1.25, ∴ ≥1.25, ∴ CF≥29. 答 : 要使该楼的日照间距系数不低于 1.25, 底部 C 距 F 处 至少 29 m 远 . 【 类型三 】 方位角问题 例 3(2019· 怀化中考 ) 如图 , 为测量 一段笔直自西向东的河流的河面宽 度 , 小明在南岸 B 处测得对岸 A 处一 棵柳树位于北偏东 60° 方向 , 他以每秒 1.5 米的速度沿 着河岸向东步行 40 秒后到达 C 处 , 此时测得柳树位于北 偏东 30° 方向 , 试计算此段河面的宽度 . 【 思路点拨 】 作 AD⊥BC 于点 D. 由题意得到 BC=1.5× 40=60 米 ,∠ABD=30°,∠ACD=60°, 根据三角形的外角的性质得到∠ BAC=∠ACD-∠ABC=30°, 求得∠ ABC= ∠BAC, 得到 BC=AC=60 米 . 在 Rt△ACD 中 , 根据三角函数的定义即可得到结论 . 【 自主解答 】 略 【 明 · 技法 】 解直角三角形实际应用的“两个注意” (1) 注意有无直角 : 图形中有直角要充分利用 , 无直角作辅助线构造直角 . (2) 注意是否可解 : 分析直角三角形的边角条件 , 若已知一边一角或两边 , 可直接解之 ; 若边角条件不充分 , 一般需设未知数列方程 . 【 题组过关 】 1.(2019· 来宾模拟 ) 河堤横断面 如图所示 , 堤高 BC=6 m, 迎水坡 AB 的坡比为 1∶ , 则 AB 的长为 ( 　 　 ) A.12 m 　　 B.4 m 　　 C.5 m 　　 D.6 m A 2.(2019· 益阳中考 ) 南洞庭大桥是南益 高速公路上的重要桥梁 , 小芳同学在校 外实践活动中对此开展测量活动 . 如 图 , 在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点 C 的俯角 为 α, 大桥主架的顶端 D 的仰角为 β, 已知测量点与大桥 主架的水平距离 AB=a, 则此时大桥主架顶端离水面的高 CD 为 ( 　 　 ) A.asinα+asinβ 　　　　 B.acosα+acosβ C.atanα+atanβ D. C 3.(2019· 泰安中考 ) 如图 , 一艘船由 A 港沿北偏东 65° 方向航行 30 km 至 B 港 , 然后再沿北偏西 40° 方向航 行至 C 港 ,C 港在 A 港北偏东 20° 方向 , 则 A,C 两港之间的距离为 _________km. B 世纪金榜导学号 ( 　 　 )  A.30+30 　　　　　　 B.30+10 C.10+30 D.30 4.(2019· 荆州中考 ) 如图 , 灯塔 A 在测 绘船的正北方向 , 灯塔 B 在测绘船的东 北方向 , 测绘船向正东方向航行 20 海 里后 , 恰好在灯塔 B 的正南方向 , 此时测得灯塔 A 在测绘 船北偏西 63.5° 的方向上 , 则灯塔 A,B 间的距离为 _________ 海里 ( 结果保留整数 ).( 参考数据 sin 26.5° ≈0.45,cos 26.5°≈0.90,tan 26.5°≈0.50, ≈ 2.24)  22 5.(2019· 上海宝山区模拟 ) 地铁 10 号线某站点出口横截面平面图如图 所示 , 电梯 AB 的两端分别距顶部 9.9 米和 2.4 米 , 在距电梯起点 A 端 6 米的 P 处 , 用 1.5 米高的测 角仪测得电梯终端 B 处的仰角为 14°, 求电梯 AB 的坡度 与长度 . 参考数据 :sin 14°≈0.24,tan 14°≈0.25, cos 14°≈0.97. 世纪金榜导学号 【 解析 】 作 BC⊥PA 交 PA 的延长线于点 C, 作 QD∥PC 交 BC 于点 D. 由题意可得 ,BC=9.9-2.4=7.5( 米 ),QP=DC=1.5 米 , ∠BQD=14 ° , 则 BD=BC-DC=7.5-1.5=6( 米 ). ∵ tan ∠BQD= , ∴ tan 14 ° = , 即 0.25= , 解得 ,ED=18, ∴ AC=ED=18 米 . ∵ BC=7.5 米 , ∴ tan ∠BAC= . ∵ BC=7.5 米 ,AC=18 米 ,∠BCA=90 ° , ∴ AB= =19.5( 米 ), 即电梯 AB 的坡度是 5 ∶ 12, 长度是 19.5 米 .